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专题04 二项式定理
教学目标 1、理解二项式展开式的项、项的系数、项的二项式系数等概念； 2、掌握二项式展开式的通项公式，能熟练计算与项的系数、项的二项式系数有关问题； 3、掌握二项式展开式的二项式系数和、各项系数和； 4、能利用二项式定理解决整除与余数问题及近似计算.
教学重难点 1、重点：通项公式、系数和 2、难点：项的系数与二项式系数的区分，求项的系数的最值，余数与近似计算
知识点01 二项式定理
1．二项式定理
(a＋b)n＝ an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋ bn(n∈N*)，这个公式称为二项式定理，等号右边的多项式称为(a＋b)n的二项展开式，共有n＋1项，其中各项的系数 (k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数．
2．对二项式定理的理解
⑴二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；②字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n.
⑵二项展开式的第k＋1项的二项式系数是，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是，而第二项的系数则是·24.
【友情提示】
注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．
3．二项式定理的推论
推论：令a=1，b=x，可得
.
【即学即练】
1．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于(　　)
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
【答案】A
【详解】S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝＝＝x4，故选A.
2．用二项式定理展开(2x－1)4＝____________________．
【答案】16x4－32x3＋24x2－8x＋1
【详解】(2x－1)4＝(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
知识点02 二项展开式的通项
(1)通项公式：()
注意：在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项.
(2)其中：称为第项的二项式系数.
注意：二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分.
【即学即练】
1.(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习)二项式的展开式中常数项为(　　)
A． B．540 C．15 D．
【答案】B
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0，求得r的值，可求展开式中常数项.
【详解】二项式的展开式的通项为，
由，得，所以二项式的展开式中常数项为.故选：B.
2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.
【详解】对于，由二项展开式的通项得，
令解得，
则所求系数为，
故选：D
知识点03 二项式系数表（杨辉三角）
1．二项式系数表（杨辉三角）
当n依次取1,2,3,…时，展开式的二项式系数如下图所示，该图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角.
2．杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数___相等_____．
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，即＝+
【知识辨析】
二项式系数与项的系数是两个不同的概念,要注意它们的区别与联系.
区别： (1)二项式系数仅指二项展开式中出现的组合数,而项的系数是指该项中除变量外的部分，如:展开式中的第r+1项为=,它的二项式系数为,而它的系数为，
(2)二项式系数一定为正数，而项的系数可能为负数.
联系：当a,b均为变量时，的第r+1项二项式系数即为其第r+1项的系数.
【即学即练】
1．（24-25高二上·全国·课堂例题）观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以，即．
故选：B
2．（24-25高二下·江西抚州·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165 B．180 C．220 D．236
【答案】A
【分析】根据杨辉三角及二项式系数的性质确定，…，，再应用组合数的运算性质求结果.
【详解】由题意得，，
则.
故选：
知识点04 二项式系数的性质
由二项式系数表易得二项式系数具有以下性质：
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
直线是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值：
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 取得最大值．
(3)二项式系数和：，
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和均等于，
即：
推导方法：在中令，和，对得到的两个式子进行加和减即可得到上面结论.
【即学即练】
1．（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．840 B． C． D．210
【答案】A
【分析】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故，
又二项展开式的通项公式为，
令，则，
故，
故选：A.
2．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ）
A． B． C．15 D．20
【答案】A
【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解.
【详解】由题意得， ，所以展开式的通项为
令 ，所以展开式中的常数项为．
故选：A.
知识点05 二项式展开式的各项系数和
1.设，
①令，可得：
②令，可得：，即：
(假设为偶数)，再结合①可得：
．(若n为奇数，同理可得结论)
2.若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
(i)当为偶数时，奇数项的系数和为
偶数项的系数和为
(ii)当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
3.若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果
【即学即练】
1.(24-25高二下·山东济宁·期中)已知，则( )
A．80 B．81 C．242 D．243
【答案】C
【分析】代入特殊值令和简化计算即可得解.
【详解】，
令，得；令，得；
所以.故选：C.
2．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）展开式中各项系数的和为 ．
【答案】1
【详解】在中，令，得各项系数的和为.
故答案为：1.
题型01 二项式定理的正用、逆用
【典例】(1)写出展开式：；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
【详解】(1)方法一　＝
(2x)0＝32x5－120x2＋.
方法二　＝＝(4x3－3)5＝(4x3)0(－3)5]＝32x5－120x2＋.
(2)原式＝(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．
【变式1-1】（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（ ）
A．44 B．32 C．28 D．52
【答案】A
【分析】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案.
【详解】利用二项式定理展开，得
，
，，
即，
故选：
【变式1-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ．
【答案】
【分析】逆用二项式定理结合已知条件求解
【详解】
，
题型02 二项展开式中的特定项及系数
【典例2-1】(2024·湖北武汉·模拟预测)展开式的7项中，系数为有理数的项共有( )项
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用二项式的展开式，可得结论.
【详解】的展开式为，
当时，二项式展开式的各项的系数分别为1，30，60，8均为有理数，
故系数为有理数的项共有共有4项.故选：D.
【典例2-2】(24-25高二下·安徽·阶段练习)在的展开式中，常数项为( )
A． B．40 C． D．80
【答案】B
【分析】由通项公式即可求解.
【详解】通项公式
令，得，所以在的展开式中，常数项为.故选：B．
【典例2-3】(25-26高三上·江苏南京·阶段练习)展开式中的第三项为 ．
【答案】
【分析】根据二项式的通项公式：对于，其展开式的第项为，代入已知条件求解.
【详解】根据二项式的通项公式得：；故答案为：.
求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）．
（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【变式2-1】（2025·高二·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】设的通项为，若有常数项，则只需，而，显然的最小值为3，此时.
故选：A
【变式2-2】(24-25高二下·天津宝坻·阶段练习)二项式的展开式的第4项的系数是( )
A．8 B．35 C．280 D．60
【答案】C
【分析】利用二项式定理的通项公式求解.
【详解】通项为，则，
则第4项的系数是.故选：C.
【变式2-3】(24-25高二下·贵州黔南·期中)若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】根据题意确定的值，然后写出的展开式的通项，令，求解即可.
【详解】由题意知，则的展开式通项为，令，则，
所以展开式中的系数为．故答案为：60
题型03 求系数或二项式系数的最值
【典例3-1】(24-25高二下·山东·期中)若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则( )
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】利用二项式系数性质可得答案.
【详解】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，即.故选：B.
【典例3-2】（25-27高二上·江苏·课后作业）在的展开式中.
(1)求第三项的系数；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
【答案】(1)112
(2)第6项和第7项
(3)，
【详解】（1）的展开式的通项为，
则，
所以第三项的系数为；
（2）设第项系数的绝对值最大，
则，即，解得
所以或，
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项；
（3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正，
故系数最大的项为，
系数最小的项为.
(1)求二项式系数最大项：如果是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项（第项）的二项式系数相等并最大.
（2）求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用，从而解出来，即得.
【变式3-1】(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第( )项.
A． B． C．2或3 D．3或4
【答案】D
【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解.
【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则，
的展开式的通项公式，
设展开式中系数最大项是，则，即，
解得，而，因此或，，，
所以展开式中系数最大的项是第3或4项.故选：D.
【变式3-2】(多选)(24-25高二下·山东泰安·期末)已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是( )
A． B．所有项系数的和为1
C．二项式系数最大的项为第6项 D．有理项共有3项
【答案】BD
【分析】对于A，由得即可判断；对于B，令即可验算；对于C，由二项式系数的增减性即可判断；对于D，由二项式展开式即可判断.
【详解】对于A，由题意，所以，故A错误；
对于B，在中令，可得，即所有项系数的和为1，故B正确；
对于C，二项式系数最大的项为第7项，即为，故C错误；
对于D，的展开式通项为，
所以第项为有理项，当且仅当，故有理项共有3项，故D正确.故选：BD.
【变式3-3】(24-25高二下·浙江杭州·阶段练习)在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】讨论a的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案.
【详解】若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意，
当时，所以项的系数均为正数，则需满足，即得；
当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数，
则此时需满足，解得，
综合可得的取值范围是.
题型04 求两个多项式积的特定项
【典例4-1】（2025·高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（ ）
A．40 B．200 C． D．
【答案】D
【详解】的展开式的通项公式为，
故的展开式中的系数为．
故选：D
【典例4-2】（2025·高三·全国·专题练习） 的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．100 D．120
【答案】A
【详解】解法一，由于的展开式的通项，
故的展开式中的系数为；
解法二，若中选取，则在的展开式中选取含的项，
即，二者相乘得；
若中选取，则在的展开式中选取含的项，
即，二者相乘得.
故的展开式中的系数为，
故选：A.
求多项式积的特定项的方法：“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况．
【变式4-1】（2025·高二·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】因为，
由的展开式通项为，含的项包含了和两项，
所以含的项为，
所以，可得.
故选：D.
【变式4-2】（2025·高三·江苏扬州·阶段练习）若的展开式中含的项满足，则这些项的系数和为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】A
【详解】
，
因为，所以含的项为，，
所以含系数和为.
故选：A.
【变式4-3】（2025·高二·山东·阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．100 C．-40 D．
【答案】D
【详解】由的展开式的通项为，
则的展开式中的系数是.
故选：D.
题型05 三项展开式问题
【典例5】在的展开式中，求含项的系数.
【详解】方法一：
.
显然，前5个展开项中都不可能含有项，只有第6个展开项中含有项，故含项应为，∴含项的系数为240.
方法二：
∴展开式中项的系数为.
方法三：=…(共5个)
这5个因式中乘积展开式中含的来源为从其中一个括号中取，其余括号中均取常数2相乘，故得，所以展开式中含项的系数为240.
(1)分解因式法：通过因式分解将三项式转化为两个二项式，然后利用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开;
(3)利用组合知识：把三项式看成几个因式的积，利用组合知识分拆项的构成，注意最后应把各个同类项相合并.
【变式5-1】 展开式中的项的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用，
该项为，所以展开式中的项的系数为.
故答案为：
【变式5-2】（2025·吉林长春·二模）的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【详解】把变形为，可得：
要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，即，解得.
当时，.
再根据二项式定理展开，要得到，则，此时该项系数为.
因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为.
故答案为:.
【变式5-3】（2025·江苏淮安·模拟预测）的展开式中的系数是 .（用数字填写）
【答案】
【详解】的展开式中，要得到的系数，则可能为或.
故含的项为
，
故答案为：
题型06 杨辉三角
【典例6-1】（24-25高二下·湖北·阶段练习）“杨辉三角”是最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.在“杨辉三角”中第n行从左往右第i个数记为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】代入，利用二项式系数和公式结合倒序相加计算即可.
【详解】第行的第个数为，则，
，
所以，
所以；
故选：D.
【典例6-2】(25-26高三上·福建·开学考试)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是( )
A．
B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第行的第个数为，则
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD.
【详解】对于A，
，A正确；
对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确；
对于C，第行所有数字的平方和，
第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，而，
又中项的系数为，因此，C正确；
对于D，因为，所以，D不正确.故选：D
解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析，实验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同)．
【变式6-1】(25-26高二上·全国·单元测试)杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第()斜线上所有数值之和最大时，的值为( )
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】C
【分析】根据题意可得前2024行第斜线上所有数值之和为，第斜线上所有数值之和为，结合组合数的运算性质即可求解．
【详解】当时，前2024行第斜线上所有数值之和为
．
同理，前2024行第斜线上所有数值之和为，而，
所以前2024行第斜线与第斜线上所有数值之和最大时，，解得．故选：C.
【变式6-2】（24-25高二下·海南海口·期中）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.杨辉三角有很多有趣的性质，例如，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加.在如图所示的杨辉三角中，记实线上的数1，3，6，10，…构成数列，即第2行第3个数是，第3行第3个数是，第4行第3个数是，第5行第3个数是，…第行第3个数是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二项式展开式的第三项二项式系数记为，然后通过裂项相消法求和即可.
【详解】由杨辉三角结合二项式系数可知：，
所以，
即，
故选：D.
题型07 二项展开式的各项系数和
【典例7-1】(24-25高二下·浙江·期中)若，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，可得出的值.
【详解】因为，
令可得.故选：C.
【典例7-2】(24-25高二下·黑龙江绥化·期中)设，则( )
A． B．
C．中最大的是 D．
【答案】AB
【分析】利用二项式展开式的通项公式，找到一次项的系数，得出的值判断A选项.
判断B选项： 令，代入，得到的值.
判断C选项： 同样根据二项式展开式通项求，判断正负.
判断D选项： 分别令和，代入展开式，再通过两式相减得到的值.
【详解】设，则，所以， A选项正确；
令，得，B选项正确；
为负数，显然C选项错误；
令，得，
令，得，所以，D选项错误.故选：AB.
二项展开式中系数和的求法
（1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可．
（2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为．
【变式7-1】(24-25高二下·安徽滁州·期末)为正实数，且，当取最小值时，的展开式中各项系数的和为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用基本不等式求出取最小值时的值，得出；再利用赋值法，令即可求解.
【详解】由可得：.因为为正实数，所以由基本不等式可得：
，当且仅当，即时等号成立.
所以当取最小值时，.令，得，
所以当取最小值时，的展开式中各项系数的和为.故选：C.
【变式7-2】(24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习)， 下列说法正确的是( )
A．各项的二项式系数和为256 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质判断A的真假；利用赋值法可判断BCD的真假.
【详解】对A：各项的二项式系数和为：，故A错误；
令可得：.
令可得：①；所以，故B正确；
令可得：②
①②可得：，故D错误；
②可得：，故C错误；故选：B
【变式7-3】(2025高三·全国·专题练习)若二项式，则 .
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式可得:，结合和，化简可得即可求解.
【详解】由题可得：，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
则
题型08整除与余数问题
【典例8-1】设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可)
【答案】5（答案不唯一）
【详解】
，
其中被6整除，
由能被6整除，可得能被6整除，
则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一
故答案为：5（答案不唯一）
【典例8-2】（2025·高三·广西河池·期末）被15除所得余数为 ．
【答案】1
【详解】，
而是15的倍数，
所以被15除所得余数为1.
故答案为：1
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
【变式8-1】(24-25高二下·贵州黔东南·期中)除以80的余数为( )
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【详解】,由于且能被80整除，
所以除以80的余数为9，故选：C
【变式8-2】(多选)(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知，则下列说法中正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除
【答案】ABD
【分析】逆用二项式定理求得，解方程判断AB；先求出，再根据这一项的生成过程分类讨论求解系数判断C；，结合二项展开式可得能被4整除判断D.
【详解】因为，所以，即，
对于A，若，则，解得，正确；
对于B，若，则，即，
由单调递减，及，可得，正确；
对于C，若，则，解得，
对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，
若2个取出，1个取出，2个取出，则，
若1个取出，3个取出，1个取出，则，
若5个取出，则，所以的系数为，错误；
对于D，，为偶数，不妨记，
则
能被8整除，所以能被4整除，正确.故选：ABD
题型09近似计算
【典例9-1】（2025·高二·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23
【答案】C
【详解】由题意得，
由二项式定理得，
而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，
所以我们得到，
则其与1.22更接近，故C正确.
故选：C
【典例9-2】把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（ ）
A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对
【答案】C
【详解】
，
故，
于是a的小数部分为，
而，
于是a的十分位、百分位和千分位均为9，和为27．
故选：C.
用二项式定理求近似值问题，模式比较固定，近似值问题先凑整，再展开．
【变式9-1】(24-25高二下·安徽·期中)的小数点后第三位数字为( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.65【知识点】近似计算问题
【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解.
【详解】因为
，
因此，的小数点后第三位数字为.故选：A.
【变式9-2】估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【答案】A
【详解】原式
+
．
故选：A．
一、单选题
1．（25-26高三上·广东·阶段练习）二项式的展开式中和的系数之和为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．45
【答案】C
【分析】根据二项展开式的通项求解.
【详解】二项式展开的任意一项均可表示为，，
当时，即的系数为.
当时，即的系数为.
因此， 和的系数之和为.
故选：
2．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）化简，其结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二项式定理，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理的形式求出结果．
【详解】设．
根据组合数的性质，则．
由二项式定理可知，
即．
那么，
因为，所以．
即，则．
3.(24-25高二下·山东威海·期中)的展开式中含的项为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】变为，根据和展开式通项，结合不同的取值可求得结果.
【详解】
展开式通项为；展开式通项为，
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
展开式中含的项为.故选：B.
4.(24-25高二下·山东·期中)已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据二项式系数相等可得，即可得结果.
【详解】因为第2项和第6项的二项式系数相等，则，所以.故选：A.
5.(23-24高二下·江苏泰州·期末)已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，得到，从而求出展开式中系数的最小值.
【详解】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以，
所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为，
故选：C
6. (24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习)二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【分析】先利用二项式的展开式的通项公式求出有理项的项数，再利用插空法求解.
【详解】二项式的展开式的通项公式为：，
令，得，所以展开式中的有理项有项，
把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列，
再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种.故选：D.
7.(24-25高二下·湖北黄冈·期末)设，且，若能被9整除，则( )
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由，结合二项式定理即可求解.
【详解】
因为能被9整除，所以，所以.故选：B
8．（2025高三·全国·专题练习）二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取，分别赋值，，作差后化简即可得解.
【详解】由题意可得，
令，得，
令，得，
两式作差，可得，
因此，．
故选：B．
8.(24-25高二下·广东·阶段练习)现有标有数字1，2，3，4， ，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是( )．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出选出的卡片数字之和为9的方法总数，再由组合知识确定展开式中的系数，逐项判断即可得解.
【详解】若选一张卡片有9一种情况，有种方法，
若选两张卡片有1，8；2，7；3，6；4，5，四种情况，有种方法，
若选三张卡片有1，1，7；1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，2，5；2，3，4，六种情况，
有种方法，
若选四张卡片有1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3，
有种方法，
若选五张卡片有1，1，2，2，3一种情况，有种方法，
所以．
对A选项，有9个括号选带的项，有1个括号选1，所以的系数为，故A错误；
对B选项，由于，，，所以的系数为，故B错误；
对C选项，若由单独组成，其他项为常数，则有2种，系数为2，
若由两项组成，有，；，；，；，，四种情况，其他项为常数，则系数为，所以的系数，故C错误；
对D选项，，
若由单独组成，其他项为常数，则有种，系数为2，
若由两项组成，有，；，；，；，，四种情况，其他项为常数，
则系数为，同理若由三项组成，有，，；，，；，，；，，；，，；，，，六种情况，其他项为常数，则系数为，
同理，若由四项组成，有，，，；，，，；，，，；，，，，四种情况，其他为常数，则系数为，
同理，若由五项组成，有，，，，，一种情况，其他项为常数，则系数为，
所以系数为，故D正确；故选：D．
二、多选题
9.(25-26高二上·全国·单元测试)在的展开式中，下列说法正确的是(
A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的和为1
C．有理项有3项 D．第三项与第四项的系数之比为
【答案】ABD
【分析】应用二项式系数公式判断A，应用赋值法计算判断B，应用通项公式计算判断有理数项判断C，应用通项公式系数计算判断D.
【详解】A：在的展开式中，各二项式系数的和为64，A选项正确；
B：令，可得各项系数的和为，B选项正确；
C：的展开式的通项为，
令，得，2，4，6，此时展开式的项为有理项，所以有理项有4项，C选项错误；
D：第三项与第四项的系数之比为，D选项正确；故选：ABD.
10. (24-25高二下·广东湛江·阶段练习)若，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．被16除的余数是15
【答案】BC
【分析】根据二项式展开式的性质，通过赋值法来求解各项系数的值，再根据余数的定义判断被16除的余数.
【详解】已知，
令，可得，即，所以选项错误.
展开式的通项为.
当为偶数时，；当为奇数时，.
所以.
令，则，即，所以选项正确.
令，则.
又因为，所以，所以选项正确.
.根据二项式定理展开可得：
.
所以.
则被16除的余数是1，所以选项错误. 故选：BC.
11.(24-25高二下·山东·期中)杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在1261年所著的《详解九章算法》给出图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，则下列说法正确的是( )

A．第10行所有数字的和等于1024 B．第10行所有数字的平方和等于
C．若第n行的第i个数记为，则 D．记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为
【答案】ABC
【分析】根据杨辉三角对应的题图分析，结合二项式定理、组合数的性质及运算判断各项的正误即可.
【详解】对于A，由图分析知，杨辉三角的第n行是的展开式中二项式系数，，
所以，第10行所以数字的和为，A对；
对于B，由，则，
所以，对于含项，左侧为，右侧为，所以，第10行所有数字的平方和为：
，B对；
对于C，第行的第个数为，则，
故，C对；
对于D，由，
所以，三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为，
时，三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而，
综上，时三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为，D错.故选：ABC
三、填空题
12. (24-25高二下·福建福州·期中)已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有 项．
【答案】6
【分析】先应用赋值法求出，再应用通项公式计算求解即可.
【详解】令，得，则或(舍去)．
∴的展开式的通项为．
当时，为有理项，故有理项共有6项．故答案为：6.
13.(24-25高二下·山东济宁·阶段练习)二项式，若，
则 .
【答案】
【详解】由，
则二项式通项公式，
则，且,解得，，
则令，则，令，则，
故.故答案为：
14．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）定义：给定一个正整数m，如果两个整数a，b满足能够被m整除，就称整数a，b对模m同余，记作．若，，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】根据二项式定理可得题设中的代数式即为，再结合二项式定理逐项计算验证即可求解.
【详解】依题意得能够被5整除.
而
，
所以能够被5整除.
取，得能够被5整除.
逐个验证不满足，当时，满足被5整除.
此时，
取，得能够被5整除，显然不论何值都不满足，
取，得能够被5整除，
逐个验证不满足，显然都有，
取，得能够被5整除，
逐个验证不满足，当时，满足被5整除.
此时，
取，得能够被5整除，
逐个验证不满足，此时
若取，此时，
故的最小值为5.
故答案为：5
四、解答题
15.(24-25高二下·广东·期末)已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2．
(1)求的值；(2)求展开式中含的项．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)根据题意，利用展开式的二项式系数，列出方程，即可求解；
(2)由(1)，求得展开式的通项，确定的值，代入计算，即可求解.
【详解】(1)解：因为的展开式中，第4项与第3项的二项式系数的比值为2，
可得，解得.
(2)由(1)知，二项式，可得展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中的项为.
16.(23-24高一上·湖南岳阳·开学考试)阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”如图所示，它揭示了为非负数展开式的各项系数的规律．

根据上述规律，完成下列问题：(1)直接写出_____．(2)的展开式中项的系数是_____．
(3)利用上述规律求的值，写出过程．
【答案】(1)；(2)8；(3)答案见详解
【分析】(1)由杨辉三角规律求解，(2)由二项式定理求解，(3)转化为展开后求解．
【详解】(1)由杨辉三角图可得
(2)由杨辉三角的性质可得的展开式二项式系数可知展开式中项的系数为；
(3)
17.(24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有项的系数为1120.
(1)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(2)求的展开式中含项的系数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二项式的开式的二项式系数之和为结合条件可得的值，再由通项公式结合展开式中含有项的系数为1120可得的值，再求展开式中偶数项的二项式系数之和.
（2）利用二项展开式直接求解即可.
【详解】（1）因为（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，
所以＝256，解得n＝8，
∴二项展开式的通项为，
则项的系数为，
解得或（舍去），故的值分别为，
所以展开式中偶数项的二项式系数之和为.
（2）∵，
∴含x2项的系数为.
18（25-26高二上·全国·单元测试）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17．
(1)求；
(2)当展开式中的系数最小时，求的系数；
(3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求．
【答案】(1)
(2)140
(3)582
【分析】（1）写出的通项公式，根据展开式中x的系数得到的值；
（2）由（1）知，分，，均大于等于2时，得到展开式中的系数，求出当或时，的系数取得最小值，进而得到的系数；
（3）由（1）知，写出的展开式的通项公式，根据二项式系数的增减性得到，利用不等式法得到，求出.
【详解】（1）根据二项式定理知，的展开式的通项为
，
根据题意得，即．
（2）由（1）知，
当时，，此时展开式中的系数为，
同理当时，，此时展开式中的系数为，
当均大于等于2时，展开式中的系数为
，
故当或时，的系数取得最小值64，
显然的系数最小时，或，
此时，的系数为．
（3）由（1）知，则，
二项式的展开式的通项为，
所以可得，再根据即得，
此时，所以．
19.(2024·山东·模拟预测)设，.如果存在使得，那么就说可被整除(或整除)，记做且称是的倍数，是的约数(也可称为除数、因数)；不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.
【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)证明见详解
【分析】(1)利用等比数列前项和公式，求得，再结合二项式定理以及整除性质②即可得出证明；(2)由二项展开式可得为奇数时，满足，可得结论；
(3)分别对整数为奇数和偶数进行分类讨论，利用表达式将的表达式化简成含有的式子，再结合(2)中的结论即可证明可整除.
【详解】(1)因为，可知数列是以为首项，公比为的等比数列；
所以，
而，且31与9互质；
易知
，
所以；
，
所以；
结合整除性质②可知：；
(2)因为，
且为奇数，所以；
因此能被整除.
(3)易知.
当时，，
，
上式中，由(2)知，能被整除，
另一方面，
，
上式中，所以也能被整除，且与互质，
所以能被整除，即能被整除.
类似可证当时，，
，
显然，由(2)知，能被整除；
另一方面，
，
所以能被整除；且与互质.能被整除.
综上可知能被整除.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对整数的奇、偶进行分类讨论，得出的表达式，将的表达式通过拆分化简成含有中的式子，再结合(2)中的结论以及整除性质，即可得出证明.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 二项式定理
教学目标 1、理解二项式展开式的项、项的系数、项的二项式系数等概念； 2、掌握二项式展开式的通项公式，能熟练计算与项的系数、项的二项式系数有关问题； 3、掌握二项式展开式的二项式系数和、各项系数和； 4、能利用二项式定理解决整除与余数问题及近似计算.
教学重难点 1、重点：通项公式、系数和 2、难点：项的系数与二项式系数的区分，求项的系数的最值，余数与近似计算
知识点01 二项式定理
1．二项式定理
(a＋b)n＝ (n∈N*)，这个公式称为二项式定理，等号右边的多项式称为(a＋b)n的二项展开式，共有n＋1项，其中各项的系数 (k＝0，1，2，…，n)称为 ．
2．对二项式定理的理解
⑴二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；②字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n.
⑵二项展开式的第k＋1项的二项式系数是，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是，而第二项的系数则是·24.
【友情提示】
注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．
3．二项式定理的推论
推论：令a=1，b=x，可得
.
【即学即练】
1．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于(　　)
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
2．用二项式定理展开(2x－1)4＝____________________．
知识点02 二项展开式的通项
(1)通项公式：()
注意：在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项.
(2)其中：称为第项的二项式系数.
注意：二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分.
【即学即练】
1.(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习)二项式的展开式中常数项为(　　)
A． B．540 C．15 D．
2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
知识点03 二项式系数表（杨辉三角）
1．二项式系数表（杨辉三角）
当n依次取1,2,3,…时，展开式的二项式系数如下图所示，该图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角.
2．杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数___ _____．
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的 ，即＝ .
【知识辨析】
二项式系数与项的系数是两个不同的概念,要注意它们的区别与联系.
区别： (1)二项式系数仅指二项展开式中出现的组合数,而项的系数是指该项中除变量外的部分，如:展开式中的第r+1项为=,它的二项式系数为,而它的系数为，
(2)二项式系数一定为正数，而项的系数可能为负数.
联系：当a,b均为变量时，的第r+1项二项式系数即为其第r+1项的系数.
【即学即练】
1．（24-25高二上·全国·课堂例题）观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·江西抚州·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165 B．180 C．220 D．236
知识点04 二项式系数的性质
由二项式系数表易得二项式系数具有以下性质：
(1)对称性
与首末两端 “ ”的两个二项式系数相等．
直线是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值：
当是偶数时，中间一项 取得最大值；当是奇数时，中间两项 取得最大值．
(3)二项式系数和：，
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和均等于 ，
即：
推导方法：在中令，和，对得到的两个式子进行加和减即可得到上面结论.
【即学即练】
1．（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．840 B． C． D．210
2．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ）
A． B． C．15 D．20
知识点05 二项式展开式的各项系数和
1.设，
①令，可得：
②令，可得：，即：
(假设为偶数)，再结合①可得：
．(若n为奇数，同理可得结论)
2.若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
(i)当为偶数时，奇数项的系数和为
偶数项的系数和为
(ii)当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
3.若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果
【即学即练】
1.(24-25高二下·山东济宁·期中)已知，则( )
A．80 B．81 C．242 D．243
2．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）展开式中各项系数的和为 ．
题型01 二项式定理的正用、逆用
【典例】(1)写出展开式：；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．
【变式1-1】（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（ ）
A．44 B．32 C．28 D．52
【变式1-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ．
题型02 二项展开式中的特定项及系数
【典例2-1】(2024·湖北武汉·模拟预测)展开式的7项中，系数为有理数的项共有( )项
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2-2】(24-25高二下·安徽·阶段练习)在的展开式中，常数项为( )
A． B．40 C． D．80
【典例2-3】(25-26高三上·江苏南京·阶段练习)展开式中的第三项为 ．
求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）．
（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【变式2-1】（2025·高二·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-2】(24-25高二下·天津宝坻·阶段练习)二项式的展开式的第4项的系数是( )
A．8 B．35 C．280 D．60
【变式2-3】(24-25高二下·贵州黔南·期中)若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ．
题型03 求系数或二项式系数的最值
【典例3-1】(24-25高二下·山东·期中)若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则( )
A．12 B．10 C．9 D．8
【典例3-2】（25-27高二上·江苏·课后作业）在的展开式中.
(1)求第三项的系数；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
(1)求二项式系数最大项：如果是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项（第项）的二项式系数相等并最大.
（2）求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用，从而解出来，即得.
【变式3-1】(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第( )项.
A． B． C．2或3 D．3或4
【变式3-2】(多选)(24-25高二下·山东泰安·期末)已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是( )
A． B．所有项系数的和为1
C．二项式系数最大的项为第6项 D．有理项共有3项
【变式3-3】(24-25高二下·浙江杭州·阶段练习)在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是
题型04 求两个多项式积的特定项
【典例4-1】（2025·高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（ ）
A．40 B．200 C． D．
【典例4-2】（2025·高三·全国·专题练习） 的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．100 D．120
求多项式积的特定项的方法：“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况．
【变式4-1】（2025·高二·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式4-2】（2025·高三·江苏扬州·阶段练习）若的展开式中含的项满足，则这些项的系数和为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【变式4-3】（2025·高二·山东·阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．100 C．-40 D．
题型05 三项展开式问题
【典例5】在的展开式中，求含项的系数.
(1)分解因式法：通过因式分解将三项式转化为两个二项式，然后利用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开;
(3)利用组合知识：把三项式看成几个因式的积，利用组合知识分拆项的构成，注意最后应把各个同类项相合并.
【变式5-1】 展开式中的项的系数为 ．（用数字作答）
【变式5-2】（2025·吉林长春·二模）的展开式中，的系数为 ．
【变式5-3】（2025·江苏淮安·模拟预测）的展开式中的系数是 .（用数字填写）
题型06 杨辉三角
【典例6-1】（24-25高二下·湖北·阶段练习）“杨辉三角”是最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.在“杨辉三角”中第n行从左往右第i个数记为，则为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】(25-26高三上·福建·开学考试)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是( )
A．
B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第行的第个数为，则
解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析，实验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同)．
【变式6-1】(25-26高二上·全国·单元测试)杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第()斜线上所有数值之和最大时，的值为( )
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【变式6-2】（24-25高二下·海南海口·期中）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.杨辉三角有很多有趣的性质，例如，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加.在如图所示的杨辉三角中，记实线上的数1，3，6，10，…构成数列，即第2行第3个数是，第3行第3个数是，第4行第3个数是，第5行第3个数是，…第行第3个数是，则（ ）
A． B． C． D．
题型07 二项展开式的各项系数和
【典例7-1】(24-25高二下·浙江·期中)若，则等于( )
A． B． C． D．
【典例7-2】（多选）(24-25高二下·黑龙江绥化·期中)设，则( )
A． B．
C．中最大的是 D．
二项展开式中系数和的求法
（1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可．
（2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为．
【变式7-1】(24-25高二下·安徽滁州·期末)为正实数，且，当取最小值时，的展开式中各项系数的和为( )
A． B． C． D．
【变式7-2】(24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习)， 下列说法正确的是( )
A．各项的二项式系数和为256 B．
C． D．
【变式7-3】(2025高三·全国·专题练习)若二项式，则 .
题型08整除与余数问题
【典例8-1】设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可)
【典例8-2】（2025·高三·广西河池·期末）被15除所得余数为 ．
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
【变式8-1】(24-25高二下·贵州黔东南·期中)除以80的余数为( )
A．3 B．6 C．9 D．18
【变式8-2】(多选)(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知，则下列说法中正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除
题型09近似计算
【典例9-1】（2025·高二·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23
【典例9-2】把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（ ）
A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对
用二项式定理求近似值问题，模式比较固定，近似值问题先凑整，再展开．
【变式9-1】(24-25高二下·安徽·期中)的小数点后第三位数字为( )
A． B． C． D．
【变式9-2】估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
一、单选题
1．（25-26高三上·广东·阶段练习）二项式的展开式中和的系数之和为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．45
2．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）化简，其结果等于（ ）
A． B． C． D．
3.(24-25高二下·山东威海·期中)的展开式中含的项为( )
A． B． C． D．
4.(24-25高二下·山东·期中)已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
5.(23-24高二下·江苏泰州·期末)已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为( )
A． B． C． D．
6. (24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习)二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为( )
A．种 B．种 C．种 D．种
7.(24-25高二下·湖北黄冈·期末)设，且，若能被9整除，则( )
A．0 B．1 C．7 D．8
8．（2025高三·全国·专题练习）二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（ ）
A． B． C． D．
8.(24-25高二下·广东·阶段练习)现有标有数字1，2，3，4， ，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是( )．
A． B．
C． D．
二、多选题
9.(25-26高二上·全国·单元测试)在的展开式中，下列说法正确的是(
A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的和为1
C．有理项有3项 D．第三项与第四项的系数之比为
10. (24-25高二下·广东湛江·阶段练习)若，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．被16除的余数是15
11.(24-25高二下·山东·期中)杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在1261年所著的《详解九章算法》给出图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，则下列说法正确的是( )

A．第10行所有数字的和等于1024 B．第10行所有数字的平方和等于
C．若第n行的第i个数记为，则 D．记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为
三、填空题
12. (24-25高二下·福建福州·期中)已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有 项．
13.(24-25高二下·山东济宁·阶段练习)二项式，若，
则 .
14．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）定义：给定一个正整数m，如果两个整数a，b满足能够被m整除，就称整数a，b对模m同余，记作．若，，则的最小值为 ．
四、解答题
15.(24-25高二下·广东·期末)已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2．
(1)求的值；(2)求展开式中含的项．
16.(23-24高一上·湖南岳阳·开学考试)阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”如图所示，它揭示了为非负数展开式的各项系数的规律．

根据上述规律，完成下列问题：(1)直接写出_____．(2)的展开式中项的系数是_____．
(3)利用上述规律求的值，写出过程．
17.(24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有项的系数为1120.
(1)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(2)求的展开式中含项的系数.
18（25-26高二上·全国·单元测试）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17．
(1)求；
(2)当展开式中的系数最小时，求的系数；
(3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求．
19.(2024·山东·模拟预测)设，.如果存在使得，那么就说可被整除(或整除)，记做且称是的倍数，是的约数(也可称为除数、因数)；不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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