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第六章 概率全章复习讲义
教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题.
教学重难点 重点：条件概率、全概率公式，分布列、数学期望与方差、正态分布、二项分布、超几何分布. 2、难点：贝叶斯公式、正态分布.
回顾重点知识
知识点01 随机事件的条件概率
1．条件概率
（1）条件概率的定义：对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为．
（2）条件概率的性质
①非负性：；
②可加性：如果和是两个互斥事件，则．
2．全概率公式
（1）；
（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
3．贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
4．相互独立事件
（1）对于事件，若事件的发生与事件的发生互不影响，则称事件是相互独立事件
（2）若，则与相互独立．
（3）若与相互独立，则与与与也都相互独立．
（4）若与相互独立，则，
（5）一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即．
【即学即练】
1．（24-25高二下·上海松江·月考）盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·上海·月考）某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16
知识点02 离散型随机变量及其分布列
1．随机变量的有关概念
（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母表示
（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
（1）概念：若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
．．． ．．．
．．． ．．．
此表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时也用等式，表示的分布列．
（2）分布列的性质：①②．
3．常见的离散型随机变量的分布列
（1）两点分布列
0 1
若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从两点分布，并称为成功概率
（2）超几何分布
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中，且．
0 1 ．．． m
．．．
若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从超几何分布，
（3）独立重复试验与二项分布
①独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
独立重复试验的条件：（i）每次试验在相同条件下可重复进行；（ii）各次试验是相互独立的；（iii）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
②二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，则称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．
判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：（1）是否为次独立重复试验；，（2）随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数．
【即学即练】
1.（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a
则（ ）
A． B． C． D．
知识点03 离散型随机变量的均值与方差
1．均值
一般地，若离散型随机变量的分布列为：
．．． ．．．
．．． ．．．
则称为随机变量的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（1）期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．，
（2）是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态．
（3）直接给出了的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加．
2．方差
设离散型随机变量的分布列为：
．．． ．．．
．．． ．．．
则描述了相对于均值的偏离程度．而pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
（1）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散．反之，越小，的取值越集中在附近．，（2）方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负．
3．特殊分布的期望与方差
分布 期望 方差
两点分布 EX=p DX=p（1-p）
二项分布 EX=np DX=np(1-p)
超几何分布
【即学即练】
1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机变量，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．（24-25高二下·安徽·月考）设袋中有20个红球，30个白球，若从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
知识点04 正态分布
1.正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值；
④曲线与轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；
⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2.正态分布的三个常用数据
①；
②；
③．
【即学即练】
1．（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（ ）
【附：，】
A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725
2．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
二、熟记常见结论
若，其中是常数，是随机变量，则
（1），其中为常数；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若相互独立，则．
题型01 条件概率
【典例1-1】（24-25高二下·河南郑州·期末）在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2025·重庆·模拟预测）重庆某智能汽车研发中心正在测试新一代自动驾驶虚拟仿真系统.该系统可在电脑模拟的车库环境中，让车辆实现前、后、左、右四个方向的精确泊车.在此系统中，模拟车辆每次泊车位置调整会随机在前、后、左、右四个方向中选择一个方向移动1个单位距离.若某次泊车测试时连续进行了4次位置调整，则车辆在最终回到初始位置的条件下，向左移动两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型02 全概率公式
【典例2-1】（24-25高二下·河北·月考）向阳高中高二三个班级的50名学生参加某体能测试，其中1班10人，2班15人，3班25人，测试时每次都从尚未测试的学生中随机抽一位，测试完毕以后再选择下一位测试，则在这50名学生中，1班的所有学生先于其他两个班完成测试的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（24-25高二下·广东·月考）某地工商质检部门“3.15”期间对全市超市商品进行随机抽检，在某超市化妆品抽查时，先将同一品牌（其外包装形状、大小、材质都相同）的甲、乙两类共9个不同化妆品同时放入一纸箱中，其中甲类3个，乙类6个，每次从纸箱中随机抽出1个进行检验，抽出的化妆品不再放回.求：
(1)在第一次抽到甲类化妆品的条件下，第二次也抽到甲类化妆品的概率；
(2)第二次抽到甲类化妆品的概率.
【变式1-1】（24-25高二下·山西长治·期中）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．已知取到的是合格品，则它取自第一批产品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2025高二·全国·专题练习）已知某高中高三年级共有20个班，共1000人，其中男生600人，女生400人，现在从该校高三学生中抽取 的学生进行游戏时间调查.设置方案如下：一个罐子中放置了大小质地相同的20个红球，20个白球，被抽查的同学首先从一个罐子中随机抽取一个球，看过颜色后球放回，若抽到红球回答问题1，若抽到白球回答问题2，学生只需要对一个问题回答“是”或者“否”，问题 ：你的性别是否为男生 问题 ：你周末打游戏的时长是否在3小时及以上
(1)应该抽取多少学生，若用按比例分配的分层随机抽样的抽样方法，如何抽取这 的学生
(2)最终有40张答卷回答“是”，请估计该高中高三年级有多大比例的学生周末打游戏的时长在3小时及以上
题型03 利用离散型随机变量的分布列求概率
【典例3-1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.4 0.3 0.1
若随机变量，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【典例3-2】（24-25高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式3-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·月考）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.6
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
题型04 求随机变量的均值或方差
【典例4-1】(23-24高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期中)若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为 ．
【典例4-2】（2025·山东·模拟预测）甲、乙两人在足球游戏中进行踢点球比赛．在每一局比赛中，其中一人负责进攻球门，另一人负责防守球门 若进攻者进球则进攻者得1分，防守者得0分 若进攻者未进球则进攻者得0分，防守者得1分 第一局的进攻者随机确定，然后甲、乙轮流进攻．已知甲进攻时甲得分的概率为，甲防守时甲得分的概率为，各局的比赛结果相互独立，得分领先2分者获胜．
(1)求两局比赛后甲得分的分布列和均值
(2)求甲获得该场比赛胜利的概率．
【变式4-1】(24-25高二下·吉林农安县第十中学·期末)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m 0.4 m
下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】(24-25高二下·陕西西安鄠邑区第四中学·月考)开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立，
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
(1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率．
(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；
(3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小．
题型05 两点分布
【典例5-1】（24-25高二下·四川绵阳·期末）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知某人每次投篮命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为（ ）．
A． B．0 C． D．1
【变式5-1】（24-25高二下·北京大兴·期末）设，随机变量的分布列如下表所示，
X 0 1
P
则当概率在区间内增大时，方差的变化是（ ）
A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大
【变式5-2】（24-25高二下·山东枣庄·期末）若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
题型06 二项分布
【典例6】（2026·陕西宝鸡·一模）为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查．已知该高中共有学生1200人，其中男生720人．现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查．调查中把每天锻炼时间超过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”．已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人．
(1)求抽取的60人中男生、女生各多少人．
(2)从抽取的60人中随机选取一人，设事件为“选到男生”，事件为“选到锻炼积极者”，试判断事件、是否相互独立，并说明理由．
(3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【变式6】 (25-26高三上·四川成都成华区某校·期中)某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值；
(2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
题型07 超几何分布
【典例7】（24-25高二下·河北保定·月考）某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参加一项活动，记男生的人数为．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动．
①求两次活动中恰好有一人都参加的概率；
②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率．
【变式7】（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响．
(1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差；
(2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
题型08 正态分布
【典例8】（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，）
【变式8】（25-26高三上·广东惠州·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且.
(1)求；
(2)若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；
(3)经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望.
附：若，则，
，.
题型09 概率的综合
【典例9-1】（24-25高三上·海南·月考）全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；
【典例9-2】（25-26高二上·全国·期末）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示．
组别
频数 20 30 40 60 30 20
(1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望．
(2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．
（ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频．
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明．
参考数据：若，则，．
【变式9-1】(24-25高二下·福建南平·期末)某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：
方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：
方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
(1)求随机变量的分布列和数学期望：
(2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案 请说明理由.
【变式9-2】(24-25高二下·江苏宿迁青华中学·期中)高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜
(1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率；
(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？
一、单选题
1．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（ ）
A．种子含水量的测量误差
B．某品牌电视机的使用寿命
C．某网页在24小时内被浏览的次数
D．测量某一零件的长度产生的测量误差
2．（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·河北·月考）一捆树苗中有6棵松树树苗和4棵杉树树苗，松树树苗的成活率为0.9，杉树树苗的成活率为0.8，从这捆树苗中随机抽1棵种植，其成活的概率为（ ）
A．0.8 B．0.86 C．0.88 D．0.9
4．（2025·四川内江·一模）某产品的一项质量指标（单位：）服从正态分布，且，若从该产品中随机选取个，则质量指标在的个数的期望为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（ ）（参考数据：）
A．68 B．75 C．82 D．95
6．（25-26高三上·河北·期中）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ）
A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7
7．（24-25高二下·山东·月考）投掷一个质地均匀的正十二面体次（各面标有），当接触地面的一面数字之和为12的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（24-25高二上·吉林四平·月考）随机变量的分布列为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
9．（湖北省荆门市2026届高三上学期元月考试数学试题）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.75
10．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）甲同学准备今天去图书馆学习.已知甲同学乘出租车 乘公交车 坐地铁去图书馆的概率分别为；且他乘出租车 乘公交车 坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为
B．甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为
C．甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于
D．若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为
11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮甲、乙投中的概率分别为和，且每轮甲、乙投中与否互不影响，各轮之间也互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．一轮比赛中乙获胜的概率为
B．若在8轮比赛中甲获胜的次数的数学期望为2，则的最小值为
C．若且，则一轮比赛中平局的概率大于
D．若，且在4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，则或
三、填空题
12．（24-25高二下·重庆·月考）已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 .
13．（22-23高三下·江西·月考）“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则
14．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，当为奇数时，；当为偶数时，,则X的数学期望为 （用n表示），Y的数学期望为 （用n表示）．
四、解答题
15．（25-26高三上·云南·期中）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）.
(1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率；
(2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望.
16．（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品.
(1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率.
17．（24-25高二下·四川泸州·期末）甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮.
(1)求；
(2)求甲得分的分布列及数学期望.
18．（2025·山西·三模）甲工厂有，两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50件零件统计零件尺寸的误差（单位：）如下表：
生产线 抽取件数 平均误差 标准差
30 0.2 2.1
20 1.1
(1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差；
(2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差服从正态分布．以此次抽取样本的平均数和标准差分别作为，的估计值，规定为一等品，其余为二等品．
（i）若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数；
（ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设第次检测停止的概率为，是否存在最大值？若存在，求取得最大值时的值；若不存在，试说明理由．
附：若随机变量服从正态分布，则，．
参考数据：，．
19．（24-25高二下·福建三明·期末）某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ.
(1)求θ（结果用p表示）；
(2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题：
（ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）；
（ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第六章 概率全章复习讲义
教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题.
教学重难点 重点：条件概率、全概率公式，分布列、数学期望与方差、正态分布、二项分布、超几何分布. 2、难点：贝叶斯公式、正态分布.
回顾重点知识
知识点01 随机事件的条件概率
1．条件概率
（1）条件概率的定义：对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为．
（2）条件概率的性质
①非负性：；
②可加性：如果和是两个互斥事件，则．
2．全概率公式
（1）；
（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
3．贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
4．相互独立事件
（1）对于事件，若事件的发生与事件的发生互不影响，则称事件是相互独立事件
（2）若，则与相互独立．
（3）若与相互独立，则与与与也都相互独立．
（4）若与相互独立，则，
（5）一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即．
【即学即练】
1．（24-25高二下·上海松江·月考）盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件概率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设事件为甲取出的有红球，事件表示取出两个红球，
则，，
则.
故选：C
2．（24-25高二下·上海·月考）某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算公式求解即可.
【详解】设第一关通过为A，第二次通过为B，
则，，
所以.
故选：.
知识点02 离散型随机变量及其分布列
1．随机变量的有关概念
（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母表示
（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
（1）概念：若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
．．． ．．．
．．． ．．．
此表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时也用等式，表示的分布列．
（2）分布列的性质：①②．
3．常见的离散型随机变量的分布列
（1）两点分布列
0 1
若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从两点分布，并称为成功概率
（2）超几何分布
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中，且．
0 1 ．．． m
．．．
若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从超几何分布，
（3）独立重复试验与二项分布
①独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
独立重复试验的条件：（i）每次试验在相同条件下可重复进行；（ii）各次试验是相互独立的；（iii）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
②二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，则称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．
判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：（1）是否为次独立重复试验；，（2）随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数．
【即学即练】
1.（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列的性质计算即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
知识点03 离散型随机变量的均值与方差
1．均值
一般地，若离散型随机变量的分布列为：
．．． ．．．
．．． ．．．
则称为随机变量的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（1）期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．，
（2）是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态．
（3）直接给出了的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加．
2．方差
设离散型随机变量的分布列为：
．．． ．．．
．．． ．．．
则描述了相对于均值的偏离程度．而pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
（1）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散．反之，越小，的取值越集中在附近．，（2）方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负．
3．特殊分布的期望与方差
分布 期望 方差
两点分布 EX=p DX=p（1-p）
二项分布 EX=np DX=np(1-p)
超几何分布
【即学即练】
1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机变量，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式及期望的性质求解.
【详解】由，得，所以.
故选：A
2．（24-25高二下·安徽·月考）设袋中有20个红球，30个白球，若从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据超几何分布概率计算公式求解即可.
【详解】从袋中任取5个球，共有种取法，
其中恰有2个红球的取法为，
所以从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为.
故选：.
知识点04 正态分布
1.正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值；
④曲线与轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；
⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2.正态分布的三个常用数据
①；
②；
③．
【即学即练】
1．（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（ ）
【附：，】
A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725
【答案】A
【分析】根据正态分布的三段区间概率及对称性求概率即可.
【详解】由题设，，．
故选：A
2．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出.
【详解】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知，
第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等，
即，故B、D错误；
，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小，
.，所以A错误，C正确．
故选：C.
二、熟记常见结论
若，其中是常数，是随机变量，则
（1），其中为常数；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若相互独立，则．
题型01 条件概率
【典例1-1】（24-25高二下·河南郑州·期末）在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用排列组合计算各个事件的情况数，根据古典概型以及条件概率，可得答案.
【详解】记事件为“甲在分子生物学实验室实习”，事件为“甲与乙不在同一实验室实习”，
样本点的总数为，，
事件，同时发生的情况种数为，
，.
.
故选：D.
【典例1-2】（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（甲参加九连环活动的概率）和（甲和乙都参加九连环活动的概率），再代入公式计算.
【详解】从人中选个人为一组，方法数有种，
再把这一组与另外个人全排列，安排到个活动中，方法数有种.
根据分步乘法计数原理，总情况数为种.
若甲单独参加九连环活动，那么从剩下人中选个人为一组，方法数有种，
再把这一组与另外个人全排列，安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，
此时情况数为种.
若甲和另外一人一起参加九连环活动，从剩下人中选人与甲一组，方法数有种，
剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，
此时情况数为种.
所以甲参加九连环活动的情况数共有种，
则甲参加九连环活动的概率.
若甲和乙都参加九连环活动，则剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，
则甲和乙都参加九连环活动的概率.
根据条件概率公式.
故选：B.
【变式1-1】（2025·重庆·模拟预测）重庆某智能汽车研发中心正在测试新一代自动驾驶虚拟仿真系统.该系统可在电脑模拟的车库环境中，让车辆实现前、后、左、右四个方向的精确泊车.在此系统中，模拟车辆每次泊车位置调整会随机在前、后、左、右四个方向中选择一个方向移动1个单位距离.若某次泊车测试时连续进行了4次位置调整，则车辆在最终回到初始位置的条件下，向左移动两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设“进行4次位置调整后最终回到初始位置”为事件A，“进行4次位置调整中向左移动两次”为事件B.，先确定事件的情况数，再确定，再计算条件概率即可.
【详解】设“进行4次位置调整后最终回到初始位置”为事件A，
“进行4次位置调整中向左移动两次”为事件B，
则本题求条件概率.要使最终回到初始位置，可分以下两种情况：
（1）一组相同的相反方向移动两次，从前与后、左与右中选1组，
然后在4次移动中安排这两次移动，有种方法；
（2）两组不同的相反方向各移动一次，即对这4次不同方向的移动进行全排列，
有种排法，所以种情况.
其中，进行4次位置调整最终回到初始位置中向左移动两次的情况有种排法，
所以种情况，所以.
故选：C.
【变式1-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记事件从中任取一个数，这个数能被整除，记事件从中任取一个数，这个数能被整除，利用排列计数原理求出的值，利用列举法求出的值，再利用条件概率公式可求出的值.
【详解】记事件从中任取一个数，这个数能被整除，
记事件从中任取一个数，这个数能被整除，
4、5、6、7、8中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，
现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选，
4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被整除，则个位数必然为，
所以，
无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即，
由条件概率公式可得.
故选：C.
题型02 全概率公式
【典例2-1】（24-25高二下·河北·月考）向阳高中高二三个班级的50名学生参加某体能测试，其中1班10人，2班15人，3班25人，测试时每次都从尚未测试的学生中随机抽一位，测试完毕以后再选择下一位测试，则在这50名学生中，1班的所有学生先于其他两个班完成测试的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用条件概率和互斥事件概率公式进行计算即可．
【详解】记“最后测试的学生来自2班”为事件B，“最后测试的学生来自3班”为事件C，显然事件B，C互斥，
记“1班参加测试的学生先于其他两班学生完成测试”为事件D，则．
当事件B发生时，只需考虑1，3两个班所有参加测试的学生中最后面试的那位来自3班，
则．
当事件C发生时，只需考虑1，2两个班所有参加测试的学生中最后测试的那位来自2班，
则．
所以．
故选：A．
【典例2-2】（24-25高二下·广东·月考）某地工商质检部门“3.15”期间对全市超市商品进行随机抽检，在某超市化妆品抽查时，先将同一品牌（其外包装形状、大小、材质都相同）的甲、乙两类共9个不同化妆品同时放入一纸箱中，其中甲类3个，乙类6个，每次从纸箱中随机抽出1个进行检验，抽出的化妆品不再放回.求：
(1)在第一次抽到甲类化妆品的条件下，第二次也抽到甲类化妆品的概率；
(2)第二次抽到甲类化妆品的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件概率计算公式即可求解；
（2）由全概率计算公式即可求解.
【详解】（1）设事件“第一次抽到甲类化妆品”，“第二次抽到甲类化妆品”，
则事件“第一次抽到乙类化妆品”.
当第一次抽到甲类化妆品的条件下，剩下的8个中有2个甲类化妆品，6个乙类化妆品；
第二次再从剩余8个化妆品中抽一个，共8种不同的结果，
其中抽出的是甲类化妆品的结果共2种.所以.
（2）由题意知，符合条件的抽取有两种情况，一是第一次、第二次都抽到甲类化妆品；
二是第一次抽到乙类化妆品，第二次抽到甲类化妆品，
即，
故第二次抽到甲类化妆品的概率为.
【变式1-1】（24-25高二下·山西长治·期中）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．已知取到的是合格品，则它取自第一批产品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全概率公式求出事件“取到合格品”的概率，再利用条件概率公式求得答案.
【详解】设事件为“取到合格品”，事件为“取到的产品来自第批”，
则，，，，
则，
所以取到的是合格品，它取自第一批产品的概率为：
．
故选：C.
【变式2-2】（2025高二·全国·专题练习）已知某高中高三年级共有20个班，共1000人，其中男生600人，女生400人，现在从该校高三学生中抽取 的学生进行游戏时间调查.设置方案如下：一个罐子中放置了大小质地相同的20个红球，20个白球，被抽查的同学首先从一个罐子中随机抽取一个球，看过颜色后球放回，若抽到红球回答问题1，若抽到白球回答问题2，学生只需要对一个问题回答“是”或者“否”，问题 ：你的性别是否为男生 问题 ：你周末打游戏的时长是否在3小时及以上
(1)应该抽取多少学生，若用按比例分配的分层随机抽样的抽样方法，如何抽取这 的学生
(2)最终有40张答卷回答“是”，请估计该高中高三年级有多大比例的学生周末打游戏的时长在3小时及以上
【答案】(1) 名，男生60人，女生40人
(2)
【分析】（1）根据样本数量与抽样比的关系求抽样人数，根据分层随机抽样的性质可计算各层的人数；
（2）解法一、由题可得，抽球环节中抽到红球的概率，抽到白球的概率为，根据条件概率公式即可求出；
解法二、假设学生周末打游戏时间在3小时及以上的概率为P，根据题意得解得即可.
【详解】（1）（1）应该抽取名学生，若采用分层随机抽样，从男生中应该随机抽取人，从女生中应该随机抽取人.
（2）解法一：由题知，抽球环节中抽到红球的概率为，抽到白球的概率为；
记填写“是”为事件 ，以频率代替概率，，则只需求，
由全概率公式，，
所以，
所以估计有 的学生周末打游戏时间在3小时及以上.
解法二：假设学生周末打游戏时间在3小时及以上的概率为，
又抽到红球的概率为 ，抽到白球的概率为 ，
则，解得，
所以估计有 的学生周末打游戏时间在3小时及以上.
题型03 利用离散型随机变量的分布列求概率
【典例3-1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.4 0.3 0.1
若随机变量，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】A
【分析】由题意得计算求解即可.
【详解】由题可得.
故选：A
【典例3-2】（24-25高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
故选：C.
【变式3-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可.
【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1，
，
，解得：，
.
故选：A
【变式3-2】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·月考）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.6
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【分析】根据求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：A.
题型04 求随机变量的均值或方差
【典例4-1】(23-24高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期中)若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为 ．
【答案】1
【分析】由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解．
【详解】因为，所以随机变量的值只能为，
所以，解得或，
∴．
故答案为：1．
【典例4-2】（2025·山东·模拟预测）甲、乙两人在足球游戏中进行踢点球比赛．在每一局比赛中，其中一人负责进攻球门，另一人负责防守球门 若进攻者进球则进攻者得1分，防守者得0分 若进攻者未进球则进攻者得0分，防守者得1分 第一局的进攻者随机确定，然后甲、乙轮流进攻．已知甲进攻时甲得分的概率为，甲防守时甲得分的概率为，各局的比赛结果相互独立，得分领先2分者获胜．
(1)求两局比赛后甲得分的分布列和均值
(2)求甲获得该场比赛胜利的概率．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，再用分步乘法计数原理求出每种情况的概率，写出分布列并计算期望即可；
（2）设甲获得比赛胜利为事件，根据条件概率及全概率公式可求.
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，
设甲先进攻为事件，则乙先进攻为事件，
且，
所以
，
，
．
所以的分布列为
0 1 2
故的均值为．
（2）设甲获得比赛胜利为事件，
则．
由（1）知，，
由全概率公式，
得，
解得．
【变式4-1】(24-25高二下·吉林农安县第十中学·期末)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m 0.4 m
下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由分布列概率和为1求得，再根据分布列求得期望与方差，然后由期望与方差的性质求得的期望与方差.
【详解】由得，
所以，，
所以，，
故选：AC.
【变式4-2】(24-25高二下·陕西西安鄠邑区第四中学·月考)开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立，
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
(1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率．
(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；
(3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小．
【答案】(1)；
(2)分布列见详解，；
(3).
【分析】（1）根据表中数据，结合古典概型概率公式即可得解；
（2）利用古典概型概率公式求出各取值的概率，然后可得分布列，再由期望公式可得；
（3）利用方差公式计算出即可得解.
【详解】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人，
所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为.
（2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为，
由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为，
由题知，的可能取值为，
且，，
，
所以的分布列为：
0 1 2
期望.
（3）因为，，
，
所以，
所以
，
由（2）可得
.
即.
题型05 两点分布
【典例5-1】（24-25高二下·四川绵阳·期末）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由两点分布求出随机变量的均值，然后求出方差即可.
【详解】由题意，所以.
故选：D
【典例5-2】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知某人每次投篮命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】由两点分布得，，，代入目标式子转换成二次函数最值来做即可.
【详解】由题意可得，X服从两点分布，可得，，，
则，
当，即时取得最大值为0，
故选：B．
【变式5-1】（24-25高二下·北京大兴·期末）设，随机变量的分布列如下表所示，
X 0 1
P
则当概率在区间内增大时，方差的变化是（ ）
A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大
【答案】B
【分析】先求出期望，再求出方差，最后根据二次函数的性质判断.
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，，
所以
这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为，
当从增大到时，随增大而递增；
当从增大到时，随增大而递减，
因此，当在内增大时，方差先增大后减小.
故选：B.
【变式5-2】（24-25高二下·山东枣庄·期末）若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为，，
则，，
则，，
则，
当且仅当，即时取等号，故A正确.
故选：A.
题型06 二项分布
【典例6】（2026·陕西宝鸡·一模）为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查．已知该高中共有学生1200人，其中男生720人．现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查．调查中把每天锻炼时间超过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”．已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人．
(1)求抽取的60人中男生、女生各多少人．
(2)从抽取的60人中随机选取一人，设事件为“选到男生”，事件为“选到锻炼积极者”，试判断事件、是否相互独立，并说明理由．
(3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)男生36人，女生24人.
(2)不相互独立，理由见解析.
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据分层抽样的概念计算男、女生的人数.
（2）利用与的关系判断事件、是否相互独立.
（3）利用二项分布概率模型求分布列和期望.
【详解】（1）60人中，男生人数为人，女生人数为：人.
所以抽取的60人中男生36人，女生24人.
（2）由题意：，，
事件表示“选到男生且是锻炼积极者”，所以.
因为，所以事件、不相互独立.
（3）从全市学生中任意抽取1人是“锻炼积极者”的概率为.
从全市学生中抽取3人，“锻炼积极者”的人数服从二项分布，，
所以，，
，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【变式6】 (25-26高三上·四川成都成华区某校·期中)某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值；
(2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
【答案】(1)
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）根据频率之和为1列式计算即可；
（2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可.
【详解】（1）依题意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在的频率为
，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以.
题型07 超几何分布
【典例7】（24-25高二下·河北保定·月考）某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参加一项活动，记男生的人数为．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动．
①求两次活动中恰好有一人都参加的概率；
②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率．
【答案】(1)分布列见解析，期望为2；
(2)①；②.
【分析】（1）根据已知有的可能取值为，应用超几何分布的概率求法得到分布列，进而求期望；
（2）①应用组合数及古典概型的概率求法求概率；②根据题设分析知第二次这两名男生也参加，另一名从其它4人中选1人，应用组合数及古典概型的概率求法求概率.
【详解】（1）由题设的可能取值为，则，，，
所以的分布列如下：
1 2 3
；
（2）①由题意，6个人中有1个人参加两次活动有种，
再从5人中选2人参加第一项活动，最后从3人中选2人参加另一项活动，
所以两次活动中恰好有一人都参加的概率；
②第一次有两名男生参加，第二次这两名男生也参加，且另一名从其它4人中选1人，所以对应概率为.
【变式7】（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响．
(1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差；
(2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【答案】(1)分布列见解析
(2)甲公司竞标成功的可能性更大
【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，；
（2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论.
【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为，
则，，，
所以随机变量的分布列为：
可得，.
（2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为，
则，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以，
，
由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
题型08 正态分布
【典例8】（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果：
（2）根据题意，由正态分布的概率公式可得，再由二项分布的期望公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得．
（2）由题意得
，
则，，
，，
即随机变量Y的期望约为.
【变式8】（25-26高三上·广东惠州·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且.
(1)求；
(2)若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；
(3)经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望.
附：若，则，
，.
【答案】(1)56
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用平均数的定义进行计算；
（2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列；
（3）计算出，，所以，，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，故，所以.
【详解】（1）.
（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3.
因为，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
期望.
（3）因为，，所以，，
因为，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，
故，所以.
题型09 概率的综合
【典例9-1】（24-25高三上·海南·月考）全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；
【答案】(1)，中位数；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，结合中位数的定义进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
由频率分布直方图可知：
前两组频率之和为，
前三组频率之和为，
设中位数为，则.
，
解得.
所以，估计这50名学生成绩中位数为68.
（2）的三组频率之比为，
又在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中总共抽取了11人，
从中分别抽取7人，3人，1人.
由题知，从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，所有可能取值为0，1，2，3；
且，，
，.
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望
【典例9-2】（25-26高二上·全国·期末）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示．
组别
频数 20 30 40 60 30 20
(1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望．
(2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．
（ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频．
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明．
参考数据：若，则，．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)（ⅰ）；（ⅱ）方案2该平台赠送的学习视频总时长更多，答案见解析
【分析】（1）利用分层抽样求解前3组各组抽取的人数，然后确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望，求解期望时也可用超几何分布的期望公式；
（2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；
（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为，求出的所有可能取值及其概率，再求出，与方案1比较即可得出答案.
【详解】（1）因为抽样比为，
所以从中抽取（人），从中抽取（人），
从中抽取（人）．
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
故的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
方法一：．
方法二 ：服从参数的超几何分布，故．
（2）（ⅰ），，
所以，，，．
所以．
（ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取．
，
，
．
，
因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多.
【变式9-1】(24-25高二下·福建南平·期末)某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：
方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：
方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
(1)求随机变量的分布列和数学期望：
(2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案 请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)应选择方案一，理由见解析
【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论；
法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、，
，，.
.
（2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则.
，，
，，.
，
因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一；
法二：的值可能为、、、，
，，
，，
则，
，
因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.
【变式9-2】(24-25高二下·江苏宿迁青华中学·期中)高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜
(1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率；
(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用超几何分布和二项分布求概率即可；
（2）计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可.
【详解】（1）设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为,
则可能为2，3，4，
则,
由题意知，贾某轩答对的题数满足，
故,
闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道，
故共答对3首歌名的概率：.
（2）由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下：
X 2 3 4
P
故期望，
方差，
且，故，,
故.
所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定，
故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动
一、单选题
1．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（ ）
A．种子含水量的测量误差
B．某品牌电视机的使用寿命
C．某网页在24小时内被浏览的次数
D．测量某一零件的长度产生的测量误差
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可.
【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，
对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量；
对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量；
对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量；
对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量．
故选：C.
2．（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案.
【详解】由题意知，解得.
故选：B.
3．（24-25高二下·河北·月考）一捆树苗中有6棵松树树苗和4棵杉树树苗，松树树苗的成活率为0.9，杉树树苗的成活率为0.8，从这捆树苗中随机抽1棵种植，其成活的概率为（ ）
A．0.8 B．0.86 C．0.88 D．0.9
【答案】B
【分析】利用全概率公式即可求解.
【详解】由全概率公式可得其成活的概率为.
故选：B.
4．（2025·四川内江·一模）某产品的一项质量指标（单位：）服从正态分布，且，若从该产品中随机选取个，则质量指标在的个数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正态分布的对称性求出，从该产品中随机选取个，设质量指标在的个数为，则，结合二项分布的期望公式可求得的值.
【详解】因为某产品的一项质量指标（单位：）服从正态分布，且，
所以，
从该产品中随机选取个，设质量指标在的个数为，则，
由二项分布的期望公式可得.
故选：A.
5．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（ ）（参考数据：）
A．68 B．75 C．82 D．95
【答案】A
【分析】根据参考数据估计出尺寸在内的零件个数的概率，再根据抽出的总数即可求出最终结果.
【详解】∵，即，
∴，
∵质检员随机抽取100个零件，
∴尺寸在内的零件个数约为：个，
故选：A
6．（25-26高三上·河北·期中）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ）
A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7
【答案】A
【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可.
【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，，
，所以这组数据的分位数为第位数字，即，
即，所以.
故选：A.
7．（24-25高二下·山东·月考）投掷一个质地均匀的正十二面体次（各面标有），当接触地面的一面数字之和为12的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题主要理解投掷过程中得状态转移规律，并利用对称性化简计算.
【详解】设为余数为时的期望投掷次数，则
，当时，，由对称性可知，代入得，
，解得，所以总的数学期望为：
.
故选：D
8．（24-25高二上·吉林四平·月考）随机变量的分布列为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据已知条件求得，然后由来求得正确答案.
【详解】首先，根据随机变量的概率分布性质，，
即，所以.
已知期望.
将代入期望公式可得：
.
因为，所以.
然后求：
.
同样将代入可得：
.
已知，且，即.
用减去可得：
.
，即.
又因为，两式相减得：
，即.
所以，则，
把变形为，
将和代入得：，则，
所以.根据方差公式.
故选：D
二、多选题
9．（湖北省荆门市2026届高三上学期元月考试数学试题）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.75
【答案】AB
【分析】利用正态分布的性质及正态曲线求解出的值和的值，利用公式及求解，由两组电池能否正常使用相互独立，利用独立重复试验求概率.
【详解】对于选项A，，，，
，，
，，故选项A正确；
对于选项B，
，故选项B正确；
选项C，，，
故选项C错误；
选项D，，，，，
两组电池能否正常使用相互独立，
这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为，故选项D错误.
故选：AB.
10．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）甲同学准备今天去图书馆学习.已知甲同学乘出租车 乘公交车 坐地铁去图书馆的概率分别为；且他乘出租车 乘公交车 坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为
B．甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为
C．甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于
D．若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为
【答案】BCD
【分析】由条件概率及全概率计算公式逐项判断即可.
【详解】设“甲同学乘出租车出行”为事件，“甲同学乘公交车出行”为事件，“甲同学乘地铁出行”为事件，“甲同学在图书馆能找到空座位”为事件.
对于A，，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于，由全概率公式得：，故C正确；
对于D，由题意，故D正确.
故选：BCD.
11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮甲、乙投中的概率分别为和，且每轮甲、乙投中与否互不影响，各轮之间也互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．一轮比赛中乙获胜的概率为
B．若在8轮比赛中甲获胜的次数的数学期望为2，则的最小值为
C．若且，则一轮比赛中平局的概率大于
D．若，且在4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，则或
【答案】ACD
【分析】对于A，由独立事件的乘法公式即可判断；对于B，先计算一轮中甲获胜的概率，再由即可得到；对于C，由题可得一轮中平局的概率即可判断；对于D，当时，一轮中甲获胜的概率，则4轮比赛中，甲获胜2次的概率为即可求解.
【详解】一轮比赛中乙获胜，即乙投中甲未投中，其概率为，故A正确；
一轮比赛中甲获胜的概率为，由，知，故，
所以（当且仅当时取等号），
可得的最小值为0，故B错误；
一轮比赛中平局的概率为，故C正确；
若，一轮比赛中甲获胜的概率，
则4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，
解得或，当时，解得或，当时，方程无解，
综上，或，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（24-25高二下·重庆·月考）已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 .
【答案】/
【分析】根据两点分布的特点和方差公式得，再利用方差的性质即可得到答案.
【详解】根据两点分布的特点得，
则，
根据方差的性质得，
13．（22-23高三下·江西·月考）“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则
【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）
【分析】根据题意和正态曲线的特征可得到，再根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可．
【详解】依题意可得，
要使次品率不高于，则正品率不低于，
又根据正态曲线的特征知，，
所以，
所以，解得．
故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）．
14．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，当为奇数时，；当为偶数时，,则X的数学期望为 （用n表示），Y的数学期望为 （用n表示）．
【答案】
【分析】根据题意可知，利用二项分布的期望公式即可求出的数学期望；利用与的关系，写出的值为,进而可得，再利用即可求得的数学期望.
【详解】第一空：由题可知，所以；
第二空：根据题意的值为,
，
，
，
，
，
，
.
四、解答题
15．（25-26高三上·云南·期中）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）.
(1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率；
(2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解；
（2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可.
【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为.
（2）由题意得，
则，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
16．（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品.
(1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件概率公式计算即可；
（2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解.
【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，，
所以；
故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为；
（2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件；
所以，，，；
由全概率公式得.
所以取到歌曲的概率为
17．（24-25高二下·四川泸州·期末）甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮.
(1)求；
(2)求甲得分的分布列及数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）根据题设分析得表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分，即可得；
（2）由题意，结合对应事件求出对应的概率，写出分布列，进而求期望.
【详解】（1）由题意，表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分，
要使第2轮甲投篮，则第1轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮且未投中，显然两种情况甲均积1分，
所以要使第2轮甲积2分，则甲必投中，故；
（2）由题设，
当，第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮且投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮且投中，则，
当，第1轮甲投篮且投中，第2轮甲投篮未投中，或第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮未投中，
则，
当，第1、2轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮且投中，
则，
综上，的分布列如下，
0 1 2
.
18．（2025·山西·三模）甲工厂有，两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50件零件统计零件尺寸的误差（单位：）如下表：
生产线 抽取件数 平均误差 标准差
30 0.2 2.1
20 1.1
(1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差；
(2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差服从正态分布．以此次抽取样本的平均数和标准差分别作为，的估计值，规定为一等品，其余为二等品．
（i）若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数；
（ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设第次检测停止的概率为，是否存在最大值？若存在，求取得最大值时的值；若不存在，试说明理由．
附：若随机变量服从正态分布，则，．
参考数据：，．
【答案】(1)平均数为0，标准差为1.79．
(2)（i）680件；（ii）答案见解析
【分析】（1）根据已知条件和平均数和方差的公式求出平均数和方差，然后即可求得标准差.
（2）对于（i），根据正态分布的性质可求得零件是一等品的概率值，进而可得到一等品的件数；对于（ii），首先列出的表达式并化简，然后根据单调性确定其是否有最大值并求得的值.
【详解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为，方差为，则
，
，
所以．
所以这50件零件尺寸的误差的平均数为0，标准差为1.79．
（2）（i）由（1）得零件尺寸的误差服从正态分布，
则，
零件是一等品的概率估计为0.68，，
所以估计其中一等品的件数约为680件．
（ii）第次检测停止，即前次抽到3件二等品，第次抽到第4件二等品，
则当时，．
当时，由， 解得．
所以当时，单调递增；当时，单调递减．
综上，存在最大值.当时，取得最大值．
19．（24-25高二下·福建三明·期末）某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ.
(1)求θ（结果用p表示）；
(2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题：
（ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）；
（ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）该厂商的说法不可信；（ⅱ）10000
【分析】（1）利用条件概率表示.
（2）（ⅰ）结合二项分布的期望和方差公式，判断是否为小概率事件.
（ⅱ）根据列式，解不等式可求的取值范围.
【详解】（1）设事件表示芯片通过测试Ⅰ，则，
设事件表示芯片通过测试Ⅱ，则，
设事件表示芯片通过测试，则.
所以.
（2）（ⅰ）若，则.
设抽取的100枚芯片中，合格芯片数为，则，所以,.
当时，，
根据切比雪夫不等式：.
所以若，则为小概率事件，所以厂商的说法不可信.
（ⅱ）因为，所以，.
由切比雪夫不等式：.
因为（当时取等号）.
所以要使，即.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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