资源简介

专题01 随机事件的条件概率
教学目标 1．理解条件概率的概念，掌握定义法、基本事件法、缩小样本空间法等求解方法，熟记并运用乘法公式。 2．理解全概率公式和贝叶斯公式的适用条件，掌握公式内容及内在转化关系，能运用公式解决概率问题。 3．理解相互独立事件的定义，熟记相关概率计算公式，知晓A与B独立时衍生的独立关系。
教学重难点 重点：条件概率的计算；全概率公式、贝叶斯公式的应用；相互独立事件的判定及概率计算。 难点：全概率公式与贝叶斯公式的区分及灵活运用；条件概率与相互独立事件的综合应用。
知识点01 条件概率
1.条件概率
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
2．条件概率的解法
方法 公式或步骤
定义法
基本事件法
缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解
3.乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则
【即学即练】
1．设集合，且，则（ ）
A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2
【答案】A
【详解】因为，，所以，
所以，
故选：A.
2．（广东省汕头市2025-2026学年高一上学期期末统考数学试卷）从中取两数，事件A为“和为偶数”，B为“积为奇数”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合古典概型分别求，，代入条件概率公式即可得结果.
【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，
所以，，
由条件概率可得：.
故选：D.
知识点02 相互独立事件
1.概念
如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称事件A与事件B是相互独立事件
2.公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B).
3.性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.
5.相互独立事件的概率公式的推广
若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P()P()…P().
【即学即练】
1．（24-25高一下·四川达州·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚硬币正面朝上”，“第2枚硬币反面朝上”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相等
C．与互斥 D．与对立
【答案】A
【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.
【详解】显然事件和事件不相等，故B错误；
由于事件和事件能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故C、D错误；
因为事件是否发生与事件无关，事件是否发生也与事件无关，故事件和事件相互独立，故A正确.
故选：A.
2．（25-26高二上·陕西·月考）春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，结合对立事件的概率公式，即可求解.
【详解】由题意知，甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人互不影响，
则甲乙同时预约不成功的概率为，
所以甲乙两人至少有一人预约成功的概率是.
故选：C.
知识点03 全概率公式与贝叶斯公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有
图示：
2.贝叶斯公式
(1)概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有
(2)作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系．
【即学即练】
1．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据条件概率及全概率公式计算可得.
【详解】设“取到编号为1的工厂的产品”， “取到编号为2的工厂的产品”， “取到编号为3的工厂的产品”，
则.
设“取到产品是次品”，则.
由全概率公式
.
故选：C.
2．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ．
【答案】/
【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为.
故答案为：
题型01 条件概率的计算
【典例1-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出百位数字为奇数（事件）的基本事件数及百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数，代入条件概率的计算公式计算即可.
【详解】.
百位数字为奇数即从1，3，5中选1个数放在百位，有种选法，
十位和个位从剩下的4个数中选2个排列，有种排法，
则事件包含的基本事件数为种.
百位数字为奇数且该数能被5整除，即个位固定为5，百位从1，3中选1个，有种选法，
十位从剩下的3个数字中选1个，有种选法，
则百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数为种.
因此，.
故选：A.
【典例1-2】（2026·河北沧州·一模）某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出和，利用条件概率公式即可求解.
【详解】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为，
再安排给3人，总方法数为，
其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以，
而事件与都发生的所有可能结果有，即，
所以所求概率为．
故选：C．
求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B｜A)＝.
(2)样本点法：P(B｜A)＝.
(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.
【变式1-2】（25-26高三上·甘肃·月考）根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合排列组合应用问题列式求解.
【详解】乙恰好选择了三座城市旅游的方法数为，
而事件与都发生的所有可能结果有，
所以所求概率为.
故选：C
【变式1-2】某机场进行数据分析，发现航班延误小时数与航班起飞前雷暴雨发生时间（单位：小时）存在一定关系，具体数据如下表：
1 3 4 4.5
根据机场多年数据统计，小于1，2，3的概率分别为0.4，0.7，0.9，若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨，则其延误时间不超过4小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由概率的加法公式可得，
故．
故选：D．
题型02 乘法公式的应用
【典例2-1】在随机事件满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知，根据条件概率公式，可得，即.
因为表示不发生且发生，所以，那么.
又因为，所以，展开可得，得到，则与相互独立.
已知，可得.
因为事件与相互独立，所以，将，代入可得：
故选：B.
【典例2-2】已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1.则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（ ）
A．0.25 B．0.15 C．0.1 D．0.03
【答案】D
【详解】某品牌的手机从1米高的地方掉落时，
第一次未损坏的概率为0.3，
在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1.
这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为：
.
故选：D.
乘法公式的作用
乘法公式P(AB)＝P(B｜A)P(A)的作用就是方便我们在不好直接求得P(AB)的情况下，先迂回地求出方便计算的P(B｜A)和P(A)，再求得P(AB).
注意：求一些复杂的条件概率时，往往可以先把事件分解成若干个互斥的较简单事件之和，利用公式P(B∪C｜A)＝P(B｜A)＋P(C｜A)使求解更为简捷.如果直接分解比较麻烦，可以考虑对立事件，利用P(AB)＋P(A)＝P(A)及P(｜A)＋P(B｜A)＝1求解.
【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式进行计算.
【详解】设第一次取到白球为事件，则，
设第二次取到白球为事件，则，
所以.
故选：B
【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，由条件概率公式求解即可．
【详解】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，，
由条件概率公式得，则,
故选：B．
题型03 条件概率的性质及应用
【典例3-1】已知随机事件A，B，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C
【典例3-2】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对A：因为，故A正确；
对B：由，所以，故B正确；
对C：由，且，所以，
所以，故C错误；
对D：因为，故D正确.
故选：ABD
【变式3-1】已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若，则，
若，则不一定成立，则不一定成立，
如，时，，满足，但不满足，
若，则，故，即，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
【变式3-2】设A，是两个随机事件，且则
【答案】
【详解】因为，所以.
由.
设，则，.
由.
又①
②.
①②得：.
题型04 相互独立事件的判断
【典例4-1】（25-26高二上·广东佛山·月考）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，则（　　）
A．事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是
B．事件“第一枚朝上的点数为偶数”与“第二枚朝上的点数为奇数”是相互独立的
C．事件“至少一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是对立的
D．事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是互斥的
【答案】BC
【分析】由古典概型的概率求法判断A，根据独立事件、对立事件、互斥事件的定义判断B、C、D.
【详解】事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是，A不正确；
事件“第一枚朝上的点数为偶数”与事件“第二枚朝上的点数为奇数”互不影响，B正确；
事件“两枚朝上的点数都是偶数”的对立事件为“两枚朝上的点数都是奇数或一个奇数一个偶数”，C正确；
事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”可以同时发生，D不正确．
故选：BC
【典例4-2】（黑龙江省绥化市新时代高中教育联合体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题B卷）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（ ）
A．与为对立事件 B．与为互斥事件
C．与为相互独立事件 D．与为相互独立事件
【答案】D
【分析】确定所有基本事件，结合对立事件、互斥事件、独立事件的概念进而逐项判断即可.
【详解】为样本空间，
对于A，，
比如第一次第一次抛掷骰子的点数为，该事件既不在中，也不在中，
所以与不为对立事件.
对于B，事件为，所以与不为互斥事件.
对于C,，
所以与不相互独立.
对于D，，
所以与相互独立.
故选：D.
判断两个事件是否相互独立的方法
(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
(2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
(3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与，与B，也相互独立.
【变式4-1】一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】A
【详解】不放回地依次取出两个，事件的结果用“”表示，，表示第一次取出的小球的编号，
表示第二次取出的小球的编号，基本事件有，共种，
事件，事件，
事件，事件.
事件，事件，
事件， 事件，
则，，，
，，，，
所以，所以与不相互独立；
，所以与相互独立；
，所以与相互独立；
，所以与相互独立；
故选：A
【变式4-2】（多选）（25-26高二上·贵州六盘水·月考）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回的方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出的球的标号小于3”，事件“两次摸出的球的标号均为偶数”，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与相互独立
【答案】AD
【分析】根据题意，利用列举法写出样本空间，以及事件与事件，结合古典概型的概率计算公式，以及独立事件的判定方法，逐项分析求解，即可得到答案.
【详解】根据题意，样本空间为：，共有12个样本点，
事件，共有6个样本点，
事件，共有2个样本点，
对于A，事件的概率为，所以A正确；
对于B，事件的概率为，所以，所以B不正确；
对于C，由事件，共有7个样本点，
所以事件的概率为，所以C错误；
对于D，由，所以，又由，
可得，所以事件与事件相互独立，所以D正确.
故选：AD.
题型05 相互独立事件的概率计算
【典例5-1】如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，则，
因为，则，
因为，
所以.
故选：D
【典例5-2】（24-25高一下·江西宜春·月考）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛.
(1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率；
(2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)4局比赛中,对甲恰好有2局比赛获胜的情况分类分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式,即可求得甲恰好有2局比赛获胜的概率;
(2) 4局比赛中，甲获胜的局数比乙获胜的局数多的情况分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式，即可求得甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率.
【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件，
记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件，
所以，
所以.
（2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件，
所以，
所以
.
即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为.
与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式
事件A，B相互独立 概率计算公式
A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B)
A，B同时不发生 P()＝P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]
A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生 P＝1－P()＝1－P()P()
A，B恰有一个发生 P＝P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)
【变式5-1】2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动.
(1)在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率；
(2)班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率
【答案】(1)；
(2).
【分析】
【详解】（1）设来自班的3名同学分别为，来自班的3名同学分别为，
则总共有，共15种情况，
其中共有6种情况满足题意,
由古典概型的概率公式可得参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率.
（2）设甲同学每轮合格分别为事件，甲记为“优秀”为事件，
则，
,
则三轮初选后，甲记为“优秀”的概率为.
【变式5-2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率；
(2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解；
（2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解；
【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得
，，，，
设“两轮活动星对猜对3个成语”，则，
所以，
，
因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为.
（2）设表示乙两轮都没猜对的事件，，
设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则
，
.
题型06 全概率公式的应用
【典例6-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出具体的事件，事件A：该医院的患者现场挂号，事件B：该医院的患者对医院的服务满意，由全概率公式可求出.
【详解】设事件A：该医院的患者现场挂号，事件B：该医院的患者对医院的服务满意，
则事件：该医院的患者在线挂号，且，，,
由全概率公式可知.
故选：A
【典例6-2】某次社会实践活动中，甲 乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲 乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 .
【答案】
【详解】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，则，
所以，
，
故答案为：；.
全概率公式的适用范围及步骤
1.适用范围：所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
2.运用全概率公式的一般步骤
第一步：求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An；
第二步：求P(Ai)(i＝1，2，…，n)；
第三步：求P(B｜Ai)(i＝1，2，…，n)；
第四步：求目标事件的概率P(B).
注意：(1)对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn.(2)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可.
【变式6-1】（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．与相互独立
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题意可知，，，，则，
则，故A正确；
，，
则，故与不独立，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
【变式6-2】（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品.
(1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件概率公式计算即可；
（2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解.
【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，，
所以；
故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为；
（2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件；
所以，，，；
由全概率公式得.
所以取到歌曲的概率为
题型07 贝叶斯公式的应用
【典例7】某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　）
A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
【答案】B
【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，
则 ，
事件 表示智驾出现故障，
则由全概率公式得 ，
由贝叶斯公式得，，，
所以甲乙丙要承担的责任比为.
故选：B.
【变式7-1】学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果.
【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为，
市民开私家车出行迟到的概率为，
市民骑行或步行出行迟到的概率为，
则这名市民迟到的概率为，
故所求的概率为.
故选：C.
【变式7-2】（2025高一·全国·专题练习）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
【答案】(1)
(2)①；②方案二
【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；
（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论．
【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结
果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
．
所以试验一次结果为红球的概率为．
（2）①因为是对立事件，，
所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为．
②由①得，所以方案一中取到红球的概率为：
方案二中取到红球的概率为：
因为，所以方案二中取到红球的概率更大．
一、单选题
1．（25-26高二上·江苏南京·月考）在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【答案】B
【分析】根据随机事件的互斥、独立的概率关系判断即可．
【详解】由题意知，所以A、B不是互斥事件，
，所以与独立，所以与独立．
故选：B．
2．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能，
所以事件包含的样本点个数有个，
所以，
事件包含的基本事件有：，
所以，
所以.
故选：A.
3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：由互斥事件和事件概率公式、条件概率计算公式即可求解；法二：确定事件与事件相互独立，得到即可求解.
【详解】法1：因为，所以，
所以，
所以．
法2：因为，所以，
所以，
所以，所以事件与事件相互独立，
所以事件与事件独立，所以.
故选：C
4．（25-26高二上·湖北恩施·月考）东风5C液体洲际战略核导弹，打击范围覆盖全球. 某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（ ）
A．0.08 B．0.18 C．0.72 D．0.98
【答案】D
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率关系可得.
【详解】记甲款导弹命中目标为事件，乙款导弹命中目标为事件，目标被击中为事件，
由题知，，且，相互独立，
则.
故选：D
5．（24-25高一下·河南许昌·期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据甲投次或乙投次或丙投次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【详解】第4次是丙投篮，可能有：
①甲投次，乙投次，则第次是丙投篮，
概率为.
②甲投次，乙投次，则第次是丙投篮，
概率为.
③甲投次，乙投次，丙连投次，
概率为.
综上所述，第4次是丙投篮的概率为.
故选：C
6．（22-23高三上·湖北·月考）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】要判断“相互独立”与“”的条件关系，需从充分性和必要性两方面，利用条件概率公式及事件独立性定义进行推导即可.
【详解】由题意，，，
若相互独立，则相互独立，相互独立，
所以，，
所以，故充分性成立；
若，即，
则，
即，故，
即相互独立，故、相互独立，故必要性成立，
故“相互独立”是“”的充分必要条件．
故选：C
7．（24-25高三上·四川德阳·月考）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　）
A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
【答案】B
【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解.
【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，
则 ，
事件 表示智驾出现故障，
则由全概率公式得 ，
由贝叶斯公式得，，，
所以甲乙丙要承担的责任比为.
故选：B.
8．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”，
每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：，
设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为
因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等，
记，，则，即.
若即则路径数有6种；
若即则路径数有24种；
若即则路径数有6种；
所以.
事件“向右移动2次且回到点”
要使向右移动2次且回到点，则且，
又，所以，路径数有6种；
.
.
故选：A.
二、多选题
9．（24-25高一下·贵州遵义·月考）有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】明确基本事件，用独立事件定义逐一验证选项.
【详解】四张卡片的内容：
卡片1：包含数字1,2,3；
卡片2：包含数字1；
卡片3：包含数字2；
卡片4：包含数字3.
含有数字1的卡片：卡片1、卡片2，∴
含有数字2的卡片：卡片1、卡片3，∴
含有数字3的卡片：卡片1、卡片4，∴
同时含有数字1和2的卡片：卡片1，∴
同时含有数字1和3的卡片：卡片1，∴
同时含有数字2和3的卡片：卡片1，∴
同时含有数字1和2和3的卡片：卡片1，∴
∵，∴事件相互独立，A选项正确；
∵，∴事件相互独立，B选项正确；
∵，∴事件相互独立，C选项正确；
∵，∴事件不相互独立，D选项不正确；
故选：ABC.
10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．为对立事件
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，
所以为对立事件，故A正确；
对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确；
对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时，
所以，故C不正确；
对于D，，故D正确，
故选：ABD．
11．（25-26高三上·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
【答案】ABD
【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解；对于C选项利用贝叶斯公式求解；对于D选项不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.
【详解】对于A选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球，
则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为：
，故A正确，
对于B选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球，
依题意两两互斥， 其和为，
并且，
，
，
，
由全概率公式有：，故B正确；
对于C选项：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同，
，
，
，
则故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1的口袋的概率最大，
故C不正确；
对于D选项：先将5个不同的小球分成或三份，
再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有：
，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．甲、乙两人进行象棋有奖比赛，约定：一共下两局，只有当乙两局都获胜时，乙才获得奖品，否则就是甲获得奖品．已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为，，没有和棋且各局比赛相互独立，则甲获得奖品的概率为 ．
【答案】
【分析】详解】设事件“甲获得奖品”，事件“乙获奖”，则互为对立事件，
由于乙获奖的条件是：乙两局全胜，所以.
所以
故答案为：.
13．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
【答案】
【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果.
【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，
所以，
14．（25-26高一上·全国·单元测试）[2025南昌二中高一期末]由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，活动共进行三轮，每人猜一次．已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙和甲都猜对的概率为，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 ．
【答案】
【分析】依据对立事件的概率及独立事件性质得到三个人猜对的概率，再得到乙、丙都猜对的概率.
【详解】设事件“甲猜对”，事件“乙猜对”，事件“丙猜对”，由题意，得
，解得，
故乙、丙都猜对的概率为．
四、解答题
15．（广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题）据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为.
(1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由；
(2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.
(3)根据上述结果，能得出什么结论？
【答案】(1)与不相互独立
(2)
(3)长时间玩手机与近视存在一定的关联.
【分析】（1）求出，，根据相互独立事件的定义判断即可；
（2）利用全概率公式，即可得到.
（3）由和，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联.
【详解】（1）与不相互独立，理由如下：
已知，，
所以；
因为；
所以，
所以与不相互独立.
（2）设为 “每天玩手机不超过 1 小时”，则
所以
即，所以.
（3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%明显高于不超过1小时的学生近视率37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联.
16．（25-26高三上·上海·阶段练习）自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人．
(1)求；
(2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数）
(3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率．
【答案】(1)0.16；150
(2)4.24
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1，列出方程可求，再根据运动时长在小时的员工有48人，结合频率可求；
（2）根据频率分布直方图平均数的公式求解即可；
（3）根据题意设事件，再利用条件概率公式求概率即可．
【详解】（1）由频率分布直方图可，
解得，
因为运动时长在小时的员工有48人，
所以，解得，
即，．
（2）由（1）知，
则平均数为，
所以该公司员工一周运动时长的平均数约为4.24．
（3）设选中的员工一周运动时长不少于4小时为事件，
选中的员工一周一周运动时长在区间内为事件，
则，
，
，
所以在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，
此人一周运动时长在区间内的概率．
17．有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束.
(1)求首次摸球后试验就结束的概率；
(2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率；
(3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球；
方案二：从另外一个袋子中摸球.
请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大.
【答案】(1)；
(2)；
(3)方案二.
【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
则，
所以首次摸球后试验就结束的概率为.
（2）由题意，和为对立事件，则，
则，
所以选到的袋子是乙袋的概率是.
（3）方案一：从原袋中摸球
若首次在甲袋中摸出红球，则，
原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为；
若首次在乙袋中摸出红球，则，
原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为.
综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为.
方案二：从另外一个袋子中摸球
若首次在甲袋中摸出红球，则，
另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为；
若首次在乙袋中摸出红球，则，
另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为.
综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为.
因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大.
18．（2025高一·全国·专题练习）在点球大战中，心理因素对球员的发挥有重要影响.假设甲队每名队员在压力下射进点球的概率为，在无压力下射进点球的概率为，且．乙队每名队员射进点球的概率为q（不受心理因素影响）.甲队先踢.定义：
无压力情况：当前比分甲领先或平局（甲有心理优势）
有压力情况：当前比分甲落后（甲有心理压力）
(1)若，求甲队在前3轮结束后领先的概率；
(2)若甲队在前2轮结束后领先，求甲队在第4轮取得胜利的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）前3轮结束后甲队领先，即甲队进球数多于乙队.由于心理因素影响，需考虑每轮甲队所处的心理状态.定义状态：
初始状态（比分），甲无压力，
甲进i球，乙进j球后的状态，
计算前3轮所有可能路径：
路径1：甲进3球，乙进0球
路径：
概率：，
路径2：甲进3球，乙进1球，
路径数：种方式，
每种路径概率：，
总概率：，
路径：
概率：，
路径4：甲进2球，乙进1球
路径数：种方式
每种路径概率：，
总概率：，
路径5：甲进1球，乙进0球，
路径：
概率：，
前3轮结束后甲队领先的概率为：
，
（2）甲队在前2轮结束后领先，意味着前2轮结束时甲队进球数多于乙队.可能的情况有：
甲进2球，乙进0球
，
甲进2球，乙进1球
总概率，
甲进1球，乙进0球
，
总前2轮领先概率：，
在第4轮取得胜利的条件：比赛在第3或4轮提前结束且甲队获胜.计算各情况下的胜利概率：
情况1：
，
情况2：
，
情况3：
，
总胜利概率：
19．（2025高一·全国·专题练习）近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．假设最终进入半决赛有四支队伍，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时A与B同组，C与D同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【答案】(1)均为
(2)淘汰赛赛制和双败赛制下A获得冠军的概率分别为，；人们“对强者不公平”的质疑是不对的
【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率；
（2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论.
【详解】（1）记拿到冠军分别为事件．淘汰赛赛制下，A只需要连胜两场即可拿到冠军：
对于：需战胜A后战胜C或D中胜者
同理，
（2）记淘汰赛赛制和双败赛制下A获得冠军的概率分别为
则
而双败赛制下，A获得冠军的可能性有三种：
1．直接连赢三局（未用“复活甲”）
2．从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛
3．直接掉入败者组拿到冠军
首先，A直接连赢三局的概率为：，
A从胜者组掉入败者组再夺冠：，
A直接掉入败者组再夺冠：，
所以：，
比较两种赛制：
，
当时，，即双败赛制下，强者拿到冠军的概率更大；
当时，，即双败赛制下，弱者拿到冠军的概率更小．
综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 随机事件的条件概率
教学目标 1．理解条件概率的概念，掌握定义法、基本事件法、缩小样本空间法等求解方法，熟记并运用乘法公式。 2．理解全概率公式和贝叶斯公式的适用条件，掌握公式内容及内在转化关系，能运用公式解决概率问题。 3．理解相互独立事件的定义，熟记相关概率计算公式，知晓A与B独立时衍生的独立关系。
教学重难点 重点：条件概率的计算；全概率公式、贝叶斯公式的应用；相互独立事件的判定及概率计算。 难点：全概率公式与贝叶斯公式的区分及灵活运用；条件概率与相互独立事件的综合应用。
知识点01 条件概率
1.条件概率
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率．
2．条件概率的解法
方法 公式或步骤
定义法
基本事件法
缩小样本空间法 ____第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解
3.乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则
【即学即练】
1．设集合，且，则（ ）
A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2
2．（广东省汕头市2025-2026学年高一上学期期末统考数学试卷）从中取两数，事件A为“和为偶数”，B为“积为奇数”，则 （ ）
A． B． C． D．
知识点02 相互独立事件
1.概念
如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称事件A与事件B是相互独立事件
2.公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝ .
3.性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.
5.相互独立事件的概率公式的推广
若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P()P()…P().
【即学即练】
1．（24-25高一下·四川达州·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚硬币正面朝上”，“第2枚硬币反面朝上”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相等
C．与互斥 D．与对立
2．（25-26高二上·陕西·月考）春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（ ）
A． B． C． D．
知识点03 全概率公式与贝叶斯公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两 的事件，，且，则对任意的事件，有
图示：
2.贝叶斯公式
(1)概念：设是一组两两 的事件，，且，则对任意的事件，,有
(2)作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系．
【即学即练】
1．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ．
题型01 条件概率的计算
【典例1-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2026·河北沧州·一模）某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（ ）
A． B． C． D．
求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B｜A)＝.
(2)样本点法：P(B｜A)＝.
(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.
【变式1-2】（25-26高三上·甘肃·月考）根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】某机场进行数据分析，发现航班延误小时数与航班起飞前雷暴雨发生时间（单位：小时）存在一定关系，具体数据如下表：
1 3 4 4.5
根据机场多年数据统计，小于1，2，3的概率分别为0.4，0.7，0.9，若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨，则其延误时间不超过4小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型02 乘法公式的应用
【典例2-1】在随机事件满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1.则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（ ）
A．0.25 B．0.15 C．0.1 D．0.03
乘法公式的作用
乘法公式P(AB)＝P(B｜A)P(A)的作用就是方便我们在不好直接求得P(AB)的情况下，先迂回地求出方便计算的P(B｜A)和P(A)，再求得P(AB).
注意：求一些复杂的条件概率时，往往可以先把事件分解成若干个互斥的较简单事件之和，利用公式P(B∪C｜A)＝P(B｜A)＋P(C｜A)使求解更为简捷.如果直接分解比较麻烦，可以考虑对立事件，利用P(AB)＋P(A)＝P(A)及P(｜A)＋P(B｜A)＝1求解.
【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
题型03 条件概率的性质及应用
【典例3-1】已知随机事件A，B，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】设A，是两个随机事件，且则
题型04 相互独立事件的判断
【典例4-1】（25-26高二上·广东佛山·月考）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，则（　　）
A．事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是
B．事件“第一枚朝上的点数为偶数”与“第二枚朝上的点数为奇数”是相互独立的
C．事件“至少一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是对立的
D．事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是互斥的
【典例4-2】（黑龙江省绥化市新时代高中教育联合体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题B卷）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为5”，事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则下列说法正确的是（ ）
A．与为对立事件 B．与为互斥事件
C．与为相互独立事件 D．与为相互独立事件
判断两个事件是否相互独立的方法
(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
(2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
(3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与，与B，也相互独立.
【变式4-1】一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【变式4-2】（多选）（25-26高二上·贵州六盘水·月考）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回的方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出的球的标号小于3”，事件“两次摸出的球的标号均为偶数”，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与相互独立
题型05 相互独立事件的概率计算
【典例5-1】如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（ ）

A． B． C． D．
【典例5-2】（24-25高一下·江西宜春·月考）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛.
(1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率；
(2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率.
与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式
事件A，B相互独立 概率计算公式
A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B)
A，B同时不发生 P()＝P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]
A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生 P＝1－P()＝1－P()P()
A，B恰有一个发生 P＝P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)
【变式5-1】2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动.
(1)在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率；
(2)班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率
【变式5-2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率；
(2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率．
题型06 全概率公式的应用
【典例6-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】某次社会实践活动中，甲 乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲 乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 .
全概率公式的适用范围及步骤
1.适用范围：所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
2.运用全概率公式的一般步骤
第一步：求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An；
第二步：求P(Ai)(i＝1，2，…，n)；
第三步：求P(B｜Ai)(i＝1，2，…，n)；
第四步：求目标事件的概率P(B).
注意：(1)对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn.(2)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可.
【变式6-1】（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．与相互独立
C．
D．
【变式6-2】（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品.
(1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率.
题型07 贝叶斯公式的应用
【典例7】某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　）
A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
【变式7-1】学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2025高一·全国·专题练习）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
一、单选题
1．（25-26高二上·江苏南京·月考）在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
2．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·湖北恩施·月考）东风5C液体洲际战略核导弹，打击范围覆盖全球. 某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（ ）
A．0.08 B．0.18 C．0.72 D．0.98
5．（24-25高一下·河南许昌·期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高三上·湖北·月考）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（24-25高三上·四川德阳·月考）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　）
A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
8．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高一下·贵州遵义·月考）有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（ ）
A． B． C． D．
10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．为对立事件
B．
C．
D．
11．（25-26高三上·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
三、填空题
12．甲、乙两人进行象棋有奖比赛，约定：一共下两局，只有当乙两局都获胜时，乙才获得奖品，否则就是甲获得奖品．已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为，，没有和棋且各局比赛相互独立，则甲获得奖品的概率为 ．
13．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
14．（25-26高一上·全国·单元测试）[2025南昌二中高一期末]由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，活动共进行三轮，每人猜一次．已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙和甲都猜对的概率为，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 ．
四、解答题
15．（广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题）据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为.
(1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由；
(2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.
(3)根据上述结果，能得出什么结论？
16．（25-26高三上·上海·阶段练习）自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人．
(1)求；
(2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数）
(3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率．
17．有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束.
(1)求首次摸球后试验就结束的概率；
(2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率；
(3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球；
方案二：从另外一个袋子中摸球.
请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大.
18．（2025高一·全国·专题练习）在点球大战中，心理因素对球员的发挥有重要影响.假设甲队每名队员在压力下射进点球的概率为，在无压力下射进点球的概率为，且．乙队每名队员射进点球的概率为q（不受心理因素影响）.甲队先踢.定义：
无压力情况：当前比分甲领先或平局（甲有心理优势）
有压力情况：当前比分甲落后（甲有心理压力）
(1)若，求甲队在前3轮结束后领先的概率；
(2)若甲队在前2轮结束后领先，求甲队在第4轮取得胜利的概率.
19．（2025高一·全国·专题练习）近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．假设最终进入半决赛有四支队伍，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时A与B同组，C与D同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑