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专题02 离散型随机变量及其分布列
教学目标 1．准确理解随机变量、离散型随机变量的定义，能结合简单实例识别离散型随机变量； 2．熟练掌握离散型随机变量分布列的概念，牢记并理解其概率非负、总和为1的核心性质； 3．理解两点分布的定义与特征，明确成功概率的含义，能规范写出两点分布的分布列。
教学重难点 重点：离散型随机变量分布列的概念、核心性质及基础应用；两点分布的结构特点、分布列形式及成功概率的定义。 难点：结合具体试验场景，准确判断随机变量是否为离散型随机变量；灵活运用分布列的性质，解决概率补充、分布列验证等相关问题。
知识点01 随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的 表示.在这个对应关系下， 随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示.
取值能够一一列举出来的随机变量称为 随机变量.
【即学即练】
1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ）
A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中
C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次
2．（多选）将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数
知识点02 离散型随机变量分布列的概念及性质
1.离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为 ，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).①
①式也可以列成表，如表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列.
2.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi 0(i＝1，2，…，n，…)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝ .
【即学即练】
1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量X的分布列为：
0 1 2
0.3 0.5
则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列.
知识点03 两点分布的分布列
若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率.
【即学即练】
1．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（ ）
A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84
2．（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型01 （离散型）随机变量的辨析
【典例1】下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数X；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y；
③某人1小时内接到的电话次数X；
④1天内的温度Y.
其中是离散型随机变量的为(　　)
A.①② B.①③
C.③④ D.②④
【典例2】判断下列各个量，指出其中哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中，2030年4月1日的旅客数量；
(2)体积为的球的半径；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品所获得的奖次．
判断一个随机变量是离散型随机变量的依据是：随机变量所有取值是否可以一一列举出来，如果可以就是离散型随机变量.
【变式1-1】（24-25高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量：
①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数；
②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度；
③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-2】（24-25高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①某足球队在5次点球中进球的次数；
②投篮一次的结果；
③某同学在至到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型02 求离散型随机变量的可能取值
【典例2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y.
引入随机变量后，随机现象中所有可能出现的结果都可以通过随机变量的取值表达出来.求解此类题型时，应在深刻理解随机变量的实际意义基础上，逐一考虑，且宜将值从小到大排列，以防出现遗漏与重复.
【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【变式2-2】在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后不放回，直到取出2件次品为止，抽取次数为随机变量X可能取哪些值？并说明随机变量取值表示的随机试验结果.
题型03 分布列的性质
【典例3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（ ）
0 1
A． B． C．或 D．
【典例3-2】（2025高二·全国·专题练习）设x，，已知随机变量的分布列如下，
0 1 2
P x y x
则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
离散型随机变量分布列的性质的应用
1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
注意：若X为随机变量，则aX＋b仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.
【变式3-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.36
则常数 ．
题型04 利用分布列求概率
【典例4-1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（ ）
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 0.2
A． B． C． D．
【典例4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（ ）
0 1 2 3
0.1 0.6
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【变式4-1】若随机变量的分布如下表：
1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则的值为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85
【变式4-2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（ ）．
A． B．
C． D．以上均不正确
题型05 两个随机变量间的分布列问题
【典例5】设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求随机变量的分布列．
【变式5】设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求的分布列．
题型06 两点分布
【典例6】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示：
0 1
则（ ）
A． B． C． D．或
【变式6-2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型07 求离散型随机变量的分布列
【典例7-1】一个不透明的口袋中装有3个红球 3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球.
(1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列.
【典例7-2】（25-26高二上·陕西渭南·月考）小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立.
(1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列；
(2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率；
(3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率.
离散型随机变量分布列的求解步骤
注意：离散型随机变量的每一个可能的取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的.
【变式7-1】（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向” 两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列.
【变式7-2】袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色．
(1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率；
(2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：①的值；②随机变量的分布列．
【变式7-2】某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，三个社团他都能进入的概率为，至少能进入一个社团的概率为，且．
(1)求m与n的值；
(2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布列．
一、单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（ ）
A．1，2，…，5 B．1，2，…，10
C．2，3，…，10 D．1，2，…，6
【答案】C
【分析】先得第一次和第二次取出的球可能的号码，相加即可得的所有可能取值.
【详解】第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，
第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，
两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10.
故选：C
2．（24-25高二下·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为：
6 7 8 9 10
0.05 0.15 0.25 0.35 0.20
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（ ）
A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20
3．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.4 0.3 0.1
若随机变量，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a
则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知随机变量等可能取值为（），若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（ ）
A． B． C． D．
8．若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某座大桥一天经过的车辆数
B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数
C．一天之内的温度
D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分
10．已知离散型随机变量X的分布列为
X 2 4 6 8
P a
则（ ）
A． B．
C． D．
11．一批产品有的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出1件次品为止，令表示直到抽出一件次品时已经抽出的产品个数，且的概率分布由下列公式给出：，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率
C．表示第三次抽到次品的概率
D．
三、填空题
12．一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以表示取出的篮球的最大号码，则所有可能的取值为 ，其中表示的试验结果有 种．
13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机变量服从两点分布，且，令，则 ．
14．已知集合，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为
四、解答题
15．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
16．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
求随机变量的分布列．
17．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为．
(1)求的值；
(2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列．
18．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）；
(2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列.
19．（2026·河北邯郸·模拟预测）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.
(1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
(2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；
(3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 离散型随机变量及其分布列
教学目标 1．准确理解随机变量、离散型随机变量的定义，能结合简单实例识别离散型随机变量； 2．熟练掌握离散型随机变量分布列的概念，牢记并理解其概率非负、总和为1的核心性质； 3．理解两点分布的定义与特征，明确成功概率的含义，能规范写出两点分布的分布列。
教学重难点 重点：离散型随机变量分布列的概念、核心性质及基础应用；两点分布的结构特点、分布列形式及成功概率的定义。 难点：结合具体试验场景，准确判断随机变量是否为离散型随机变量；灵活运用分布列的性质，解决概率补充、分布列验证等相关问题。
知识点01 随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示.
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
【即学即练】
1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ）
A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中
C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次
【答案】C
【分析】根据变量的意义进行判断.
【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次.
故选：C
2．（多选）将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数
【答案】ABC
【详解】将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，所以是一个随机变量，A正确；
两次掷出的最大点数，为随机变量，B正确；
第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量， C正确；
两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对，D错；
故选：ABC
知识点02 离散型随机变量分布列的概念及性质
1.离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).①
①式也可以列成表，如表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列.
2.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi＞0(i＝1，2，…，n，…)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.
【即学即练】
1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量X的分布列为：
0 1 2
0.3 0.5
则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】B
【分析】由分布列的性质结合题意可得答案.
【详解】由题，．
故选：B
2．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列.
【答案】分布列见解析
【详解】解 将四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4．
，
，
，
.
故的分布列为
1 2 3 4
知识点03 两点分布的分布列
若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率.
【即学即练】
1．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（ ）
A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84
【答案】A
【分析】根据两点分布概率公式求解即可.
【详解】由题意可得，
故选：A.
2．（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案.
【详解】且，解得.
故选：D
题型01 （离散型）随机变量的辨析
【典例1】下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数X；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y；
③某人1小时内接到的电话次数X；
④1天内的温度Y.
其中是离散型随机变量的为(　　)
A.①② B.①③
C.③④ D.②④
【答案】B
【详解】根据离散型随机变量的定义，①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数X是随机变量，且X为自然数，故X是离散型随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是随机变量，但所有可能取值在直线上连续，故不是离散型随机变量；③某人1小时内接到的电话次数X是一个随机变量，且X为自然数，故X是离散型随机变量；④1天内的温度Y是一个随机变量，但其所有可能取值是一定范围内的实数，故不是离散型随机变量.故选B.
【典例2】判断下列各个量，指出其中哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中，2030年4月1日的旅客数量；
(2)体积为的球的半径；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品所获得的奖次．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3)是，理由见解析.
【详解】（1）旅客数量可能是出现的结果是随机的，因此旅客数量是随机变量；
（2）当球的体积是时，球的半径为定值，因此球的半径不是随机变量；
（3）你的一件作品所获得的奖次可能是一、二、三等奖，是随机的，因此奖次是随机变量.
判断一个随机变量是离散型随机变量的依据是：随机变量所有取值是否可以一一列举出来，如果可以就是离散型随机变量.
【变式1-1】（24-25高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量：
①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数；
②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度；
③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可.
【详解】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，
故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举，
故它不是离散型随机变量．
故选：C.
【变式1-2】（24-25高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①某足球队在5次点球中进球的次数；
②投篮一次的结果；
③某同学在至到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的概念逐个判断即可.
【详解】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来；
②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来；
④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来
③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，
因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足．
故选：C
题型02 求离散型随机变量的可能取值
【典例2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y.
【分析】解题的关键是弄清试验的所有可能结果.
【解析】(1)X可取3，4，5．
X=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
X=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
X=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
(2)Y可取0，1，…,n，…．
Y=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
引入随机变量后，随机现象中所有可能出现的结果都可以通过随机变量的取值表达出来.求解此类题型时，应在深刻理解随机变量的实际意义基础上，逐一考虑，且宜将值从小到大排列，以防出现遗漏与重复.
【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【详解】解析 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D．
【变式2-2】在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后不放回，直到取出2件次品为止，抽取次数为随机变量X可能取哪些值？并说明随机变量取值表示的随机试验结果.
【详解】 随机变量X=2，3，4，5，6，7，8，，9，10;
X=k(k=2，3，4，5，6，7，8，，9，10)表示取了k次，第k次取得第二件次品，前k-1次只取得1件次品.
题型03 分布列的性质
【典例3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（ ）
0 1
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】由离散型随机变量的分布列的性质进行求解．
【详解】由题意可得，解得．
故选：A．
【典例3-2】（2025高二·全国·专题练习）设x，，已知随机变量的分布列如下，
0 1 2
P x y x
则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由随机变量分布列的性质得到，再利用“1”的代换，构造基本不等式求解．
【详解】由题意，得，即，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
离散型随机变量分布列的性质的应用
1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
注意：若X为随机变量，则aX＋b仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.
【变式3-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案.
【详解】由题意知，解得.
故选：B.
【变式3-2】已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.36
则常数 ．
【答案】/
【详解】由题意可知：，
即，解得或，
又因为，解得，
所以常数.
故答案为：0.2.
题型04 利用分布列求概率
【典例4-1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（ ）
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 0.2
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可.
【详解】由题得，则，
故．
故选：C.
【典例4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（ ）
0 1 2 3
0.1 0.6
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【分析】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果．
【详解】由分布列的性质知，所以．
因为，所以．
故选：A．
【变式4-1】若随机变量的分布如下表：
1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则的值为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85
【答案】B
【详解】，解得；
，
故选：B.
【变式4-2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（ ）．
A． B．
C． D．以上均不正确
【答案】D
【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，
则，解得，故AB正确；
又，C正确；
故D错误.
故选：D
题型05 两个随机变量间的分布列问题
【典例5】设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求随机变量的分布列．
【答案】答案见详解
【详解】由离散型随机变量的性质，可得，
依题意知，η的值为0，1，4，9，16.
列表为：
X 0 1 2 3 4
0 1 4 9 16
从而的分布列为：
η 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
【变式5】设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求的分布列．
【答案】分布列见解析
【详解】由分布列的性质知，
，得.
列表为：
X 0 1 2 3 4
1 3 5 7 9
从而的分布列为：
1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
题型06 两点分布
【典例6】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算.
【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以，
因为，
所以，
由条件概率公式，
故选：B.
【变式6-1】随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示：
0 1
则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】由题意，解得或（舍去）.
故选：B.
【变式6-2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算.
【详解】随机变量均服从两点分布，
，，
又，
，由条件概率公式，
故选：D.
题型07 求离散型随机变量的分布列
【典例7-1】一个不透明的口袋中装有3个红球 3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球.
(1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由摸出的白球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为2个白球和1个黄球（或1个红球），可能为1个白球和2个红球，
其中摸出2个白球和1个黄球（或1个红球）的概率为，
摸出1个白球和2个红球的概率为，
故摸出的白球个数比黄球个数多的概率为.
（2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3，
，，
，
则的分布列为
1 2 3
【典例7-2】（25-26高二上·陕西渭南·月考）小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立.
(1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列；
(2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率；
(3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先列出的所有可能取值为1，2，3，然后求出对应的概率，进而可得到分布列.
（2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件，求出其对立事件的概率进而得到结果.
（3）根据条件概率公式可求得结果.
【详解】（1）由题意，的所有可能取值为1，2，3.
；
；
.
因此，的分布列为
1 2 3
0.5 0.3 0.2
（2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件，
则，
所以.
（3）设“小华第3次尝试才猜对密码”为事件，
则，
所以.
离散型随机变量分布列的求解步骤
注意：离散型随机变量的每一个可能的取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的.
【变式7-1】（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向” 两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可.
（2）应用古典概型求解事件的概率，即可写出X的分布列.
【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”，
事件“第二次发送“1指向”的光子”，
则，
由条件概率公式，；
（2）由题意：，
，
所以的分布列为：
0 1 2
【变式7-2】袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色．
(1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率；
(2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：①的值；②随机变量的分布列．
【答案】(1)
(2)①；②分布列见解析
【分析】
【详解】（1）依题意，所求概率为；
（2）①由已知得从袋中不放回地摸球两次的所有取法有（种），
事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，
故包含种取法，所以；
②的可能取值为2，3，4，
，
，
，
则的分布列为
X 2 3 4
P
【变式7-2】某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，三个社团他都能进入的概率为，至少能进入一个社团的概率为，且．
(1)求m与n的值；
(2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由，得．
（2）令该新生在社团方面获得的校本选修学分为随机变量X，则X的值可以为0，1，2，3，4，5，6．
，
，
，
，
，
P，
．
故随机变量X的分布列如下．
X 0 1 2 3 4 5 6
P
一、单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（ ）
A．1，2，…，5 B．1，2，…，10
C．2，3，…，10 D．1，2，…，6
【答案】C
【分析】先得第一次和第二次取出的球可能的号码，相加即可得的所有可能取值.
【详解】第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，
第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，
两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10.
故选：C
2．（24-25高二下·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为：
6 7 8 9 10
0.05 0.15 0.25 0.35 0.20
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（ ）
A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20
【答案】A
【分析】利用分布列的性质，将射中环数为9、10环对应的概率相加即可得解．
【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10环，其概率为，
故他射击一次为优秀的概率是0.55.
故选：A.
3．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.4 0.3 0.1
若随机变量，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】A
【分析】由题意得计算求解即可.
【详解】由题可得.
故选：A
4．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列的性质计算即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
5．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知随机变量等可能取值为（），若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得，结合计算可得.
【详解】依题意可得，，
所以，
解得.
故选：C.
6．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出事件的总数以及所对应的事件的个数，再利用古典概率公式求解即可.
【详解】任取三次灯泡所对应的事件总数为，而直到取出2个正品为止，要想取出的次数为次，
只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，对应的事件个数为，
所以.
故选：C
7．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解.
【详解】依题意，，解得，
所以.
故选：A
8．若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】详解】因为，
所以由，
可得：，
即，∴，
所以.
故选:B.
二、多选题
9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某座大桥一天经过的车辆数
B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数
C．一天之内的温度
D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量的定义，即可求解.
【详解】A，B，D中的可以取的值可以一一列举出来，可以作为离散型随机变量，
而C中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型，不能作为离散型随机变量.
故选：ABD.
10．已知离散型随机变量X的分布列为
X 2 4 6 8
P a
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】详解】由分布列性质可知，解得，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：AC．
11．一批产品有的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出1件次品为止，令表示直到抽出一件次品时已经抽出的产品个数，且的概率分布由下列公式给出：，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率
C．表示第三次抽到次品的概率
D．
【答案】ABD
【分析】详解】对于A，因，则，故A正确；
对于B，根据的含义和概率分布可知，表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率，故B正确；
对于C，根据的含义和概率分布可知，表示前两次抽到正品，第三次抽到次品的概率，故C错误；
对于D，因，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以表示取出的篮球的最大号码，则所有可能的取值为 ，其中表示的试验结果有 种．
【答案】 3，4，5，6 3
【分析】详解】根据题意可知的可能取值为3，4，5，6，
其中当时，表示取得的一球编号为4，另两个球从1，2，3中选取，有（种）．
故答案为：3，4，5，6；3
13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机变量服从两点分布，且，令，则 ．
【答案】0.6/
【分析】由两点分布可得答案.
【详解】由得，
所以．
故答案为：.
14．已知集合，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为
【答案】/
【分析】详解】由题意或，或，
事件即为“或”，
从集合中任取3个不同的元素，从集合中任取3个不同的元素的方法数为，事件“”含有的样本点的个数为，
事件“”含有的样本点的个数为，
所以．
四、解答题
15．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】详解】（1）设所需要的取球次数为，则．
表示“第1次就取到白球”，表示前次取到的均是红球，第次取到白球，．
（2）设所取卡片上的数字之和为，则．
表示“取出标有1，2的两张卡片”；
表示“取出标有1，3的两张卡片”；
表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；
表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；
表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；
表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；
表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；
表示“取出标有4，6的两张卡片”；
表示“取出标有5，6的两张卡片”．
16．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
求随机变量的分布列．
【答案】分布列见解析
【分析】详解】由，得
当，5时，；
当，4，6时，；
当时，．
则，
，
，
所以随机变量Y的分布列为
Y 1 0
P
17．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为．
(1)求的值；
(2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列．
【答案】(1)nn
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）甲获第一名且乙获第三名的概率为，即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为，
由，得；
（2）由题意知，丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，
，
，
，
所以丙的得分的分布列如下：
X 0 3 6
P
18．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）；
(2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列.
【答案】(1)71.2
(2)分布列见解析，，.
【分析】（1）根据频率分布直方图求出测试成绩的平均数；
（2）求出测试成绩在区间和内的学生的人数，得到可能的取值及对应的概率，得到分布列.
【详解】（1）由图知测试成绩的平均数为：
.
（2）测试成绩在区间内的学生人数为人，
测试成绩在区间内的学生人数为人，
所以的可能取值为2，3，4.
故，，，
所以的分布列为：
2 3 4
19．（2026·河北邯郸·模拟预测）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.
(1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
(2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；
(3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解；
（2）由条件概率求解公式可得；
（3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列.
【详解】（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件，
A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，
则
；
（2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，
则
；
由条件概率公式可得
；
（3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件，
则，，，
的可能取值为，
则，
，
，
，
所以X的分布列如下：
0 1 2 3
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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