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专题03 离散型随机变量的均值和方差
教学目标 1.理解离散型随机变量均值与方差的定义，能结合分布列熟练掌握其计算方法及方差变形公式的应用； 2.掌握均值与方差的核心性质（Y=aX+b），理解其推导逻辑并能解决简单的变量变换问题.
教学重难点 重点：均值与方差的定义理解及计算步骤，均值方差性质的灵活运用. 难点：方差计算的准确性（含变形公式的运用），分布类型的精准辨析，性质在实际问题中的灵活迁移.
知识点01 离散型随机变量的均值与方差
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值：称EX＝ ＝ 为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的 .
(2)方差：称DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的 ，记作σX，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的 .方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度 ；方差(标准差)越大，则随机变量的取值越 .
(3)方差的变形：DX= .
【知识剖析】
(1)随机变量的均值与方差是常数，样本的平均数与方差是随机变量，它不确定.
(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.
【即学即练】
1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（ ）
X a a＋1
P x
A． B． C． D．
2．随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，EX＝1，则DX＝　　　　.
知识点02 均值与方差的性质
1．均值的性质
设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
①E(X＋b)＝ .②E(aX)＝aEX.
③E(aX＋b)＝aEX＋b.
2.方差的性质
①D(X＋b)＝ ②D(aX)＝a2DX.
③D(aX＋b)＝a2DX.
【即学即练】
1．（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P m n
若，则（ ）
A． B．7 C．21 D．22
知识点03 两点分布的的均值与方差
若X服从参数为p的两点分布，则EX= ，DX= .
【即学即练】
1．（24-25高二下·安徽·月考）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.6 0.4
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　.
题型01 求离散型随机变量的均值
【典例1】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望EX为（ ）
A． B． C． D．3
【典例1-2】（25-26高二上·河南·月考）某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为．
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率；
(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节 笔试 面试
补贴（元） 100 150
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望．
求离散型随机变量的均值的步骤
（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；
（2）求出取每个值的概率；
（3）写出的分布列(有时也可省略)；
（4）利用期望公式，计算即可
【变式1-1】一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望EX=（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2026·河北·一模）人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响.
(1)当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大
(2)当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
题型02 求离散型随机变量的方差
【典例2-1】已知随机变量满足，，.若，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【典例2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为
0 1 2
0 1 2
试比较这两名工人的技术水平及稳定性．
1.掌握求方差的步骤：（1）写出随机变量的分布列，（2）求出随机变量的均值，（3）由方差的定义求之.
2.利用随机变量的方差、标准差判断数据波动大小： 方差或标准差越小，则随机变量取值偏离于均值的平均程度越小， 取值就越集中在均值附近；方差越大，则随机变量取值就越分散.
【变式2-1】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差．
【变式2-2】（25-26高三上·上海·单元测试）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求：
(1)X所取各值的概率；
(2)随机变量X的期望与方差．
题型03 均值及方差性质的应用
【典例3】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
对于型的随机变量,则有，.
【变式3-1】（多选）已知随机变量的分布列如下表：
0 1
若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】已知随机变量的分布列为
0 1
(1)求的期望和方差；
(2)设，求的期望和方差．
题型04 两点分布的均值与方差
【典例4】一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.6 0.4
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
题型05 均值方差在决策中的应用
【典例5】某蔬菜批发商分别在甲 乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲 乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：
以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲 乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润．
(1)求变量概率分布列；
(2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
(3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
【变式5-1】在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为．
(1)求每次测试结果为语音识别成功的概率；
(2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案：
方案一：测试4次结束测试；
方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由．
【变式5-2】为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表：
单个家庭生育婴儿数 1 2 3
补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年
补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年
通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率：
单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3
概率
由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况．
(1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率；
(2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高．
题型06 均值方差中的最值问题
【典例6-1】（24-25高二下·山东枣庄·期末）若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【典例6-2】（24-25高二下·全国·月考）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【变式6】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
一、单选题
1．（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（ ）
A．3 B．9 C．11 D．27
2．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为
0 1 2
0.3 0.4
则（ ）
A．0.3 B．1 C．3 D．4
3．设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望（ ）
A． B． C． D．
4．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2026·云南·模拟预测）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（24-25高二下·北京大兴·期末）设，随机变量的分布列如下表所示，
X 0 1
P
则当概率在区间内增大时，方差的变化是（ ）
A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大
8.某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：
商品 D E F
猜对的概率 0.8 0.5 0.3
获得的奖金/元 100 200 300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为获得的奖金的均值最大的答题顺序为(　　)
A.FDE B.FED
C.DEF D.EDF
二、多选题
9．甲参加游戏获得的积分的分布列为
4 5 6 7 8
0.1 0.3 0.3
且，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（ ）
A． B．
C． D．
11.（24-25高三上·江苏常州·期末）某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（ ）
表1 甲每股收益的分布列
收益元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表2 乙每股收益的分布列
收益元 0 1 2
概率 0.3 0.3 0.4
A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望
B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小）
C．此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元
D．此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小
三、填空题
12．（24-25高二下·北京·期中）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④.
正确结论的序号有 ．
13．从集合中随机取出3个能作为一个三角形三边长的不重复的数，设以这3个数为边长组成的三角形面积为，则的期望 .
14．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ．
四、解答题
15．（20-21高二·全国·课后作业）医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．
X 37 38 39 40
P 0.1 0.5 0.3 0.1
(1)求出，；
(2)已知人体体温为时，相当于（华氏度），求，．
16．（25-26高三上·江苏·期末）在一个不透明的袋子中有4个不同的红球和个不同的白球，所有球的大小、质量均相同．
(1)若，每次从袋中有放回地摸出1个球，求在第4次恰好首次摸到白球的概率；
(2)若，从袋中一次性摸出4个球，其中红球个数为x，白球个数为y，记，求X的分布列和数学期望．
17．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送时按顺序每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和发送信号1时，接收为1和0的概率分别为且每次数字的传输相互独立.
(1)若发送的序列为“01”，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；
(2)若发送的序列为“011”，用X表示接收到的数字串中0的个数，求X的分布列与数学期望.
18.有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．
(1)，如果按照A、B、C的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望；
(2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小.
19．（北京市东城区2026届高三上学期期末统一检测数学试题）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为．
(1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率；
(2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望；
(3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 离散型随机变量的均值和方差
教学目标 1.理解离散型随机变量均值与方差的定义，能结合分布列熟练掌握其计算方法及方差变形公式的应用； 2.掌握均值与方差的核心性质（Y=aX+b），理解其推导逻辑并能解决简单的变量变换问题.
教学重难点 重点：均值与方差的定义理解及计算步骤，均值方差性质的灵活运用. 难点：方差计算的准确性（含变形公式的运用），分布类型的精准辨析，性质在实际问题中的灵活迁移.
知识点01 离散型随机变量的均值与方差
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值：称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的平均水平.
(2)方差：称DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散.
(3)方差的变形：DX=.
【知识剖析】
(1)随机变量的均值与方差是常数，样本的平均数与方差是随机变量，它不确定.
(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.
【即学即练】
1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（ ）
X a a＋1
P x
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
由题意得，，
所以．
故选：C.
2．随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，EX＝1，则DX＝　　　　.
【答案】
【详解】设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得解得p＝，q＝，所以DX＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
知识点02 均值与方差的性质
1．均值的性质
设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
①E(X＋b)＝EX＋b.②E(aX)＝aEX.
③E(aX＋b)＝aEX＋b.
2.方差的性质
①D(X＋b)＝DX.②D(aX)＝a2DX.
③D(aX＋b)＝a2DX.
【即学即练】
1．（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案.
【详解】由题意可得，，
则.
故选：C.
2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P m n
若，则（ ）
A． B．7 C．21 D．22
【答案】C
【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值.
【详解】由题意可得：，解得，
则，
所以.
故选：C.
知识点03 两点分布的的均值与方差
若X服从参数为p的两点分布，则EX=p，DX=p(1-p).
【即学即练】
1．（24-25高二下·安徽·月考）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.6 0.4
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由X的分布列计算和，即可判断，然后根据期望和方差的性质即可判断.
【详解】由X的分布列可得，
，
所以，
.
故选：.
2．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　.
【答案】0.5
【详解】在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则Dξ＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
题型01 求离散型随机变量的均值
【典例1】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的期望EX为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】详解】的可能取值为2，4，
，
所以.
故选：C.
【典例1-2】（25-26高二上·河南·月考）某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为．
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率；
(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节 笔试 面试
补贴（元） 100 150
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分析甲、乙、丙三人各自被录取的概率，求得三人都没有被正式录取的概率，根据对立事件概率的求法求得至少有一人被该企业正式录取的概率；
（2）易知X的所有可能取值为，分析其对应的事件，分别求得其概率，即可得到X的分布列，并求得X的数学期望.
【详解】（1）设事件表示“甲被该企业正式录取”，事件表示“乙被该企业正式录取”，事件表示“丙被该企业正式录取”.
则由题可知.
事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”，
则，
所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率．
（2）X的所有可能取值为，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”.
，
，
，
．
所以X的分布列为
X 300 450 600 750
P
数学期望．
求离散型随机变量的均值的步骤
（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；
（2）求出取每个值的概率；
（3）写出的分布列(有时也可省略)；
（4）利用期望公式，计算即可
【变式1-1】一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望EX=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】详解】随机变量的可能取值为.
（第一次摸到红球）；
（第一次摸到非红球，第二次摸到红球）；
（前两次摸到非红球，第三次摸到红球）；
（前三次摸到非红球，第四次摸到红球）.
数学期望.
故选：A
【变式1-2】（2026·河北·一模）人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响.
(1)当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大
(2)当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）把老张通过两个环节的概率表示为关于a的函数，利用函数性质求概率最大时a的值；
（2）求出三人能进入流片与测试环节的概率，由的可能取值求出对应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.
【详解】（1）老张通过两个环节的概率为，
因为，所以当时，取得最大值.
所以当时，老张通过两个环节的概率最大.
（2）当 时，老张进入流片与测试环节的概率为，
小李进入的概率，小军进入的概率，
设为能进入的人数，则的可能取值为，
，
，
，
.
分布列为：
0 1 2 3
P
数学期望为 .
数学期望为.
题型02 求离散型随机变量的方差
【典例2-1】已知随机变量满足，，.若，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】详解】依题意，，则，
又，同理，而，
则，所以.
故选：A
【典例2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为
0 1 2
0 1 2
试比较这两名工人的技术水平及稳定性．
【答案】甲、乙技术水平相当，乙更稳定
【分析】计算平均数与方差，即可得出结论．
【详解】，，
，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当，
又，
，
，所以工人乙的技术比较稳定.
所以甲、乙技术水平相当，乙更稳定.
1.掌握求方差的步骤：（1）写出随机变量的分布列，（2）求出随机变量的均值，（3）由方差的定义求之.
2.利用随机变量的方差、标准差判断数据波动大小： 方差或标准差越小，则随机变量取值偏离于均值的平均程度越小， 取值就越集中在均值附近；方差越大，则随机变量取值就越分散.
【变式2-1】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差．
【答案】分布列见解析，，
【分析】详解】由题意得，的可能取值为0，1，2．
，
，
．
故的分布列为
0 1 2
，
．
．
【变式2-2】（25-26高三上·上海·单元测试）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求：
(1)X所取各值的概率；
(2)随机变量X的期望与方差．
【答案】(1)；；；；
(2)1，．
【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有0，1，2，4，然后根据古典概型概率计算公式分别求出=0，1，2，4的概率；
（2）由（1）可列的分布列，求出随机变量的数学期望与方差.
【详解】（1）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，4.
；；
；；
（2）X的分布如下：，
所以，
．
题型03 均值及方差性质的应用
【典例3】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可.
【详解】由，解得，
由，解得.
故选：D.
对于型的随机变量,则有，.
【变式3-1】（多选）已知随机变量的分布列如下表：
0 1
若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】依题意得，解得，故A正确，B错误；
而，
则，故C错误；
而，
则，故D正确.
故选:AD.
【变式3-2】已知随机变量的分布列为
0 1
(1)求的期望和方差；
(2)设，求的期望和方差．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
.
（2）因为，
所以，
.
题型04 两点分布的均值与方差
【典例4】一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】详解】由题意，所以.
故选：D
【变式4-1】设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.6 0.4
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】详解】由X的分布列可得，
，
所以，
.
故选：.
【变式4-2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解.
【详解】由随机变量服从两点分布，若，
根据分布列的性质，可得，所以A错误；
又由，，所以B错误；
由，所以C正确；
由，所以D错误.
故选：C.
题型05 均值方差在决策中的应用
【典例5】某蔬菜批发商分别在甲 乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲 乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：
以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲 乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润．
(1)求变量概率分布列；
(2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
(3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
【答案】(1)分布列见解析
(2)，
(3)应选
【详解】（1）设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得
，
，
设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得所有可能的取值为
且，
所以的分布列如下表：
16 17 18 19 20
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（2）由题意得，当时，，
当时，．
所以
设“销售利润不少于8900元”，则
当时，，
当时，，解得．
由（1）中的分布列可知，．
（3）由（1）知，．
当时，的分布列为：
0.06 0.94
所以；
当时，的分布列为：
0.06 0.23 0.71
所以，
因为，所以应选．
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
【变式5-1】在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为．
(1)求每次测试结果为语音识别成功的概率；
(2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案：
方案一：测试4次结束测试；
方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由．
【答案】(1)0.8
(2)选择方案二，理由见解析
【详解】（1）记事件“安静环境”，“嘈杂环境”，“语音识别成功”，
则,，，，
，且，互斥，
所以．
即测试结果为语音识别成功的概率为．
（2）因为每次测试成本固定，所以测试次数越少，测试成本越低．
设方案一和方案二测试成本分别为X，Y，
方案一：测试4次，则；
方案二：Y可取3，5，
，
，
随机变量Y的分布列如下表所示：
Y 3 5
P 0.512 0.488
所以；所以，
即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二．
【变式5-2】为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表：
单个家庭生育婴儿数 1 2 3
补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年
补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年
通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率：
单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3
概率
由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况．
(1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率；
(2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高．
【答案】(1)
(2)采用补贴方案二的补贴额更高
【详解】（1）记事件A：单个家庭补助不低于1100元/月，
事件B：单个家庭共生育2个婴儿，
则，
，
；
（2）记根据补贴方案一每月所得的补贴额为，根据补贴方案二每月所得的补贴额为，
，
，
，故采用补贴方案二的补贴额更高．
题型06 均值方差中的最值问题
【典例6-1】（24-25高二下·山东枣庄·期末）若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为，，
则，，
则，，
则，
当且仅当，即时取等号，故A正确.
故选：A.
【典例6-2】（24-25高二下·全国·月考）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望与方差公式，结合期望与方程的性质可得，根据二次函数性质可得解.
【详解】设答对题的个数为，由已知可得，
所以，，
因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分，
所以，所以，，
可得，所以，
又，所以当时，取最大值，最大值为．
故选：C．
【变式6】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
【答案】(1)
(2)小李应选择路线1；理由见解析
【详解】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，
所以至少遇到一个红灯的事件为，
由对立事件概率公式，
得，
所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为．
（2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则，
所以，
设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，
设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则
，
，
，
所以．
因为，
所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1．
一、单选题
1．（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（ ）
A．3 B．9 C．11 D．27
【答案】C
【分析】由数学期望的性质即可求解．
【详解】，
故选：C．
2．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为
0 1 2
0.3 0.4
则（ ）
A．0.3 B．1 C．3 D．4
【答案】D
【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解.
【详解】因为分布列得出，所以，
所以，
所以.
故选：D.
3．设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】详解】由题意正方体中两条平行的棱间的距离为1或．
正方体共12条棱中任取两条，共有种取法，
其中相交的有种，平行且距离为的有种，
其余的是异面或距离为1的平行线，共有36种，
，，，
分布列为：
0 1
．
故选：D．
4．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】详解】服从两点分布，设成功的概率为，则可得，，其中，
（当且仅当，即时取等号），
的最大值为．
故选：D.
5．（2026·云南·模拟预测）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出的所有可能取值，利用操作步骤求出对应概率可求出其期望值，可得结果.
【详解】易知的可能取值为1，2，3，
按一次输出数字0，；
按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故；
按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故.
所以，
故选：A.
6．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据两点分布结合数学期望及方差定义计算，再应用充分必要定义判断即可.
【详解】当时，得，则，，充分性成立；
反之，，即，解得或，必要性不成立.
故选:A.
7．（24-25高二下·北京大兴·期末）设，随机变量的分布列如下表所示，
X 0 1
P
则当概率在区间内增大时，方差的变化是（ ）
A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大
【答案】B
【分析】先求出期望，再求出方差，最后根据二次函数的性质判断.
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，，
所以
这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为，
当从增大到时，随增大而递增；
当从增大到时，随增大而递减，
因此，当在内增大时，方差先增大后减小.
故选：B.
8.某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：
商品 D E F
猜对的概率 0.8 0.5 0.3
获得的奖金/元 100 200 300
规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为获得的奖金的均值最大的答题顺序为(　　)
A.FDE B.FED
C.DEF D.EDF
【答案】C
【详解】按照FDE的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138(元)；按照FED的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132(元)；按照DEF的顺序获得的奖金的均值为100×0.8×0.5＋300×0.5×0.8×0.7＋600×0.5×0.8×0.3＝196(元)；按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200×0.5×0.2＋300×0.5×0.8×0.7＋600×0.5×0.8×0.3＝176(元)，综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大.故选C.
二、多选题
9．甲参加游戏获得的积分的分布列为
4 5 6 7 8
0.1 0.3 0.3
且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】详解】依题意得，，
，
则，A项正确，
，故B项正确；
，故C项错误；
，故D项正确．
故选：ABD
10．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据的意义，结合组合数公式，求，再根据古典概型概率公式，求，再写出所有的取值和概率，代入期望公式和方差公式，即可判断选项.
【详解】A.由条件可知，3人错位排列有2种方法，所以，解得，故A错误；
B.表示4人全部坐错，4人全部坐错有种方法，4人的全部坐法有种坐法，
所以，故B正确；
C.，，，,
所以，故C错误；
D.，故D正确.
故选：BD
11.（24-25高三上·江苏常州·期末）某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（ ）
表1 甲每股收益的分布列
收益元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表2 乙每股收益的分布列
收益元 0 1 2
概率 0.3 0.3 0.4
A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望
B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小）
C．此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元
D．此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小
【答案】BC
【分析】应用期望、方差公式求甲乙的期望和方差判断A、B；根据所得期望，求收益的期望之和判断C；设投资甲元，投资乙元，结合所得方差得到关于m的二次函数，判断对称轴是否为5000，即可判断D.
【详解】A：，，错误；
B：，
，正确；
C：因为，所以总期望元，正确；
D：设投资甲元，投资乙元，
方差和，
对称轴，错误.
故选：BC
三、填空题
12．（24-25高二下·北京·期中）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④.
正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．
【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，
故，
因此，，
，
所以正确的是①②④．
13．从集合中随机取出3个能作为一个三角形三边长的不重复的数，设以这3个数为边长组成的三角形面积为，则的期望 .
【答案】
【分析】详解】从集合中随机取出3个能作为一个三角形三边长的不重复的数，
能够组成三角形的组合仅{3，4，5}和{2，3，4}和{2，4，5}三组，且三组的可能性均等.
对于3，4，5为边长的三角形，其为直角三角形，故面积为；
对于2，3，4为边长的三角形，有，故；
对于2，4，5为边长的三角形，有，故，
故的期望.
故答案为：.
14．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ．
【答案】
【分析】详解】因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：，
，，
，，共种，
第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率.
记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为，
质点4次运动，共有种情况，
当X=0时，，共有1种情况，则，
当X=1时，， ，
， ，
，，，共有7种情况，
所以，又，
所以X的分布列为：
，
故答案为：，.
四、解答题
15．（20-21高二·全国·课后作业）医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．
X 37 38 39 40
P 0.1 0.5 0.3 0.1
(1)求出，；
(2)已知人体体温为时，相当于（华氏度），求，．
【答案】(1)38.4，0.64.
(2)101.12，2.0736.
【分析】（1）利用期望及方差公式即求；
（2）由可得,即求.
【详解】（1）由题可得，
.
（2）由可知，，
.
16．（25-26高三上·江苏·期末）在一个不透明的袋子中有4个不同的红球和个不同的白球，所有球的大小、质量均相同．
(1)若，每次从袋中有放回地摸出1个球，求在第4次恰好首次摸到白球的概率；
(2)若，从袋中一次性摸出4个球，其中红球个数为x，白球个数为y，记，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
【分析】（1）当时，分别求出摸到红球和白球的概率，分析可得前3次摸到红球，第4次摸到白球，代入数据，即可得答案.
（2）分析可得，则，根据x的值，可得X的不同取值，分别求出X不同取值时的概率，列出分布列，代入期望公式，即可得答案.
【详解】（1）若，则袋中有4个不同的红球，2个不同的白球，
则摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
第4次恰好首次摸到白球的概率.
（2）若，则袋中有4个不同的红球，4个不同的白球，
所以，
则，
当或4时，，
当或3时，，
当时，，即X可取0,2,4，
，
，
，
则X的分布列为
X 0 2 4
P
数学期望
17．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送时按顺序每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和发送信号1时，接收为1和0的概率分别为且每次数字的传输相互独立.
(1)若发送的序列为“01”，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；
(2)若发送的序列为“011”，用X表示接收到的数字串中0的个数，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1).
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设事件表示数字0接受正确，事件表示数字1接受正确，事件接收到的两个数字中有且只有一个正确，则，且与互斥.
，
所以接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率为.
（2）由题意知可取，
，
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望.
18.有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．
(1)，如果按照A、B、C的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望；
(2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小.
【答案】(1)①；②分布列见解析，；
(2)先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小.
【详解】（1）①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件，
则，
②可取1，2，3，
，，，
所以其分布列为
X 1 2 3
P
数学期望.
（2）若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，，
其中，，是，，的一个排列，
结合（1）②知，
由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出，
若先派A，再派B，最后派C，则；
若先派B，再派A，最后派C，则，
而，
所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小.
19．（北京市东城区2026届高三上学期期末统一检测数学试题）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为．
(1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率；
(2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望；
(3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用对立事件简化概率计算即可；
（2）首先确定随机变量的所有可能取值，计算每个取值的概率，进而构建分布列并求解数学期望；
（3）进行分类讨论，分别分析随机变量的分布与期望即可得出结论.
【详解】（1）设事件“两轮比赛累计得分不低于20分”，
由已知该选手正确回答甲类问题的概率为，
所以．
所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为．
（2）的所有可能取值为．
，
，
的分布列为
10 50 70
的数学期望．
（3）．
每轮选甲、乙的概率均为，因此，两轮都选甲的概率为，两轮都选乙的概率为，先甲后乙的概率为，先乙后甲的概率为.
两轮都选甲：
的可能取值为
.
两轮都选乙：
的可能取值为
故.
先甲后乙：
由（2）可知，，
先乙后甲：
同理可得，
故，
所以.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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