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第七章 统计案例全章复习讲义
教学目标 1.理解直线拟合的思想，掌握一元线性回归方程的求解方法，能运用回归方程对变量的变化趋势进行预测. 2.理解相关系数的含义，掌握成对数据线性相关性的分析方法，能判断两个变量之间线性相关的程度. 3.理解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的步骤，能运用独立性检验解决实际问题中的分类变量关联性分析.
教学重难点 1、重点：相关系数、线性回归方程、独立性检验. 2、难点：对相关系数、卡方公式的理解.
回顾重点知识
知识点01 一元线性回归
1.直线拟合
2.一元线性回归方程
(1)一元线性回归方程
直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，，是这个线性回归方程的系数，其中＝，＝－.
(2)最小二乘法
通过求[yi－(a＋bxi)]2的最小值而得到线性回归方程的方法称为最小二乘法.
3.相关系数
【说明】相关系数r是判定成对数据线性相关性的指标，且绝对值越大，线性相关性越强，并不是r越大线性相关性越强.
【常用结论】一元线性回归方程过样本中心点(，).
【即学即练】
1.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　)
【答案】D
【解析】观察题图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.故选D.
2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
【答案】A
【解析】由题意，x与y正相关，故排除C，D，将(，)代入线性回归方程检验得A正确.故选A.
3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A.－ B.
C.－1 D.1
【答案】D
【解析】由题意可知，所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据完全正相关，且样本相关系数为1.故选D.
知识点02 独立性检验
1.分类变量
在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2.2×2列联表
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝；变量B：B1，B2＝.
则变量A，B的样本数据的2×2列联表如下：
A B
B1 B2 总计
A1 a b a＋b
A2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
3.独立性检验的基本思想
(1)χ2公式
根据2×2列联表知
χ2＝.
(2)临界值与可信程度
统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1).当χ2较大时，说明变量之间不独立.在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断.
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有90％的把握判断变量A，B有关联；
③当χ2＞3.841时，有95％的把握判断变量A，B有关联；
④当χ2＞6.635时，有99％的把握判断变量A，B有关联.
【即学即练】
1.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数
B.事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响
C.χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量
D.在2×2列联表中，若｜ad－bc｜越小，则说明两个分类变量之间关系越强
【答案】AC
2.为了判断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科 文科
男 13 10
女 7 20
P(χ2＞k) 0.05 0.025
k 3.841 5.024
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则认为有　　　　的把握判断选修文科与性别有关系.
【答案】95％
【解析】因为χ2≈4.844＞3.841，所以认为有95％的把握判断选修文科与性别有关系.
3.随着国家三孩政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
由χ2＝，得χ2＝≈9.616.可以得到的结论是　　　　　　　.
答案：有99％的把握判断生育意愿与城市级别有关
4.为了调查患肺癌是否与吸烟有关，调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表：
吸烟 肺癌 合计
肺癌患者 非肺癌患者
吸烟者 20 m 40
不吸烟者 n 55 60
合计 25 75 100
根据列联表数据，求得χ2＝　　　　　　(保留3位有效数字)，那么，认为有99.9％的把握判断患肺癌与吸烟有关.
附：χ2＝.
P(χ2＞k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】22.2
【解析】由20＋m＝40，得m＝20.由20＋n＝25，得n＝5.故χ2＝≈22.2＞10.828，
所以认为有99.9％的把握判断患肺癌与吸烟有关.
题型01 变量间的相关关系
【典例1-1】（23-24高二下·河南南阳·月考）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（ ）

A．甲、乙两组数据都呈线性相关 B．乙组数据的相关程度比甲强
C．乙组数据的相关系数r比甲大 D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1
【答案】C
【分析】利用线性相关的定义进行求解即可.
【详解】由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，所以A正确；
乙图的点相对更加集中，所以其相关性较强，更接近1，所以B，D正确；
甲图是正相关，其相关系数大于0，乙图是负相关，其相关系数小于0，所以C错误.
故选：C.
【典例1-2】（24-25高二下·西藏拉萨·期末）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某省为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得：，，，，．
(1)求这20个县年垃圾产生总量的平均值；
(2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合．（当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱．）
参考公式：相关系数．
【答案】(1)
(2)理由见解析
【分析】（1）根据直接计算可得；
（2）根据所给数据计算出相关系数，即可说明.
【详解】（1）依题意这个县年垃圾产生总量的平均值为（吨）.
（2）依题意，
因为与的相关系数接近，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
判定两个变量相关性的方法
1.画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关.
2.相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；｜r｜越接近于1，相关性越强.
3.线性回归方程：当＞0时，正相关；当＜0时，负相关.
【变式1-1】（24-25高二下·四川乐山·期末）已知变量与，与分别都成线性相关关系，且与相关系数满足，且与相关系数满足，下列结论正确的是（ ）
A．与负相关，与负相关，且与的相关性更强
B．与负相关，与正相关，且与的相关性更强
C．与负相关，与正相关，且与的相关性更弱
D．与正相关，与负相关，且与的相关性更弱
【答案】C
【分析】根据相关系数的概念判断.
【详解】由题可知，且，
与成负相关关系，与成正相关关系，且与的相关性更弱.
故选：C.
【变式1-2】（24-25高二下·广东深圳·期中）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：
12 12.5 13 13.5 14
14 13 11 9 8
(1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值.
(2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.
参考数据：，.
参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强.
【答案】(1)，
(2)，可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析
【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可；
（2）分别求出和，再代入公式即可求解，再根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可.
【详解】（1）由题可知，；
（2）因为，
，
故；
因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近，
说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系.
题型02 成对数据的线性相关性
【典例2-1】(2025·河北衡水模拟)相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程＝x＋，相关系数为r1；方案二：剔除点(10，32)，根据剩下的数据得到线性回归方程＝x＋，相关系数为r2.则(　　)
A.0＜r1＜r2＜1 B.0＜r2＜r1＜1
C.－1＜r1＜r2＜0 D.－1＜r2＜r1＜0
【答案】D
【解析】由散点图可知这两个变量为负相关，所以r1＜0，r2＜0.因为剔除点(10，32)后，剩下点的数据线性相关性更强，｜r2｜更接近1，所以－1＜r2＜r1＜0.故选D.
【典例2-2】(2025·河北保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 －0.2 －1.3
根据表格中的数据求得线性回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)
A.＞0，＞0 B.＞0，＜0
C.＜0，＞0 D.＜0，＜0
【答案】B
【解析】由已知数据可知y随着x的增大而减小，则变量x和y之间存在负相关关系，所以＜0.又＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5＋，所以＝1.1－5＞0.故选B.
相关系数r的统计含义及应用
1.由r的正、负可判断成对样本数据中两随机变量是正相关还是负相关.
2.可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用线性回归方程进行分析和预测.
【变式2-1】（24-25高二下·山东济南·期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的散点图，结合相关系数的意义判断即得.
【详解】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即；
对应的与正相关，且对应的相关性更强，即，
所以.
故选：A
【变式2-2】（25-26高三上·天津滨海新·期中）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用散点图的变化趋势，判断相关系数的正负，由散点图的集中程度，分析相关系数大小，即可得答案.
【详解】由散点图可得，图1为正相关，则，且相关性较强，则，
图2为负相关，则，且相关性较强，则，
图3为正相关，则，
图4为负相关，但数据相关性较弱，所以，
所以相关系数最小的为.
故选：B
题型03 回归模型的辨析
【典例3】一组实验数据构成的散点图如图，以下函数中适合作为y与x的回归方程模型的是(　　)
A.＝ax＋b B.＝ax2＋c
C.＝blogax＋c D.＝bax＋c
【答案】D
【解析】由散点图中各点的变化趋势知，各点不在一条直线上，排除A.由散点图中各点在y轴左右均呈单调递减趋势，排除B.又图中点的横坐标有正有负，故排除C.故选D.
【变式3】（2025·湖南·模拟预测）某科技公司对2012年至2024年的生产成本（万元）进行统计，根据统计数据作出如下散点图：
由此散点图，判断最适合作为该公司的生产成本与时间变量的值依次为的经验回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合不同函数类型（对数型、抛物线型、直线型、幂函数型）的图象特点，并与散点图的分布进行对比.
【详解】解析：根据图中散点图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围，
A选项是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的，故A错误；
B选项是“直线型”的拟合函数，且是增加的，故B错误；
D选项是“幂函数型”的拟合函数，且是增加的，故D错误；
只有C选项的拟合函数符合题意，故C正确.
故选：C.
题型04 一元线性回归方程及其应用
【典例4-1】（2026·河南鹤壁·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：
/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2
/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660
(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额．
参考数据：，，
．
参考公式：相关系数．
【答案】(1)12亿元，650亿元
(2)
(3)710亿元
【分析】（1）根据样本平均数的计算公式求解；
（2）将所给数据代入相关系数计算公式求解；
（3）根据回归直线经过样本中心点，求出的值，再将13.5代入求出营业额的预测值.
【详解】（1）平均每年的研发投入为
，
平均每年的营业额为.
（2）将所给数据代入相关系数计算公式得
．
其中，
所以．
（3）由题意知，回归直线过样本中心点，
即，解得．
所以回归方程为．
将代入回归方程，得，
故预测该公司今年的营业额为710亿元．
【典例4-2】（25-26高二上·四川眉山·月考）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8
失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7
(1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．
（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001）
(2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．
附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】(1)，线性相关性很强
(2)，8.5万元
【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可；
（2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可.
【详解】（1）由表知，，，
，
，，
，
故，认为与线性相关性很强；
（2）由（1）知，，
又，，
故关于的线性回归方程为，
当时，，即估算10年的失效费为8.5万元．
线性回归分析问题的解题策略
(1)利用最小二乘估计公式，求出回归系数；
(2)利用经验回归直线过样本点的中心求系数；
(3)写出经验回归方程，并利用经验回归方程进行预测.
【变式4-1】（2026·河南鹤壁·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：
/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2
/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660
(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额．
参考数据：，，
．
参考公式：相关系数．
【答案】(1)12亿元，650亿元
(2)
(3)710亿元
【分析】（1）根据样本平均数的计算公式求解；
（2）将所给数据代入相关系数计算公式求解；
（3）根据回归直线经过样本中心点，求出的值，再将13.5代入求出营业额的预测值.
【详解】（1）平均每年的研发投入为
，
平均每年的营业额为.
（2）将所给数据代入相关系数计算公式得
．
其中，
所以．
（3）由题意知，回归直线过样本中心点，
即，解得．
所以回归方程为．
将代入回归方程，得，
故预测该公司今年的营业额为710亿元．
【变式4-2】（2025·浙江金华·一模）近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份 2021 2022 2023 2024
年份代号 1 2 3 4
销量 33 69 93 129
附：相关系数；
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，
(1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001）
(2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．
【答案】(1)与具有较强的线性相关关系
(2)，（千辆）
【分析】（1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可；
（2）根据（1）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过计算，最后把代入回归直线方程即可求解．
【详解】（1）已知，，则，
，则，
，，所以，
已知，故，
又，代入相关系数公式，
可得，
因为，所以与具有较强的线性相关关系．
（2）根据，
由（1）可知，，所以，
由，已知，，，则，
所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）．
题型05 非线性回归模型
【典例5】（2026·陕西西安·一模）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表.
（百万） 1 2 3 4 5
（千件） 0.5 1 1.5 3 5.5
(1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度；
(2)根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由.
(3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）.
参考公式及数据：，，，，，，.
【答案】(1)，正线性相关，且相关程度很强.
(2)可以，
(3)非线性经验回归方程的拟合效果更好，9.68千件
【分析】（1）根据表中数据，代入相关系数的计算公式求出，再根据相关系数的概念判断求解即可；
（2）根据相关系数的概念可知可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系，利用最小二乘法的计算公式求出即可得解；
（3）计算线性经验回归方程残差和非线性经验回归方程残差比较可得非线性经验回归方程更好，再由所给方程求出预测值即可.
【详解】（1）由表得，，，
又因为，
所以，
由于的值接近1，所以可以推断年销售量和年投入额这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
（2）由（1）得两个变量的线性相关程度很强，
所以可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系，
设年销售量关于年投入额的经验回归方程为，
所以，，
所以年销售量关于年投入额的经验回归方程为.
（3）由（2）得，可得如下数据：
1 2 3 4 5
0.5 1 1.5 3 5.5
1.1 2.3 3.5 4.7
所以的残差平方和为，
由于，故非线性经验回归方程拟合效果更好，
当时，(千件)，
故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件.
有些非线性回归分析问题并不给出经验回归公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合的最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题化为线性回归问题，使之得到解决.
(1)其一般步骤为：
(2)常见非线性回归方程与线性回归方程之间经常使用取对数进行转换.
【变式5】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图是某机构统计的某地区2019年至2025年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．
注：年份代码1-7分别对应年份2019-2025．
求y关于t的回归直线方程（系数精确到0.01），并预测2027年该地区生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，，，
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，．
【答案】回归方程为，预测2027年该地区生活垃圾无害化处理量将约万吨
【分析】根据最小二乘法计算出回归方程，进而代入预测值，即可求解．
【详解】，，
，
得，
又，，
y关于t的回归方程为．
，将2027对应的代入回归方程得：，
预测2027年该地区生活垃圾无害化处理量将约万吨．
题型06 分类变量的表示
【典例6-1】为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d＝　　　　.
单位：人
性别 俄语
会俄语 不会俄语 总计
男 a b 20
女 6 d
总计 18 30
【答案】8
【解析】由2×2列联表的性质，可得a＝18－6＝12，b＝20－12＝8，6＋d＝30－20，可得d＝4，所以a－b＋d＝8.
【典例6-2】(2025·上海模拟)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
X Y 总计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A.a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B.a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D.a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
【答案】D
【解析】对于同一样本，｜ad－bc｜越小，说明X与Y相关性越弱，而｜ad－bc｜越大，说明X与Y相关性越强，通过计算知，对于A，B，C，都有｜ad－bc｜＝｜10－12｜＝2；对于D，有｜ad－bc｜＝｜15－8｜＝7，显然7＞2.故选D.
分类变量的两种统计表示形式
1.2×2列联表：直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱.
2.等高条形图：等高条形图和列联表相比，能更直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.
【变式6-1】（24-25高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：
a b
c d
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大.
【详解】对于A， ，
对于B，，
对于C，，
对于D，
显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,
故选:B.
【变式6-2】（24-25高二下·江西上饶·月考）设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则（ ）
合计
合计
A．若，则可以认为与独立
B．若变量与独立，则
C．若很大，则变量与不独立
D．若变量与不独立，则很大
【答案】AC
【分析】运用独立性检验的步骤原理推理判断即可.
【详解】用频率可以估计，用频率可以估计，用频率可以估计，若，则，可以认为与独立，故正确；
由于，，表示的是频率，是抽取的样本数据，故即使变量与独立，也不一定成立，故错误；
若很大，可以说明与不独立，故正确；
若变量与不独立，，但并不一定很大，故错误.
故选：AC.
题型07 独立性检验
【典例7】（24-25高二下·西藏林芝·期末）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校 40
城市学校 80
总计 100 160
(1)补全上面的列联表；
(2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？
附：，其中.
0.100 0.050 0.005
2.706 3.841 7.879
【答案】(1)答案见解析
(2)学校所在区域对智慧课堂的应用有影响.
【分析】（1）根据表格数据直接计算即可；
（2）利用卡方公式计算出卡方值，再对比表格数据即可.
【详解】（1）补全的列联表如下：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校 40 40 80
城市学校 60 20 80
总计 100 60 160
（2）零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响.
独立性检验的三个步骤
第一步：根据样本数据制成2×2列联表；
第二步：根据公式χ2＝，计算χ2的值；
第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断.
【变式7】（2026·河北沧州·一模）2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表：
性别 关注情况
高度关注 非高度关注
女学生 30
男学生 90
以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为．
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关．
参考公式：，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，
【分析】（1）利用古典概型列方程，解方程可得答案；
（2）利用独立性检验可得答案.
【详解】（1）因为在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为，
所以，解得．
又，解得，所以
（2）由（1）得，列联表如下：
性别 关注情况 合计
高度关注 非高度关注
女学生 70 30 100
男学生 90 10 100
合计 160 40 200
零假设为；该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关．
，
因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立，
即认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
题型08 统计案例与其他知识的交汇
【典例8-1】（2025·云南昭通·模拟预测）某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：
一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计
男生人数 4 6 6 4 3 2 25
女生人数 1 1 3 5 9 6 25
合计 5 7 9 9 12 8 50
(1)若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生
女生
合计
(2)若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)填表见解析；认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由题意可直接完成列联表，再由公式即可求解；
（2）确定的可能取值，求得概率，进而可求解.
【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
零假设为：性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性无关，
根据列联表的数据计算可得，
因为，
所以，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系．
（2）由题可知8名“最美志愿者”有2名男生，6名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，
且服从超几何分布，则，，，
Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
可得．
【典例8-2】（25-26高三上·安徽阜阳·月考）中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下:
宣传天数x 1 2 3 4 5
不了解的人数 120 100 90 80 70
(1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的经验回归方程.
(2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下2×2列联表:
性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计
了解 不了解
男性 40 10 50
女性 30 20 50
合计 70 30 100
（i）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联
（ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，
再从这7份调查表中任意抽取3份，记X为抽到的调查表来自女性调查表的份数，求X的分布列及期望.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，，
独立性检验常用小概率值和相应的临界值：，
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
【答案】(1)
(2)（i）无关；（ii）分布列见解析，.
【分析】（1）利用表中数据和最小二乘法公式计算求解即可；
（2）（i）根据表中数据计算由独立性检验的方法判断即可求解；（ii）由题意可得可能的取值为，结合超几何分布分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望.
【详解】（1）由表中数据得，，
，
，，
所以，，
所求回归直线方程为.
（2）（i）零假设为:是否了解中国民间传统文化与性别相互独立，
由表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，
所以可以认为成立，
因此，不能认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联.
（ii）由题意易知抽取的7份调查表中，有4份调查表来自男性调查表，有3份调查表来自女性调查表，
则的所有可能取值为0，1，2，3，
,，,，
的分布列为
0 1 2 3
所以.
统计案例知识常与概率、分布列等综合，以其中某一问形式出现，这类题一般采用各个击破的策略求解，即一问一问地调用相应知识加以解决.
【变式8-1】（25-26高二上·全国·单元测试）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．
附：参考数据如下表（其中），
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占，柚子产量会下降；平均气温在28℃以上的年数占，柚子产量会下降．为了更好地防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万元；
方案2：选择防害措施，可以防治22℃至28℃的红蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元；
方案3：不采取防虫害措施．
【答案】(1)
(2)
(3)选择方案1最佳，理由见解析
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断，更适合作为平均产卵数关于平均温度的回归方程
（2）将两边同时取自然对数，可得，令，
由题中的数据可得，，，
所以
则，
所以关于的经验回归方程为，
故关于的回归方程为
（3）用，和（单位：万元）分别表示选择三种方案的收益．
采用方案1，无论气温如何，产值不受影响，收益为（万元），即；
采用方案2，不发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为（万元），
发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为（万元），即；
同样，采用方案3，有
所以，，
显然，最大，所以选择方案1最佳
【变式8-2】（2025·四川内江·一模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立.
(1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关；
每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
合计 100
(2)求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率；
(3)为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“小明去田径运动场锻炼”，.已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：.
参考公式与数据：，其中，.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表详见解析，，根据小概率值的独立性检验，可以认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关.
(2).
(3)证明详见解析.
【分析】（1）根据题意先完成列联表，根据表格中的数据计算即可进行独立性检验.
（2）综合条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式求解.
（3）根据条件概率公式与对立事件的概率公式化简求证.
【详解】（1）根据题意完善列联表如下：
每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计
短跑成绩合格 35 25 60
短跑成绩不合格 10 30 40
合计 45 55 100
根据列联表中的数据，计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关.
（2）由（1）中的列联表知，短跑成绩不合格的学生有40人，其中每周自主锻炼时间超过5小时的有10人，每周自主锻炼时间不超过5小时的有30人.
记事件“甲在培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周自主锻炼时间超过5小时”，则事件 “甲每周自主锻炼时间不超过5小时”，
用频率估计概率知 ，，
由题意知，，
由全概率公式知.
由贝叶斯公式知，即学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率为.
（3）由题意知，
所以，
因为，所以，
所以，
整理得，
所以，
即，
因为，所以，
所以，即.
一、单选题
1.（25-26高二上·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）
A．光照时间和果树亩产量 B．降雪量和交通事故发生率
C．每亩田施肥量和粮食亩产量 D．圆的面积和半径
【答案】D
【分析】利用两变量相关关系的意义判断即可.
【详解】列表解析
选项 是否是相关关系 原因
A 是 果树亩产量与光照时间有关，是相关关系．
B 是 降雪量的大小对交通事故发生率有影响，是相关关系．
C 是 粮食亩产量与每亩田施肥量有关，是相关关系．
D 否 圆的面积S和半径r是函数关系．
故选：D.
2．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（ ）
A．变量与不独立
B．变量与独立
C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
【答案】B
【分析】根据独立性检验的概念可得正确的选项.
【详解】因为，所以在显著性水平下，
没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量与是独立的，
故选：B
3．（24-25高二下·西藏日喀则·期末）假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为，和，，其列联表为：
总计
21 73
8 25 33
总计 46 106
则表中，的值分别是（ ）
A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60
【答案】D
【分析】根据列联表直接计算.
【详解】根据列联表知，，又，所以，
故选：
4．（2025高三·全国·专题练习）若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解析 对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误；
对于B：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误；
对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误；
对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D正确；故选D.
5．（2026高三·全国·专题练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区天气的判断不正确的是（ ）
日落云里走夜晚天气 下雨 未下雨
出现 25 5
未出现 25 45
参考公式：
临界值参照表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．出现“日落云里走”，有99%的把握判断夜晚会下雨
【答案】D
【分析】利用频率估算概率，结合观测值对照附表，对选项进行判断即可.
【详解】选项A：根据列联表可知：100天中有50天下雨，50天未下雨，
因此夜晚下雨的概率约为，故选项A正确；
选项B：未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，故选项B正确；
选项C：因为 ，所以据小概率值的独立性检验，
可以认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，故选项C正确；
选项D：依据小概率值的独立性检验，可判断“日落云里走，雨在半夜后”的说法犯错误的概率小于0.01，但不代表一定会下雨，故选项D错误.
故选：D
6.(2025·山东德州模拟)已知两个变量具有线性相关性，现通过最小二乘法求经验回归方程＝x＋，将已知数据代入公式Q＝(yi－bxi－a)2计算后得到的代数式为3a2＋13b2＋12ab－2b＋3，使上述代数式取值最小的a，b的值即为线性回归方程的系数，则线性回归方程为(　　)
A.＝－x＋2 B.＝－x－2
C.＝x＋2 D.＝x－2
【答案】D
【解析】3a2＋13b2＋12ab－2b＋3＝3(a＋2b)2＋(b－1)2＋2，当时上式最小，故＝x－2.故选D.
7．（2025高三·全国·专题练习）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制对应散点图（图2）如下：
计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为少.根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花萼长度和花瓣长度不存在相关关系
B．花萼长度和花瓣长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm
D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642
【答案】C
【详解】解析 因为相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，所以花瓣长度和花萼长度呈正相关，且相关性较强，所以A，B选项错误；
当时，代入经验回归方程为，可得，
所以花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm，所以C选项正确；
若选取其他品种 尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数不一定是0.8642，所以D选项错误.故选C.
8．（24-25高二下·福建厦门·期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人.
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，，.
A．20 B．30 C．35 D．40
【答案】A
【分析】设总人数为，根据给定条件，求出的观测值并建立不等式，进而求出的最小整数值得解.
【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为，
则列联表为：
男生 女生 合计
选生物学
不选生物学
合计 m m 2m
因此，
即，又为的倍数，所以男生最少有人.
故选：A
二、多选题
9．（25-26高三上·陕西商洛·月考）某科技公司统计了一款APP，最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
月份编号x 1 2 3 4 5
下载量y（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5
A．y与x负相关 B．
C．预测第6个月的下载量约为2.1万次 D．残差绝对值的最大值为0.5
【答案】ABC
【分析】利用回归方程斜率值判断A；求出样本中心点，进而求出判断B；求出预测值判断C；求出各残差判断D.
【详解】对于A，由，得变量与负相关，A正确；
对于B，，，
，则，解得，B正确；
对于C，当时，，预测第6个月的下载量约为2.1万次，C正确；
对于D，当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，因此残差绝对值的最大值为0.2，D错误.
故选：ABC
10．（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（ ）
A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人
C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右
D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
【答案】BCD
【分析】根据男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人数，建立列联表，利用列联表中的信息解决ABC，利用独立性检验来解决D选项．
【详解】解：设男生人数为，则女生人数为，
由题得，
解得，即在被调查者中，男 女生人数为80，100，可得到如下列联表，
性别 锻炼情况 合计
经常锻炼 不经常锻炼
男 48 32 80
女 40 60 100
合计 88 92 180
由表可知，A显然错误，
男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B正确；
在经常锻炼者中是男生的频率为，在不经常锻炼者中是男生的频率为C正确；
零假设：假期是否经常锻炼与性别无关，
则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为假期是否经常锻炼与性别有关，此推断犯错误概率不大于0.01，D正确，
故选：BCD．
11．（2025·山东泰安·模拟预测）为研究某种树树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径（单位：cm）和树高（单位：m）的数据，已知其中一组数据为，且，求得回归方程为，并绘制了如下残差图，则下列结论正确的是（ ）

A．由残差图可判定树高与胸径的关系大致符合上述回归模型
B．数据对应的残差为0.9
C．该种树的平均树高约为22.29m
D．删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小
【答案】AC
【分析】对于A：分析残差图判断模型拟合程度，且集中在0附近，所以由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型，判定的即可；对于C：根据回归方程经过样本中心，代入计算即可；对于B：运用残差概念，计算残差即可；对于D：分析删除一组数据对回归直线斜率的影响即可.
【详解】对于A：分析残差图判断模型拟合程度，由残差图可知，残差分布比较均匀，且集中在0附近，
所以由残差图可判定树高与胸径的关系大致符合上述回归模型，选项 A正确；
对于B：计算数据对应的残差，当时，，残差为，选项B错误；
对于C：已知，则样本中心点的横坐标，
将代入回归方程，
可得，所以该种树的平均树高约为，选项C正确；
对于D：分析删除一组数据对回归直线斜率的影响，删除数据后，
因为大于样本中心点的横坐标，且小于通过回归方程计算出的对应的预测值，
所以删除该点后，剩下的数据整体上可能使得树高与胸径的正相关关系更明显，即重新求得的回归直线的斜率变大，选项D错误.
故选：AC.
三、填空题
12．（2025·河北沧州·模拟预测）利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 .
【答案】
【分析】根据变量的相关性，直接得出相关系数.
【详解】由经验回归方程知与负相关，
因为这5组数据对应的点都在回归直线上，所以相关系数为.
故答案为：
13．（25-26高二上·全国·随堂练习）某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 (填序号).
【答案】④
【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．
【详解】根据表中数据，画出图象如下：

通过图象可看出，能比较近似的反映这些数据的规律．
故答案为：④．
14．（25-26高二上·全国·单元测试）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）．
【答案】 50 有关
【分析】由频率分布直方图求得值，然后写出列联表，计算出后与临界值比较可得.
【详解】由频率分布直方图可知，，解得，
则青年游客评分等级良好的有（人），所以中老年游客评分等级良好的有（人）．由上可得如下列联表，
评分等级是否良好 年龄段
青年游客 中老年游客 总计
评分等级良好 70 50 120
评分等级非良好 30 50 80
总计 100 100 200
可得，则认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关．
故答案为：50；有关.
四、解答题
15．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）7月1日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》在中国内地电影院线正式下映，结束了自今年1月29日以来153天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了《哪吒2》上映前15天累计票房到达（单位：亿元）与所用时间（单位：天）的数据：
累计票房 20 40 60 80 100
用时 4 7 9 10 15
(1)利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度；
(2)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测153天时的累计票房，判断这种预测方法是否合理．
参考公式：经验回归方程，其中．
相关系数．
参考数据：．
【答案】(1)两个变量具有很强的相关程度
(2)，预测153天时的累计票房为1151.56亿元，该预测方法不合理
【分析】（1）先计算，代入相关系数公式计算即可；
（2）先计算，进而得经验回归方程，令，代入回归方程即可求解.
【详解】（1）由题意有，
则
所以两个变量具有很强的相关程度．
（2）由题意有，
所求经验回归方程为，
令，得，
预测153天时的累计票房为1151.56亿元，远超过实际票房，故该预测方法不合理．
16．（辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题）近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：
满意 不满意 合计
男性用户 400 400 800
女性用户 800 400 1200
合计 1200 800 2000
(1)根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？
(2)已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望.
附：
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】(1)有关；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）提出零假设满意度与用户性别无关，再计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知的可能取值有，根据超几何分布的知识求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）零假设为满意度与用户性别无关，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以满意度与用户性别有关.
（2）由题意知的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
则.
17．（24-25高三上·重庆·期中）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—.
年份代码
市场规模
，，，其中
参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
(1)由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差.
【答案】(1)亿人
(2)，
【分析】（1）将题中数据代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出与的拟合函数关系式，再将代入函数关系式，即可得出结论；
（2）由题意可知，，由结合独立重复试验的概率公式可求得的值，然后利用二项分布的期望和方差公式可求得结果.
【详解】（1）设，则，
因为，，，
所以，，
所以，与的拟合函数关系式为
当时，，
则估计年我国在线直播生活购物用户的规模为亿人.
（2）由题意知，所以，，
，
由，可得，
因为，解得，
所以，，.
18．（25-26高二上·吉林长春·期末）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；
(2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
\ 保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100

62.14 1.54 2535 50.12 3.47
参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型，
(2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关
【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解；
（2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断.
【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．
由，两边同时取常用对数得．
设，则．
因为，，，，
所以.
把代入，得，
所以，所以，
则，
故关于的回归方程为.
（2）设零假设：是否报废与是否保养无关．
由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下：
保养 未保养 合计
报废 20
未报废 80
合计 60 40 100
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关．
19．（25-26高三上·湖南·月考）某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台.
(1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关.
款类 测试结果 总计
优秀 良好
型 20 30
A型 7 30
总计
(2)该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响.
（i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望；
（ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义.
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，认为测试结果与越野驾驶性能有关联
(2)（i）分布列见解析，4；（ii）答案见解析
【分析】（1）依题意列出2×2列联表，计算进行判断；
（2）（i）X的所有可能取值为3，4，5，6，分别求其对应概率得到分布列；（ii）设“赛满局人类队获胜”为事件C，有事件：第一阶段赛满局人类队胜，事件：第一阶段赛满局人类队负，由求解.
【详解】（1）依题意，列出2×2列联表如下：
款类 测试结果 总计
优秀 良好
型 20 10 30
A型 7 23 30
总计 27 33 60
零假设为：测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）（i）X的所有可能取值为3，4，5，6，
，，
，.
∴X的分布列为
3 4 5 6
∴数学期望.
（ii）设“赛满局人类队获胜”为事件C，要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满局人类队负，记为事件，
∴，，
①若第一阶段人类队胜，则人类队在前局至少胜局，分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局，
（a）若人类队至少胜局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜；
（b）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为，
∴（其中）.
②若第一阶段赛满局人类队负，即前局人类胜局数，要使总赛满局后人类获胜，需满足：前局胜局，且后局全胜，
前局胜局的概率为，后局全胜的概率为，
因此
所以
代入，化简得，
所以
统计意义：对于单局胜率小于的挑战者，增加比赛总场次会降低其最终获胜的概率.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第七章 统计案例全章复习讲义
教学目标 1.理解直线拟合的思想，掌握一元线性回归方程的求解方法，能运用回归方程对变量的变化趋势进行预测. 2.理解相关系数的含义，掌握成对数据线性相关性的分析方法，能判断两个变量之间线性相关的程度. 3.理解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的步骤，能运用独立性检验解决实际问题中的分类变量关联性分析.
教学重难点 1、重点：相关系数、线性回归方程、独立性检验. 2、难点：对相关系数、卡方公式的理解.
回顾重点知识
知识点01 一元线性回归
1.直线拟合
2.一元线性回归方程
(1)一元线性回归方程
直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，，是这个线性回归方程的系数，其中＝，＝－.
(2)最小二乘法
通过求[yi－(a＋bxi)]2的最小值而得到线性回归方程的方法称为最小二乘法.
3.相关系数
【说明】相关系数r是判定成对数据线性相关性的指标，且绝对值越大，线性相关性越强，并不是r越大线性相关性越强.
【常用结论】一元线性回归方程过样本中心点(，).
【即学即练】
1.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　)
2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A.－ B.
C.－1 D.1
知识点02 独立性检验
1.分类变量
在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2.2×2列联表
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝；变量B：B1，B2＝.
则变量A，B的样本数据的2×2列联表如下：
A B
B1 B2 总计
A1 a b a＋b
A2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
3.独立性检验的基本思想
(1)χ2公式
根据2×2列联表知
χ2＝.
(2)临界值与可信程度
统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1).当χ2较大时，说明变量之间不独立.在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断.
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有90％的把握判断变量A，B有关联；
③当χ2＞3.841时，有95％的把握判断变量A，B有关联；
④当χ2＞6.635时，有99％的把握判断变量A，B有关联.
【即学即练】
1.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数
B.事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响
C.χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量
D.在2×2列联表中，若｜ad－bc｜越小，则说明两个分类变量之间关系越强
2.为了判断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科 文科
男 13 10
女 7 20
P(χ2＞k) 0.05 0.025
k 3.841 5.024
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则认为有　　　　的把握判断选修文科与性别有关系.
3.随着国家三孩政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
由χ2＝，得χ2＝≈9.616.可以得到的结论是　　　　　　　.
答案：有99％的把握判断生育意愿与城市级别有关
4.为了调查患肺癌是否与吸烟有关，调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表：
吸烟 肺癌 合计
肺癌患者 非肺癌患者
吸烟者 20 m 40
不吸烟者 n 55 60
合计 25 75 100
根据列联表数据，求得χ2＝　　　　　　(保留3位有效数字)，那么，认为有99.9％的把握判断患肺癌与吸烟有关.
附：χ2＝.
P(χ2＞k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
题型01 变量间的相关关系
【典例1-1】（23-24高二下·河南南阳·月考）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（ ）

A．甲、乙两组数据都呈线性相关 B．乙组数据的相关程度比甲强
C．乙组数据的相关系数r比甲大 D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1
【典例1-2】（24-25高二下·西藏拉萨·期末）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某省为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得：，，，，．
(1)求这20个县年垃圾产生总量的平均值；
(2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合．（当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱．）
参考公式：相关系数．
判定两个变量相关性的方法
1.画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关.
2.相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；｜r｜越接近于1，相关性越强.
3.线性回归方程：当＞0时，正相关；当＜0时，负相关.
【变式1-1】（24-25高二下·四川乐山·期末）已知变量与，与分别都成线性相关关系，且与相关系数满足，且与相关系数满足，下列结论正确的是（ ）
A．与负相关，与负相关，且与的相关性更强
B．与负相关，与正相关，且与的相关性更强
C．与负相关，与正相关，且与的相关性更弱
D．与正相关，与负相关，且与的相关性更弱
【变式1-2】（24-25高二下·广东深圳·期中）深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：
12 12.5 13 13.5 14
14 13 11 9 8
(1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值.
(2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.
参考数据：，.
参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强.
题型02 成对数据的线性相关性
【典例2-1】(2025·河北衡水模拟)相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程＝x＋，相关系数为r1；方案二：剔除点(10，32)，根据剩下的数据得到线性回归方程＝x＋，相关系数为r2.则(　　)
A.0＜r1＜r2＜1 B.0＜r2＜r1＜1
C.－1＜r1＜r2＜0 D.－1＜r2＜r1＜0
【典例2-2】(2025·河北保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 －0.2 －1.3
根据表格中的数据求得线性回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)
A.＞0，＞0 B.＞0，＜0
C.＜0，＞0 D.＜0，＜0
相关系数r的统计含义及应用
1.由r的正、负可判断成对样本数据中两随机变量是正相关还是负相关.
2.可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用线性回归方程进行分析和预测.
【变式2-1】（24-25高二下·山东济南·期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ）

A． B． C． D．
【变式2-2】（25-26高三上·天津滨海新·期中）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（ ）

A． B．
C． D．
题型03 回归模型的辨析
【典例3】一组实验数据构成的散点图如图，以下函数中适合作为y与x的回归方程模型的是(　　)
A.＝ax＋b B.＝ax2＋c
C.＝blogax＋c D.＝bax＋c
【变式3】（2025·湖南·模拟预测）某科技公司对2012年至2024年的生产成本（万元）进行统计，根据统计数据作出如下散点图：
由此散点图，判断最适合作为该公司的生产成本与时间变量的值依次为的经验回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
题型04 一元线性回归方程及其应用
【典例4-1】（2026·河南鹤壁·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：
/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2
/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660
(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额．
参考数据：，，
．
参考公式：相关系数．
【典例4-2】（25-26高二上·四川眉山·月考）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8
失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7
(1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．
（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001）
(2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．
附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
线性回归分析问题的解题策略
(1)利用最小二乘估计公式，求出回归系数；
(2)利用经验回归直线过样本点的中心求系数；
(3)写出经验回归方程，并利用经验回归方程进行预测.
【变式4-1】（2026·河南鹤壁·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：
/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2
/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660
(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额．
参考数据：，，
．
参考公式：相关系数．
【变式4-2】（2025·浙江金华·一模）近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份 2021 2022 2023 2024
年份代号 1 2 3 4
销量 33 69 93 129
附：相关系数；
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，
(1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001）
(2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．
题型05 非线性回归模型
【典例5】（2026·陕西西安·一模）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表.
（百万） 1 2 3 4 5
（千件） 0.5 1 1.5 3 5.5
(1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度；
(2)根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由.
(3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）.
参考公式及数据：，，，，，，.
有些非线性回归分析问题并不给出经验回归公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合的最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题化为线性回归问题，使之得到解决.
(1)其一般步骤为：
(2)常见非线性回归方程与线性回归方程之间经常使用取对数进行转换.
【变式5】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图是某机构统计的某地区2019年至2025年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．
注：年份代码1-7分别对应年份2019-2025．
求y关于t的回归直线方程（系数精确到0.01），并预测2027年该地区生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，，，
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，．
题型06 分类变量的表示
【典例6-1】为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d＝　　　　.
单位：人
性别 俄语
会俄语 不会俄语 总计
男 a b 20
女 6 d
总计 18 30
【典例6-2】(2025·上海模拟)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
X Y 总计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A.a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B.a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D.a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
分类变量的两种统计表示形式
1.2×2列联表：直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱.
2.等高条形图：等高条形图和列联表相比，能更直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.
【变式6-1】（24-25高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：
a b
c d
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【变式6-2】（24-25高二下·江西上饶·月考）设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则（ ）
合计
合计
A．若，则可以认为与独立
B．若变量与独立，则
C．若很大，则变量与不独立
D．若变量与不独立，则很大
题型07 独立性检验
【典例7】（24-25高二下·西藏林芝·期末）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校 40
城市学校 80
总计 100 160
(1)补全上面的列联表；
(2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？
附：，其中.
0.100 0.050 0.005
2.706 3.841 7.879
独立性检验的三个步骤
第一步：根据样本数据制成2×2列联表；
第二步：根据公式χ2＝，计算χ2的值；
第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断.
【变式7】（2026·河北沧州·一模）2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表：
性别 关注情况
高度关注 非高度关注
女学生 30
男学生 90
以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为．
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关．
参考公式：，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
题型08 统计案例与其他知识的交汇
【典例8-1】（2025·云南昭通·模拟预测）某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：
一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计
男生人数 4 6 6 4 3 2 25
女生人数 1 1 3 5 9 6 25
合计 5 7 9 9 12 8 50
(1)若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；
性别 志愿服务 合计
一般参与 积极参与
男生
女生
合计
(2)若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【典例8-2】（25-26高三上·安徽阜阳·月考）中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下:
宣传天数x 1 2 3 4 5
不了解的人数 120 100 90 80 70
(1)若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的经验回归方程.
(2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下2×2列联表:
性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计
了解 不了解
男性 40 10 50
女性 30 20 50
合计 70 30 100
（i）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与性别有关联
（ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，
再从这7份调查表中任意抽取3份，记X为抽到的调查表来自女性调查表的份数，求X的分布列及期望.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，，
独立性检验常用小概率值和相应的临界值：，
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
统计案例知识常与概率、分布列等综合，以其中某一问形式出现，这类题一般采用各个击破的策略求解，即一问一问地调用相应知识加以解决.
【变式8-1】（25-26高二上·全国·单元测试）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．
附：参考数据如下表（其中），
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占，柚子产量会下降；平均气温在28℃以上的年数占，柚子产量会下降．为了更好地防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万元；
方案2：选择防害措施，可以防治22℃至28℃的红蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元；
方案3：不采取防虫害措施．
【变式8-2】（2025·四川内江·一模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立.
(1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关；
每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
合计 100
(2)求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率；
(3)为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“小明去田径运动场锻炼”，.已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：.
参考公式与数据：，其中，.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
所以，
一、单选题
1.（25-26高二上·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）
A．光照时间和果树亩产量 B．降雪量和交通事故发生率
C．每亩田施肥量和粮食亩产量 D．圆的面积和半径
2．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（ ）
A．变量与不独立
B．变量与独立
C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
3．（24-25高二下·西藏日喀则·期末）假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为，和，，其列联表为：
总计
21 73
8 25 33
总计 46 106
则表中，的值分别是（ ）
A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60
4．（2025高三·全国·专题练习）若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高三·全国·专题练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区天气的判断不正确的是（ ）
日落云里走夜晚天气 下雨 未下雨
出现 25 5
未出现 25 45
参考公式：
临界值参照表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．出现“日落云里走”，有99%的把握判断夜晚会下雨
6.(2025·山东德州模拟)已知两个变量具有线性相关性，现通过最小二乘法求经验回归方程＝x＋，将已知数据代入公式Q＝(yi－bxi－a)2计算后得到的代数式为3a2＋13b2＋12ab－2b＋3，使上述代数式取值最小的a，b的值即为线性回归方程的系数，则线性回归方程为(　　)
A.＝－x＋2 B.＝－x－2
C.＝x＋2 D.＝x－2
7．（2025高三·全国·专题练习）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制对应散点图（图2）如下：
计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为少.根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花萼长度和花瓣长度不存在相关关系
B．花萼长度和花瓣长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm
D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642
8．（24-25高二下·福建厦门·期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人.
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，，.
A．20 B．30 C．35 D．40
二、多选题
9．（25-26高三上·陕西商洛·月考）某科技公司统计了一款APP，最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
月份编号x 1 2 3 4 5
下载量y（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5
A．y与x负相关 B．
C．预测第6个月的下载量约为2.1万次 D．残差绝对值的最大值为0.5
10．（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（ ）
A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人
C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右
D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
11．（2025·山东泰安·模拟预测）为研究某种树树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径（单位：cm）和树高（单位：m）的数据，已知其中一组数据为，且，求得回归方程为，并绘制了如下残差图，则下列结论正确的是（ ）

A．由残差图可判定树高与胸径的关系大致符合上述回归模型
B．数据对应的残差为0.9
C．该种树的平均树高约为22.29m
D．删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小
三、填空题
12．（2025·河北沧州·模拟预测）利用变量的5组实验数据，求得关于的经验回归方程为，若这5组数据对应的点都在该回归直线上，则相关系数为 .
13．（25-26高二上·全国·随堂练习）某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 (填序号).
14．（25-26高二上·全国·单元测试）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）．
四、解答题
15．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）7月1日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》在中国内地电影院线正式下映，结束了自今年1月29日以来153天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了《哪吒2》上映前15天累计票房到达（单位：亿元）与所用时间（单位：天）的数据：
累计票房 20 40 60 80 100
用时 4 7 9 10 15
(1)利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度；
(2)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测153天时的累计票房，判断这种预测方法是否合理．
参考公式：经验回归方程，其中．
相关系数．
参考数据：．
16．（辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题）近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：
满意 不满意 合计
男性用户 400 400 800
女性用户 800 400 1200
合计 1200 800 2000
(1)根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？
(2)已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望.
附：
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17．（24-25高三上·重庆·期中）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—.
年份代码
市场规模
，，，其中
参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
(1)由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差.
18．（25-26高二上·吉林长春·期末）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；
(2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
\ 保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100

62.14 1.54 2535 50.12 3.47
参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．（25-26高三上·湖南·月考）某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台.
(1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关.
款类 测试结果 总计
优秀 良好
型 20 30
A型 7 30
总计
(2)该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响.
（i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望；
（ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义.
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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