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专题02 独立性检验问题
教学目标 1．理解独立性检验的基本概念、原理和步骤； 2．学生应能够运用所学的独立性检验知识解决实际问题； 3．通过学习独立性检验，培养数据处理和分析的能力．
教学重难点 1.重点 应用独立性检验知识解决实际问题． 2.难点 对卡方公式及临界值的理解．
知识点01 分类变量和列联表
1.分类变量：
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2.列联表：
①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．
②2×2列联表．
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为
总计
总计
从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系．
【即学即练】
1．（25-26高二·全国·课后作业）如表是一个2×2列联表,则表中，的值分别为（ ）
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
A．94，72 B．52，50
C．52，74 D．74，52
【答案】C
【分析】根据2×2列联表中的数据，即可求解.
【详解】由题意，根据2×2列联表，可得，.
故选：C.
知识点02 等高条形图（拓展）
1.等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征．
2.观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．
【即学即练】
1．（2024高三·北京·专题练习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
【答案】C
【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可.
【详解】设等高条形图对应列联表如下：
岁及以上 岁以下 总计
男性
女性
总计
根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即；
岁以下男性比岁以下女性多，即．
根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即；
女性中岁及以上的比岁以下的多，即，
对于A，男性人数为，女性人数为，
因为，所以，所以A正确；
对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为，
因为，所以B正确；
对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为，
无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确；
对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为，
因为，所以，所以D正确．
故选：C.
2．（多选）（2025高二·全国·专题练习）贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图．
根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（ ）．
A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通
B．样本中多数女性是35岁及以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高
【答案】ABD
【分析】通过等高堆积条形图构建列联表，根据条形图所呈现的信息得出列联表中各部分数量的大小关系，再依据这些关系对各个选项进行分析.
【详解】设等高堆积条形图对应的列联表如下：
项目 35岁及以上 35岁以下 合计
男性 a c
女性 b d
合计
根据第1个等高堆积条形图可知，35岁及以上的男性比女性多，即；
35岁以下的男性也比女性多，即，
根据第2个等高堆积条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即；
女性中35岁及以上的也比35岁以下的多，即，
对于选项A，男性人数为，女性人数为，，，故A正确，
对于选项B，35岁及以上女性人数为，35岁以下女性人数为d，，故B正确，
对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，由，无法直接判断b与c的大小关系，故C不一定正确，
对于选项D，35岁及以上的人数为，35岁以下的人数为，，，故D正确，
故选：ABD．
知识点03 独立性检验
1.定义
利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
2.公式
，其中为样本容量．
3.临界值与可信程度
统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1).当χ2较大时，说明变量之间不独立.在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断.
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有90％的把握判断变量A，B有关联；
③当χ2＞3.841时，有95％的把握判断变量A，B有关联；
④当χ2＞6.635时，有99％的把握判断变量A，B有关联.
【即学即练】
1．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（ ）
A．变量与不独立
B．变量与独立
C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
【答案】B
【分析】根据独立性检验的概念可得正确的选项.
【详解】因为，所以在显著性水平下，
没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量与是独立的，
故选：B
2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表：
去年体检人数 去年未体检人数 合计
高中教师 70 m 100
初中教师 n 20 100
合计 e f d
根据列联表可求得（ ）
（附：，）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表中数据完成列联表，再代入公式可得答案.
【详解】列联表：
去年体检人数 去年未体检人数 合计
高中教师 70 30 100
初中教师 80 20 100
合计 150 50 200
.
故选：C.
题型01 分类变量的表示
【典例1-1】对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【分析】计算每个选项中的，比较大小后可得出结论.
【详解】对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大，
对于A选项，，
对于B选项，，
对于C选项，，
对于D选项，，
显然D中最大，
故选：D.
【典例1-2】（23-24高二下·重庆·期末）如图是学校高二1 2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
【答案】A
【分析】分析等高堆积条形图可直接得到答案.
【详解】原图是学校高二1 2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，
从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误；
两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误；
故选：A.
分类变量的两种统计表示形式
1.2×2列联表：直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱.
2.等高条形图：等高条形图和列联表相比，能更直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.
【变式1-1】（24-25高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：
a b
c d
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大.
【详解】对于A， ，
对于B，，
对于C，，
对于D，
显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,
故选:B.
【变式1-2】（24-25高二下·河北张家口·月考）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案．
【详解】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系，
由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系，
故选：B
题型02 卡方的计算
【典例2】（24-25高二下·山东青岛·期末）为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表：
性别 晚上 白天 总计
女 30
男 30
总计 40 90
则的值最接近（附：，）（ ）
A．18 B．11 C．8 D．6
【答案】B
【分析】完善列联表，计算得解.
【详解】由题意可得列联表：
性别 晚上 白天 总计
女 30 20 50
男 10 30 40
总计 40 50 90
所以，
所以的值最接近11，
故选：B
【变式2】24-25高二下·山东潍坊·期中）某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表：
愿意参加 不愿意参加 合计
男生 20
女生 20
合计 50 100
则的值为（ ）
（附：，）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】完成下列联表，根据 公式代入求值即可.
【详解】根据表中数据完成下列联表，如下：
愿意参加 不愿意参加 合计
男生 30 20 50
女生 20 30 50
合计 30 50 100
则.
故选：A.
题型03 独立性检验的实际题
【典例3】(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
学生用书 第252页
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247)
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【详解】(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
则完整的2×2列联表如下：
优级品 非优级品 总计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 150
χ2＝＝4.687 5.
因为χ2＝4.687 5＞3.841，所以认为有95％的把握判断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
因为χ2＝4.687 5＜6.635，所以没有99％的把握判断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)由题意可知＝＝0.64，
又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57，
所以＞p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
独立性检验的三个步骤
第一步：根据样本数据制成2×2列联表；
第二步：根据公式χ2＝，计算χ2的值；
第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断.
【变式3-1】（25-26高三·全国·课后作业）某研究所将某一型号的疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下表：
未感染R病毒 感染R病毒 总计
未注射疫苗 20 x A
注射疫苗 30 y B
合计 50 50 100
现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率.
(1)求2×2列联表中的数据x、y、A、B的值；
(2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防R病毒有效？
附表：
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)x=40，y=10，A=60，；
(2)有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防R病毒有效.
【分析】(1)由古典概型概率公式可求，再根据数据关系求；
(2)提出零假设，由公式计算的值，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设.
【详解】（1）因为从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率.
所以，所以，
所以A=100－B=60，x=60－20=40，y=40－30=10.
故；
（2）零假设为：注射疫苗与预防R病毒无关联.
因为，显然16.667>10.828，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防R病毒有效.
【变式3-2】（24-25高二下·广东广州·期末）某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，推出了不同定价的流量包，经过一个月的统计，获取了容量为万人的样本．同时为了进一步了解年龄因素是否对流量包价格有影响，统计了小于岁和大于等于岁两个年龄段人群的购买人数，收集数据整理如表所示．
表1
定价（元/月） 20 30 50 60
岁（万人） 10 15 7 8
岁（万人） 20 12 6 2
购买总人数（万人） 30 27 13 10
表2
年龄段 流量包 合计
元 元
岁
岁
合计
(1)试根据这些数据建立购买总人数关于定价的经验回归方程，并估计定价为元/月的流量包的购买人数；
(2)若把元/月以下（不包括元）的流量包称为低价流量包，元/月以上（包括元）的流量包称为高价流量包，根据以上数据完成列联表，依据的独立性检验，判断年龄段和流量包价格是否有关联．附：
，，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)；约为万人
(2)没有关联，理由见解析
【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归方程，可得所求结果；
（2）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【详解】（1）解：由表格中的数据可得，，
，，
所以，关于的回归方程为，
当时，（万人），
因此，估计定价为元/月的流量包的购买人数约为万人.
（2）解：零假设年龄段和流量包价格没有关联，
由题中数据完善列联表如下表所示：
年龄段 流量包 合计
元 元
岁
岁
合计
，
所以，依据小概率的独立性检验，我们推断成立，
即认为年龄段和流量包价格没有关联.
题型04 独立性检验与概率的综合
【典例4】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策措施积极推进碳减排，作为培育发展新动能 提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据：
了解程度 性别 合计
男性 女性
比较了解 60 60
不太了解 20 40
合计
(1)补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析了解程度与性别是否有关？
(2)用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.
参考公式：
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
0.1 0.05 0.025 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，无关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）完成列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得结论；
（2）分析可知，随机变量的可能取值为，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得随机变量的分布列，进而求得的值.
【详解】（1）补充表格如下：
了解程度 性别 合计
男性 女性
比较了解 60 60 120
不太了解 20 40 60
合计 80 100 180
零假设为：了解程度与性别无关
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即了解程度与性别无关
（2）用分层抽样在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性8人，男性有4人
的可能取值为
则，
的分布列为：
0 2 4 6
.
【变式4-1】（25-26高三上·辽宁·期末）近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：
满意 不满意 合计
男性用户 400 400 800
女性用户 800 400 1200
合计 1200 800 2000
(1)根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？
(2)已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望.
附：
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】(1)有关；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）提出零假设满意度与用户性别无关，再计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知的可能取值有，根据超几何分布的知识求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）零假设为满意度与用户性别无关，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以满意度与用户性别有关.
（2）由题意知的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
则.
【变式4-2】（贵州省毕节市2026届高三第一次适应性考试数学试题）某校为了了解学生对食堂新推出的套餐是否满意，食堂主管部门在就餐的学生中随机调查了100人，其中男生60人，女生40人.在参与调查的男生中有40人表示满意，女生中有30人表示满意.
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对该套餐满意与性别有关联？
满意 不满意 合计
男
女
合计
(2)用频率估计概率，在全校就餐的男生和女生中各随机抽取2人，求表示满意的男生人数大于表示满意的女生人数的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，无关
(2)
【分析】（1）根据题意，补充完善列联表，进行独立性检验即可.
（2）设抽取的2名男生中满意的人数为，抽取的2名女生中满意的人数为，且都服从二项分布，则满意的男生人数大于表示满意的女生人数的概率为.
【详解】（1）列联表见图，
满意 不满意 合计
男 40 20 60
女 30 10 40
合计 70 30 100
零假设：假设套餐满意与性别无关，
由列联表可得，
根据小概率的独立性检验没有足够证据拒绝H ，
即不能在犯错误的概率不超过的前提下，得到该校学生对该套餐满意与性别有关.
（2）用频率估计概率，
男生满意的概率为，男生不满意的概率为，
女生满意的概率为，女生不满意的概率为，
设抽取的2名男生中满意的人数为，且，
抽取的2名女生中满意的人数为，，
则表示满意的男生人数大于表示满意的女生人数的概率为
.
一、单选题
1．（24-25高二下·山西太原·期中）在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）
A．散点图和残差图 B．残差图和列联表
C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表
【答案】D
【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断
【详解】散点图是研究两个变量间的关系，
列联表是研究两个分类变量的，
残差图是体现预报变量与实际值间的差距，
等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，
故选：D
2．（2025·云南昆明·一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：
项目 种子处理 种子未处理 总计
得病 32 101 133
不得病 192 213 405
总计 224 314 538
根据以上数据，则（ ）
A．种子是否经过处理决定是否生病
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理跟是否生病有关
D．以上都是错误的
【答案】C
【分析】根据表格提供的数据作出判断.
【详解】由列联表中的数据可知，
种子经过处理，得病的比例明显降低，
种子未经过处理，得病的比例要高些，
所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关.
故选：C
3．（24-25高二下·西藏日喀则·期末）假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为，和，，其列联表为：
总计
21 73
8 25 33
总计 46 106
则表中，的值分别是（ ）
A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60
【答案】D
【分析】根据列联表直接计算.
【详解】根据列联表知，，又，所以，
故选：
4．（24-25高二下·广东广州·期末）为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附：，，下列结论不正确的是（ ）
锻炼 合计
不经常 经常
女生 15 5 20
男生 10 m n
合计 25 25 50
A．
B．若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为
C．变量x与变量y独立，此推断犯错误的概率不超过0.005
D．变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005
【答案】C
【分析】AB选项，根据表中数据得到，概率为；CD选项，计算出卡方，与7.879比较后的结论.
【详解】A选项，根据表中数据可知，A正确；
B选项，若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为，B正确；
CD选项，，，
故变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005，C错误，D正确.
故选：C
5．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（ ）
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中．
A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
【答案】B
【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可.
【详解】由题意，列出列联表：
接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
故选：B.
6．（2024高三·北京·专题练习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
【答案】C
【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可.
【详解】设等高条形图对应列联表如下：
岁及以上 岁以下 总计
男性
女性
总计
根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即；
岁以下男性比岁以下女性多，即．
根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即；
女性中岁及以上的比岁以下的多，即，
对于A，男性人数为，女性人数为，
因为，所以，所以A正确；
对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为，
因为，所以B正确；
对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为，
无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确；
对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为，
因为，所以，所以D正确．
故选：C.
7．（24-25高二下·河南·月考）地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性多
B．样本中多数女性是35岁以上
C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多
D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多
【答案】C
【分析】根据题意，得到如下两个列联表，再一一分析即可.
【详解】根据题意，得到如下两个列联表.
35岁以上 35岁及以下 总计
男性
女性
总计
35岁以上 35岁及以下 总计
男性
女性
总计
根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为，
女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确；
根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为，
35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确；
由题意，，所以，故C不正确；
根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为，
35岁及以下市民人数为，又，
即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确.
故选：C.
8．（24-25高二下·山东·月考）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮.某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰.若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（ ）
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
A．12 B．34 C．36 D．48
【答案】C
【分析】设男生人数为，则女生人数为，且,写出列联表并根据卡方计算公式，结合题意确定卡方值的范围，即可确定的取值范围，进而确定男生可能人数.
【详解】设男生人数为，则女生人数为，且,
可得列联表如下：
男生 女生 合计
喜欢滑冰
不喜欢滑冰
合计
则，
由有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，得，解得，
由可得，所以参与调查的男生人数为.
故选：C
二、多选题
9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（ ）
A．圆的周长与该圆的直径具有相关关系
B．当两个变量相关且样本相关系数时，表明两个变量正相关
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y是否有关联，经计算，可以推断两个变量有关联，犯错误的概率不超过0.05
【答案】BD
【分析】根据圆的周长与该圆的直径的关系可判断A；根据相关系数的意义判断B；根据残差图的意义判断C；根据独立性检验的原理判断D.
【详解】对于A，圆的周长公式为（是周长，是直径），这是确定的函数关系，
不是相关关系（相关关系是变量间非确定性的关系），所以A错误；
对于B，样本相关系数r的取值范围是，当时，表明两个变量正相关；
当时，表明两个变量负相关。所以B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型对数据的拟合效果越好；
若带状区域越宽，拟合效果越差。所以C错误；
对于D，依据独立性检验，当（这里）时，
我们推断“两个分类变量有关联”，且这种推断犯错误的概率不超过，
本题中，符合该规则，所以D正确，
故选：BD
10．（25-26高三上·江苏常州·开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过
【答案】BD
【分析】根据正态分布的性质、二项分布的方差公式、标准差的性质以及假设检验等知识对每个选项进行判断即可.
【详解】对于选项A：
因为，根据正态分布的性质可知
，所以，所以A错误；
对于选项B：
因为，所以，所以B正确；
对于选项C：
标准差是用来衡量一组数据离散程度的统计量，
将一组数据中的每个数据都加上同一个正数后，数据的波动情况不变，标准差不变，C错误；
对于选项D：
在独立性检验中，我们有一个原假设，通常假设两个变量独立.
基于小概率值的检验规则是：计算得到的统计量如果大于临界值，我们就拒绝原假设，
推断不独立，这里的小概率值就是我们允许犯错误的最大概率，所以该推断犯错误的概率不超过，
所以D正确.
故选：BD.
11．（2025·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 b 72
40岁以上 c d
总计 72 120
附：，．
（1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
（2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
（3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联；
（4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
【答案】BD
【分析】先补全列联表的未知数值，再通过样本频率验证概率类选项，利用独立性检验的卡方公式计算统计量，结合临界值判断变量关联程度.
【详解】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的；
40岁以上且周平均使用时间超过4小时的；
40岁以上的总计为，
故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的.
选项A：，A错误；
选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72，
总样本数120，概率为，B正确；
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 18 72
40岁以上 18 30 48
总计 72 48 120
，
因，
故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关.
所以C选项错误，D选项正确.
故选：BD
三、填空题
12．（25-26高二·全国·假期作业）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表：
专业 性别 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ．
【答案】
【分析】根据临界值表结合已知数据分析判断即可.
【详解】因为，
所以依据小概率值的独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性最大为.
其中临界值表如下：
故答案为：.
13．（25-26高二上·全国·单元测试）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）．
【答案】 50 有关
【分析】由频率分布直方图求得值，然后写出列联表，计算出后与临界值比较可得.
【详解】由频率分布直方图可知，，解得，
则青年游客评分等级良好的有（人），所以中老年游客评分等级良好的有（人）．由上可得如下列联表，
评分等级是否良好 年龄段
青年游客 中老年游客 总计
评分等级良好 70 50 120
评分等级非良好 30 50 80
总计 100 100 200
可得，则认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关．
故答案为：50；有关.
14．（24-25高二下·上海·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人．
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参考公式：，其中．
【答案】
【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论.
【详解】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的，
所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令，
设男生人数为，依题意可得列联表如下：
喜欢追星 不喜欢追星 总计
男生
女生
总计
根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，
则，由，解得，
由题知应为6的整数倍，
而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，
则男生至少有30人，
故答案为：30.
四、解答题
15．（24-25高二下·全国·课前预习）某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中，有37人患呼吸道疾病（以下简称患病），183人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）；不吸烟的295人中，有21人患病，274人未患病．根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？
【答案】可以认为患呼吸道疾病与吸烟有关．
【分析】根据题意列出列联表，再算出在吸烟中和不吸烟中患病的频率，通过比较之间是否存在差异即可判断是否有关．
【详解】为了研究这个问题，我们将上述数据用表格表示如下：
患病 未患病 合计
吸烟 37 183 220
不吸烟 21 274 295
合计 58 457 515
由此表可以粗略地估计出在吸烟的人中，有的人患病；
在不吸烟的人中，有的人患病．
因此，从直观上可以得到结论：吸烟者中患病的比例与不吸烟者中患病的比例相比有很大的差异，
故可以认为患呼吸道疾病与吸烟有关．
16．（2026·河北沧州·一模）2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表：
性别 关注情况
高度关注 非高度关注
女学生 30
男学生 90
以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为．
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关．
参考公式：，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，
【分析】（1）利用古典概型列方程，解方程可得答案；
（2）利用独立性检验可得答案.
【详解】（1）因为在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为，
所以，解得．
又，解得，所以
（2）由（1）得，列联表如下：
性别 关注情况 合计
高度关注 非高度关注
女学生 70 30 100
男学生 90 10 100
合计 160 40 200
零假设为；该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关．
，
因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立，
即认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
17．（25-26高三上·陕西·期末）为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）：
每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟
专注力达标 170 80
专注力不达标 100 150
(1)记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和；
(2)根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)，
(2)根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系
【分析】（1）用古典概型即可求出答案；
（2）根据表中的数据求出，利用独立性检验的方法即可进行判断.
【详解】（1），
，．
（2）零假设：中学生的专注力与阅读时长没有关系，
由表中数据可得，
根据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为中学生的专注力与阅读时长有关系，
所以，根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系.
18．（25-26高二上·吉林长春·期末）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；
(2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
\ 保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100

62.14 1.54 2535 50.12 3.47
参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型，
(2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关
【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解；
（2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断.
【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．
由，两边同时取常用对数得．
设，则．
因为，，，，
所以.
把代入，得，
所以，所以，
则，
故关于的回归方程为.
（2）设零假设：是否报废与是否保养无关．
由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下：
\ 保养 未保养 合计
报废 20
未报废 80
合计 60 40 100
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关．
19．（25-26高三上·湖南·月考）某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台.
(1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关.
款类 测试结果 总计
优秀 良好
型 20 30
A型 7 30
总计
(2)该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响.
（i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望；
（ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义.
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，认为测试结果与越野驾驶性能有关联
(2)（i）分布列见解析，4；（ii）答案见解析
【分析】（1）依题意列出2×2列联表，计算进行判断；
（2）（i）X的所有可能取值为3，4，5，6，分别求其对应概率得到分布列；（ii）设“赛满局人类队获胜”为事件C，有事件：第一阶段赛满局人类队胜，事件：第一阶段赛满局人类队负，由求解.
【详解】（1）依题意，列出2×2列联表如下：
款类 测试结果 总计
优秀 良好
型 20 10 30
A型 7 23 30
总计 27 33 60
零假设为：测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）（i）X的所有可能取值为3，4，5，6，
，，
，.
∴X的分布列为
3 4 5 6
∴数学期望.
（ii）设“赛满局人类队获胜”为事件C，要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满局人类队负，记为事件，
∴，，
①若第一阶段人类队胜，则人类队在前局至少胜局，分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局，
（a）若人类队至少胜局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜；
（b）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为，
∴（其中）.
②若第一阶段赛满局人类队负，即前局人类胜局数，要使总赛满局后人类获胜，需满足：前局胜局，且后局全胜，
前局胜局的概率为，后局全胜的概率为，
因此
所以
代入，化简得，
所以
统计意义：对于单局胜率小于的挑战者，增加比赛总场次会降低其最终获胜的概率.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 独立性检验问题
教学目标 1．理解独立性检验的基本概念、原理和步骤； 2．学生应能够运用所学的独立性检验知识解决实际问题； 3．通过学习独立性检验，培养数据处理和分析的能力．
教学重难点 1.重点 应用独立性检验知识解决实际问题． 2.难点 对卡方公式及临界值的理解．
知识点01 分类变量和列联表
1.分类变量：
变量的不同“值”表示个体所属的 ，像这样的变量称为分类变量．
2.列联表：
①定义：列出的两个分类变量的 称为列联表．
②2×2列联表．
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为
总计
总计
从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系．
【即学即练】
1．（25-26高二·全国·课后作业）如表是一个2×2列联表,则表中，的值分别为（ ）
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
A．94，72 B．52，50
C．52，74 D．74，52
知识点02 等高条形图（拓展）
1.等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征．
2.观察等高条形图发现与相差 ，就判断两个分类变量之间有关系．
【即学即练】
1．（2024高三·北京·专题练习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
2．（多选）（2025高二·全国·专题练习）贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图．
根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（ ）．
A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通
B．样本中多数女性是35岁及以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高
知识点03 独立性检验
1.定义
利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
2.公式
，其中为样本容量．
3.临界值与可信程度
统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1).当χ2较大时，说明变量之间不独立.在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断.
当χ2≤2.706时，没有 判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有_____的把握判断变量A，B有关联；
当χ2＞3.841时，有______的把握判断变量A，B有关联；
当χ2＞6.635时，有____的把握判断变量A，B有关联.
【即学即练】
1．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（ ）
A．变量与不独立
B．变量与独立
C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表：
去年体检人数 去年未体检人数 合计
高中教师 70 m 100
初中教师 n 20 100
合计 e f d
根据列联表可求得（ ）
（附：，）
A． B． C． D．
题型01 分类变量的表示
【典例1-1】对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【典例1-2】（23-24高二下·重庆·期末）如图是学校高二1 2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
分类变量的两种统计表示形式
1.2×2列联表：直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱.
2.等高条形图：等高条形图和列联表相比，能更直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.
【变式1-1】（24-25高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：
a b
c d
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【变式1-2】（24-25高二下·河北张家口·月考）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 卡方的计算
【典例2】（24-25高二下·山东青岛·期末）为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表：
性别 晚上 白天 总计
女 30
男 30
总计 40 90
则的值最接近（附：，）（ ）
A．18 B．11 C．8 D．6
【变式2】24-25高二下·山东潍坊·期中）某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表：
愿意参加 不愿意参加 合计
男生 20
女生 20
合计 50 100
则的值为（ ）
（附：，）
A．4 B． C．5 D．
题型03 独立性检验的实际应用
【典例3】(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
学生用书 第252页
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247)
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
独立性检验的三个步骤
第一步：根据样本数据制成2×2列联表；
第二步：根据公式χ2＝，计算χ2的值；
第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断.
【变式3-1】（25-26高三·全国·课后作业）某研究所将某一型号的疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下表：
未感染R病毒 感染R病毒 总计
未注射疫苗 20 x A
注射疫苗 30 y B
合计 50 50 100
现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率.
(1)求2×2列联表中的数据x、y、A、B的值；
(2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防R病毒有效？
附表：
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【变式3-2】（24-25高二下·广东广州·期末）某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，推出了不同定价的流量包，经过一个月的统计，获取了容量为万人的样本．同时为了进一步了解年龄因素是否对流量包价格有影响，统计了小于岁和大于等于岁两个年龄段人群的购买人数，收集数据整理如表所示．
表1
定价（元/月） 20 30 50 60
岁（万人） 10 15 7 8
岁（万人） 20 12 6 2
购买总人数（万人） 30 27 13 10
表2
年龄段 流量包 合计
元 元
岁
岁
合计
(1)试根据这些数据建立购买总人数关于定价的经验回归方程，并估计定价为元/月的流量包的购买人数；
(2)若把元/月以下（不包括元）的流量包称为低价流量包，元/月以上（包括元）的流量包称为高价流量包，根据以上数据完成列联表，依据的独立性检验，判断年龄段和流量包价格是否有关联．附：
，，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
题型04 独立性检验与概率的综合
【典例4】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策措施积极推进碳减排，作为培育发展新动能 提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据：
了解程度 性别 合计
男性 女性
比较了解 60 60
不太了解 20 40
合计
(1)补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析了解程度与性别是否有关？
(2)用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.
参考公式：
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
0.1 0.05 0.025 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 7.879 10.828
【变式4-1】（25-26高三上·辽宁·期末）近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表：
满意 不满意 合计
男性用户 400 400 800
女性用户 800 400 1200
合计 1200 800 2000
(1)根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？
(2)已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望.
附：
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【变式4-2】（贵州省毕节市2026届高三第一次适应性考试数学试题）某校为了了解学生对食堂新推出的套餐是否满意，食堂主管部门在就餐的学生中随机调查了100人，其中男生60人，女生40人.在参与调查的男生中有40人表示满意，女生中有30人表示满意.
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对该套餐满意与性别有关联？
满意 不满意 合计
男
女
合计
(2)用频率估计概率，在全校就餐的男生和女生中各随机抽取2人，求表示满意的男生人数大于表示满意的女生人数的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
一、单选题
1．（24-25高二下·山西太原·期中）在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）
A．散点图和残差图 B．残差图和列联表
C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表
2．（2025·云南昆明·一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：
项目 种子处理 种子未处理 总计
得病 32 101 133
不得病 192 213 405
总计 224 314 538
根据以上数据，则（ ）
A．种子是否经过处理决定是否生病
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理跟是否生病有关
D．以上都是错误的
3．（24-25高二下·西藏日喀则·期末）假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为，和，，其列联表为：
总计
21 73
8 25 33
总计 46 106
则表中，的值分别是（ ）
A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60
4．（24-25高二下·广东广州·期末）为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附：，，下列结论不正确的是（ ）
锻炼 合计
不经常 经常
女生 15 5 20
男生 10 m n
合计 25 25 50
A．
B．若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为
C．变量x与变量y独立，此推断犯错误的概率不超过0.005
D．变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005
5．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（ ）
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中．
A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
6．（2024高三·北京·专题练习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
7．（24-25高二下·河南·月考）地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性多
B．样本中多数女性是35岁以上
C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多
D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多
8．（24-25高二下·山东·月考）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮.某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰.若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（ ）
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
A．12 B．34 C．36 D．48
二、多选题
9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（ ）
A．圆的周长与该圆的直径具有相关关系
B．当两个变量相关且样本相关系数时，表明两个变量正相关
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y是否有关联，经计算，可以推断两个变量有关联，犯错误的概率不超过0.05
10．（25-26高三上·江苏常州·开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过
11．（2025·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄 周平均使用时间
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 b 72
40岁以上 c d
总计 72 120
附：，．
（1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
（2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
（3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联；
（4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
三、填空题
12．（25-26高二·全国·假期作业）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表：
专业 性别 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ．
13．（25-26高二上·全国·单元测试）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）．
14．（24-25高二下·上海·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人．
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参考公式：，其中．
四、解答题
15．（24-25高二下·全国·课前预习）某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中，有37人患呼吸道疾病（以下简称患病），183人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）；不吸烟的295人中，有21人患病，274人未患病．根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？
16．（2026·河北沧州·一模）2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表：
性别 关注情况
高度关注 非高度关注
女学生 30
男学生 90
以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为．
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关．
参考公式：，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（25-26高三上·陕西·期末）为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）：
每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟
专注力达标 170 80
专注力不达标 100 150
(1)记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和；
(2)根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（25-26高二上·吉林长春·期末）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；
(2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
\ 保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100

62.14 1.54 2535 50.12 3.47
参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．（25-26高三上·湖南·月考）某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台.
(1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关.
款类 测试结果 总计
优秀 良好
型 20 30
A型 7 30
总计
(2)该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响.
（i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望；
（ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义.
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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