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专题4.1~4.2 直线的方向向量与平面的法向量，
用向量方法研究立体几何中的位置关系
教学目标 1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
教学重难点 1.重点 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明. 2.难点 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.
知识点01 直线的方向向量与直线的向量表示
1．直线的方向向量
设点A，B是直线上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量．
2．直线的向量表示
已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得，这个式子称为直线l的向量表示．
【知识剖析】
1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合．
2．与直线l平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
3．给定空间中任意一点A和非零向量，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量的直线．
4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
【即学即练】
1．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线l经过两点，向量是直线l的一个方向向量，则n=（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先求得，根据题意可知存在实数，使得，列出方程组，即可求解.
【详解】由点，可得，
因为是直线的方向向量，所以存在实数，使得，
则，解得.
故选：C.
知识点02 平面的法向量
1.平面的法向量
如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线 l的方向向量n叫做平面α的法向量，则n⊥α.
2．平面α的方程
在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，则称A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0为平面α的方程．
【知识剖析】
　利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可．
【即学即练】
1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案.
【详解】由题，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，，得.
故选：B.
2．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解.
【详解】设为空间内一点，且，
由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部），
故不妨取为其法向量，则，，
所以，取代入得到，故D正确.
故选：D.
知识点03 空间中平行关系的向量表示
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
线线平行(线线不重合) l∥m l∥m
线面平行(线不在平面内) l∥α l⊥n1
面面平行(两个平面不重合) α∥β n1∥n2
【易错警示】
零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零向量来描述空间直线与平面的位置．
【即学即练】
1．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明列式求解.
【详解】直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，
由直线平面，得，则，即，所以.
故选：C
2．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是 ．
【答案】平行
【分析】根据两平面的法向量为共线向量，即可判断两平面的位置关系.
【详解】由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行.
知识点04 空间中垂直关系的向量表示
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
线线垂直 l⊥m l⊥m
线面垂直 l⊥α l∥n1
面面垂直 α⊥β n1⊥n2
【即学即练】
1.（25-26高二上·云南·期中）已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到，再根据向量相等得到方程组，解得即可.
【详解】因为，所以，所以，即，
所以，解得．
故选：B．
2．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D.
【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误；
对于B，由，得，则，解得，故B错误；
对于C，由，得，则或，故C错误；
对于D，由，得，则，故D正确.
故选：D.
知识点05 三垂线定理及其逆定理（拓展）
1.三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直.
2．三垂线定理的逆定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的投影.
3.利用两定理证明线线垂直的“三步曲”
一定“线面”——即先定下一个基础平面和这个平面内的一条直线.
二找“三线”——即再找这个平面的一条垂线、一条斜线及这条斜线在这个平面内的射影.
三证“垂直”——即最后证明平面内的这条直线与斜线或斜线在平面内的射影垂直.
【即学即练】
1.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：对角线A1C⊥平面C1BD．
【证明】∵A1A⊥平面ABCD，A1C是斜线，连AC，则AC⊥BD，由三垂线定理知BD⊥A1C．
∵A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜线，连B1C，B1C是A1C在BCC1B1内的射影，
又∵BC1⊥B1C，由三垂线定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，
∴A1C⊥平面DBC1．
题型01 求平面的法向量
【典例1】已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ．
【答案】或
【分析】由法向量与，垂直列出等式即可求解.
【详解】设平面的单位法向量为，
因为直线，均平行于平面，
所以有，
由可得： 或，
故平面的单位法向量为或．
故答案为：或．
求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出．
【变式1-1】在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要是平面的一个法向量，则要与平面的两不共线的向量垂直，两向量垂直即数量积为零，再根据数量积的运算验证即可.
【详解】如下图所示：
在平行六面体中，，．设，，，
所以， ，，
对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，,
，
与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确；
故选：D.
【变式1-2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由法向量定义求出一个法向量，与它平行的向量即可．
【详解】设法向量为，
由已知，
则，取，则，
只有B选项中向量与平行，可表示为，
故选：B．
题型02利用向量方法证明线线平行
【典例2】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
【详解】以点D为坐标原点，分别以为正交基建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)，
∴＝(－1，0，)，
＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，
∴＝＝∥，
又∵F AE，F EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
证明线线平行的依据与思路
证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝λb(λ∈R)．利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．
【变式2】长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
【证明】
如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：
A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E(a，b，c)，
F(a，c).
∴＝＝(－a，b，c)，
∴＝．
又FE与AC1不共线，
∴直线EF∥AC1.
题型03利用向量方法证明线面平行
【典例3】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】以的中点O为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用表示点坐标，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直可得结果.
【详解】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz．
由题意知，，，．
设点C的坐标为，则．
因为，
所以，
所以Q．
因为M为的中点，所以．
因为P为的中点，所以P，
所以．
因为平面的一个法向量为，
所以，
因为平面，所以平面．
向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
【变式3-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
(1)写出点，，的坐标；
(2)求平面的一个法向量；
(3)证明：直线平面．
【答案】(1)；；
(2)（答案不唯一）
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可.
（2）根据法向量与平面垂直进行求解即可.
（3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可.
【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
且正方体的棱长为，所以，，.
（2）因为，，，
所以，，设平面的法向量为，
所以，得，
令，所以，所以平面的一个法向量为.
（3）由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为，
所以，所以，因为平面，所以直线平面.
【变式3-2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面；
【详解】证明：如图，
因为H，P分别是BC，AB的中点，所以，
因为，可得，又因为平面ABC，
以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，，，，，
所以向量，且平面的法向量为，
则，所以，
又因为平面，所以平面.
题型04利用向量方法证明面面平行
【典例4】在正方体中，若为中点，为中点.

求证：(1)；
(2)平面；
(3)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明；
（2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明；
（3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行.
【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．

依题意知：，，，，
∴，，
∴，
∴，即.
（2）设平面ACD1的法向量为，
∵，，，
∴，，
由可得，，即，
令，则，∴，
又，
∴，∴，
又平面，∴平面．
（3）证法一 ∵，
∴，又，
∴，∴，
又平面，平面，
∴平面，
又由（2）知平面，而，
且平面，平面,
∴平面平面.
证法二 设平面的法向量为
则即∴
令，得，∴，
由（2）知平面ACD1的一个法向量，
∴，∴，
∴平面平面.
证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β μ∥v.
【变式4-1】如图，在长方体中，，，.
(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，P为线段的中点
【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行；
（2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解.
【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
因为，即，所以平面平面.
（2）设线段上存在点P使得平面，.
由（1）得，，平面的一个法向量为，
所以.
所以，解得.
所以当P为线段的中点时，平面.
【变式4-2】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证；
（2）证明也是平面MNP的一个法向量即可.
【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，，．

由正方体的性质，知平面，
所以为平面的一个法向量．
由于，
则，
所以．
又平面，
所以平面．
（2）证明：因为为平面的一个法向量，
由于，，
则，
即也是平面MNP的一个法向量，
所以平面平面．
题型05利用向量方法证明线线垂直
【典例5】（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明：
(1)；
(2)平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．写出各点的坐标．
（1）由即可证明；
（2）求出平面的法向量，由法向量与数量积为零即可证明平面．
【详解】（1）∵，，∴．
由底面，得．
以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
又，M为棱的中点．
则，，，，，．
∵，，
∴，
∴，则．
（2）∵，，∴．
由底面，得．
又，∴平面，
则向量是平面的一个法向量．
∵，且平面，
∴平面．
利用空间向量证明两直线垂直的方法
建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示，再证明其数量积为0.
【变式5】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）正方体的棱长为2，且分别为线段与线段的中点．
(1)求线段的长；
(2)证明：；
(3)用空间向量法证明：直线与直线为一组异面直线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据空间向量法即可证明；
（3）根据空间向量法，逐次证明与不平行、不相交、不重合三种情况即可．
【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
由于分别为线段与线段的中点，
故，则．
（2），由于，
故．
（3）．由于，故与不平行，
假设与相交，设实数，则线段上的点坐标为，
线段上的点坐标为，
由于与相交，则存在，使，而方程无解，故与不相交，
综上，直线既不平行也不相交，且显然不重合，故与是一组异面直线．
题型06利用向量方法证明线面垂直
【典例6】如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．
求证：平面；
【详解】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，设平面的法向量为，
所以即，令，则，
则，所以，即平面.
利用空间向量证明直线与平面垂直的方法
方法一
1．建立空间直角坐标系；
2．将直线的方向向量用坐标表示；
3．找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
4．分别计算直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量的数量积，得到数量积为0.
方法二
1．建立空间直角坐标系；
2．将直线的方向向量用坐标表示；
3．求出平面的法向量；
4．证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
方法三
利用基向量法证明直线与平面内两相交直线垂直.
【变式6-1】如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心.
(1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；
(2)求证：平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为，高为1的圆锥，求出体积可得答案；
（2）方法一：连接，利用线面垂直的判定定理、性质定理可得、，再由线面垂直的判定定理可得答案；方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出则，，再由线面垂直的判定定理可得答案.
【详解】（1）因为正方体的棱长为1，
所以，，是直角三角形，
所以绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为，
高为1的圆锥，其体积为；
（2）方法一：连接，如图.
在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面.
又平面，所以，
同理可证平面，所以.
因为，平面，
所以平面.
方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
则，
，
所以，，
又，，平面，
所以平面.
【变式6-2】（安徽省皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，.
(1)用向量，，表示，.
(2)为何值时，最小，最小值是多少？
(3)当时，证明：平面ABCD.
【答案】(1)，
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）结合图形，利用空间向量线性运算，即可用向量，，表示，.；
（2）借助空间向量数量积的运算律结合二次函数的性质计算即得答案；
（3）由平面ABCD等价于，，利用向量数量积公式计算即得结论.
【详解】（1）由题意得，，，，
可知，
则
.
（2）因，，，，
则
，
则当时，有最小值，最小值为.
（3）当时，，
则，
，
所以，，
因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.，
所以平面ABCD.
题型07利用向量方法证明面面垂直
【典例7】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论；
（2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论．
【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由为棱的中点，得，则，
所以为平面的一个法向量，
又，所以，
又平面，所以平面．
（2）由（1）知平面的一个法向量，，，
设平面PCD的一个法向量为，则，
令，可得，所以，
又，
所以，所以平面平面.
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
2．利用法向量证明面面垂直思路比较简单，但往往运算量大；而利用面面垂直的判定定理证明则运算量较小，但思维难度比较大，这两种策略同学们要灵活选择．
【变式7】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直；
（2）利用空间向量法证明平面，再根据线面垂直的性质得到面面平行；
【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，，.
设，则，，.
因为，，，
所以，.
所以，，即，.
又平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，，
所以，.
所以，.
因为平面，所以平面.
又由（1）知平面，所以平面平面.
题型08 空间向量中的平行、垂直动点问题
【典例8】（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.
(1)求多面体的体积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）；
（2）用异面直线的空间向量求法求解；
（3）假设存在，由面面垂直的向量判定方法列式求解.
【详解】（1）因为，即，又，
平面，
所以平面平面，
所以.
又平面，
所以平面，
所以.
（2）因为平面，，以为原点，
所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3）假设存在线段上存在一点，使得平面平面，
设，
则.
所以，设平面的法向量，
由，
令，得，
设平面即平面的法向量，
由，
得，
因为平面平面，所以，解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且.
利用向量解决线面位置关系的动态型问题时，一般先合理设出参数，用参数表示出动点的坐标，然后利用位置关系，结合向量的有关运算得到参数的方程，转化为方程问题求解.
【变式8-1】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为为棱上的动点，为棱上的动点，__________，试问是否存在点满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】设，根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解.
【详解】由题意，正方体棱长为2，
则.
设，
则.
所以.
选择①，则有，
所以，
又，
所以，则，
因为，
所以，
故存在点，满足满足，且.
选择②，，即，所以，
因为，
所以，
故存在点，满足，且.
选择③，，
因为，所以与不共线，
所以，即，
则，
故不存在点满足.
【变式8-2】已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

(1)求证：；
(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可；
【详解】（1）

取的中点，连接，
因为矩形ABCD，，，
所以，
由为CD中点，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由为的中点，为四边形的中位线，，
所以，又平面，，
所以平面，
由平面，所以.
（2）

作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系，
由（1）得为四边形的中位线，所以，
由得，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设点存在，，，
所以，所以，
由平面得，
所以，解得，
即，所以
所以存在点N，使得平面ADM，.
一、单选题
1．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直
【答案】D
【详解】因为，所以与不平行，所以与不垂直；
因为，所以与不垂直，所以与不平行，也不在平面内.
所以与相交但不垂直.
故选：D
2．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，
若，则，所以，解得.
故选：A.
3．（25-26高二上·辽宁·期中）若直线∥平面α，且l的方向向量为，平面α的法向量为，则为（ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】因为直线∥平面α，
所以,
得,
得,
故选：C
4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两条不同直线的方向向量分别为，则这两条直线（ ）
A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行
【答案】A
【详解】假设，即，
则，此方程组无解，即直线，不平行，
故直线相交或异面.
故选：A
5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为已知平面的一个法向量为，且直线平面，则满足，
对于A，若，则，所以A不符合题意；
对于B，若，则，所以B不符合题意；
对于C，若，则，所以C符合题意；
对于D，若，则，所以D不符合题意.
故选：C.
6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以或，故B错误；
对于C，若，则，即，
易得，故C错误；
对于D，若，则，即，易得，
故D错误.
故选：A
7．（25-26高二上·四川内江·阶段练习）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】
以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
，
，
设平面的法向量为，
则，
取，则，则，
因为平面，
所以，所以，
所以点P的轨迹长度为.
故选：.
8．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则有,
依题意，，
,
于是，.
又因平面，平面,则,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取为，
因平面，故，即.
则
，
因，故当时，.
故选：D.
二、多选题
9．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）已知、分别为直线、的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A选项，因为不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，，故A正确；
对于B选项，由法向量与方向向量的定义得，或，故B不正确；
对于C选项，因为，为平面的法向量，所以，故C不正确；
对于D选项，由平面法向量与平面的位置关系可得，，故D不正确．
故选：A
10．（25-26高二上·浙江·阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，，分别是，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．平面
【答案】ABC
【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则 ，
所以，，，，
对于A，显然与不共线，即不成立，不正确；
对于B、C，设平面的法向量为，则，
令，得，，因此与不垂直，也不与平行，
即既不平行于平面，也不垂直于平面，不正确；
对于D，设平面的法向量为，则，
令，得，则，
所以，而平面，正确.故选：ABC
11．（2025·陕西西安·三模）如图，在多面体中，四边形是矩形，，平面，为的中点，，则（ ）
A．
B．平面
C．平面平面
D．四棱锥与的体积之比为
【答案】ACD
【详解】解：因为平面，四边形是矩形，
所以两两垂直，故如图建立空间直角坐标系，
因为，平面，平面，
所以平面
设，
则
对于A，，，故，即
所以，即A选项正确；
对于B，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，即，
所以，
所以平面不成立，故B选项错误；
对于C，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，即
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，即，
所以，
所以平面平面，故C选项正确.
对于D，平面，平面得，
由四边形是矩形得，又，故平面，
由，四边形是矩形得，由于为的中点，
所以四棱锥的体积为：；
因为，平面，平面，
所以平面
因为平面，
四棱锥的体积为：，
所以四棱锥与的体积之比为，故D选项正确；
故选：ACD
三、填空题
12．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则 ．
【答案】6
【详解】因为，且，所以，解得．
13．（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 .
【答案】6
【详解】
以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，
则，，
，，
即，，
当时，，此时为棱的中点；
当时，，此时为棱的中点，
设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN，
，点的轨迹长度为6.
14．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】
根据正方体可以所在直线分别轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，， ，
设平面的法向量为，则，取，
因为平面，故，故即，故
设三棱锥外接球的球心坐标为，由得：
，整理得：，
故，故外接球半径为
故三棱锥外接球的表面积为.
四、解答题
15．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体中，E为棱上的动点．
(1)求证：；
(2)若平面平面，求证：E为的中点．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则．
设，，
，
∴，即
（2）设平面和平面EBD的法向量分别为，．
，
，即，令，则，则，
，即，令，则，则．
由平面平面，得.
，即.
∴当E为的中点时，平面平面.
16．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)直线与平面相交，证明见解析
【详解】（1）在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点，
由为的中点，得，又平面，平面，
所以平面.
（2）直线与平面相交．
在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得，
由为正三角形，且为的中点，得．
由平面，得平面，于是直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，则，取，得，
而，且，则，
由，得与不垂直，即向量不平行于平面，
因此平面，且与平面不平行，
所以直线与平面相交.
17．（25-26高三上·河北·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，与交于点，与交于点.
(1)证明：；
(2)若，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以，
又，分别为，的中点，所以，所以，
又平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，所以.
（2）因为三棱柱为直三棱柱，且，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
所以，，故，，
又，，平面，所以平面，
由（1）知平面，
所以点到平面的距离即点到平面的距离，等于的长，
在中，由等面积法知，则，，
因为，所以，且易知，
故，所以.
18．在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）∵面面，面面，
，面，
∴面，
∵面，
∴，
又，，面，面
∴面，
（2）取中点为，连结，
∵，
∴，
∵，
∴
∵面面，面面，
两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
易知，，，，
则，，，，
设为面的法向量，令.
则
假设存在点使得面， 设，，
又，，，，
有∴
∵面，为的法向量，
∴，即，得
综上，存在点，即当时，点即为所求.
19．（25-26高三上·福建宁德·期中）如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，，，，，线段上存在点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为.

(1)求证：平面.
(2)求.
(3)若为的中点，点在平面内，且满足平面，求线段长度的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
(3).
【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点，且，
所以，且.
因为，，，满足，
所以.
因为，，平面，
所以平面.
（2）以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
得，令，得，
所以.
设，，则，
所以.
设直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍去），
所以.
（3）设，，
，，，，
因为点在平面内，所以存在，使得，
解得，，
所以，.
设平面的法向量为，，，
得，令，得，，
所以.
因为平面，所以，即，
解得，
所以.
，
当时，取最小值，
所以线段最小值为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.1~4.2 直线的方向向量与平面的法向量，
用向量方法研究立体几何中的位置关系
教学目标 1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
教学重难点 1.重点 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明. 2.难点 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.
知识点01 直线的方向向量与直线的向量表示
1．直线的方向向量
设点A，B是直线上不重合的任意两点，称为直线l的 ．
2．直线的向量表示
已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得 ，这个式子称为直线l的向量表示．
【知识剖析】
1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合．
2．与直线l平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
3．给定空间中任意一点A和非零向量，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量的直线．
4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
【即学即练】
1．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线l经过两点，向量是直线l的一个方向向量，则n=（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
知识点02 平面的法向量
1.平面的法向量
如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把 叫做平面α的法向量，则n⊥α.
2．平面α的方程
在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，则称 为平面α的方程．
【知识剖析】
　利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可．
【即学即练】
1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（ ）．
A． B． C． D．
知识点03 空间中平行关系的向量表示
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
线线平行(线线不重合) l∥m
线面平行(线不在平面内) l∥α
面面平行(两个平面不重合) α∥β
【易错警示】
零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零向量来描述空间直线与平面的位置．
【即学即练】
1．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
2．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是 ．
知识点04 空间中垂直关系的向量表示
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
线线垂直 l⊥m l⊥m
线面垂直 l⊥α l∥n1
面面垂直 α⊥β n1⊥n2
【即学即练】
1.（25-26高二上·云南·期中）已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
知识点05 三垂线定理及其逆定理（拓展）
1.三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直.
2．三垂线定理的逆定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的投影.
3.利用两定理证明线线垂直的“三步曲”
一定“线面”——即先定下一个基础平面和这个平面内的一条直线.
二找“三线”——即再找这个平面的一条垂线、一条斜线及这条斜线在这个平面内的射影.
三证“垂直”——即最后证明平面内的这条直线与斜线或斜线在平面内的射影垂直.
【即学即练】
1.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：对角线A1C⊥平面C1BD．
题型01 求平面的法向量
【典例1】已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ．
求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出．
【变式1-1】在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
题型02利用向量方法证明线线平行
【典例2】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
证明线线平行的依据与思路
证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝λb(λ∈R)．利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．
【变式2】长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
题型03利用向量方法证明线面平行
【典例3】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面．
向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
【变式3-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
(1)写出点，，的坐标；
(2)求平面的一个法向量；
(3)证明：直线平面．
【变式3-2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面.
题型04利用向量方法证明面面平行
【典例4】在正方体中，若为中点，为中点.

求证：(1)；
(2)平面；
(3)平面平面．
证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β μ∥v.
【变式4-1】如图，在长方体中，，，.
(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
【变式4-2】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；
(2)平面平面．
题型05利用向量方法证明线线垂直
【典例5】（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明：
(1)；
(2)平面．
利用空间向量证明两直线垂直的方法
建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示，再证明其数量积为0.
【变式5】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）正方体的棱长为2，且分别为线段与线段的中点．
(1)求线段的长；
(2)证明：；
(3)用空间向量法证明：直线与直线为一组异面直线．
题型06利用向量方法证明线面垂直
【典例6】如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．
求证：平面；
利用空间向量证明直线与平面垂直的方法
方法一
1．建立空间直角坐标系；
2．将直线的方向向量用坐标表示；
3．找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
4．分别计算直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量的数量积，得到数量积为0.
方法二
1．建立空间直角坐标系；
2．将直线的方向向量用坐标表示；
3．求出平面的法向量；
4．证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
方法三
利用基向量法证明直线与平面内两相交直线垂直.
【变式6-1】如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心.
(1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；
(2)求证：平面.
【变式6-2】（安徽省皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，.
(1)用向量，，表示，.
(2)为何值时，最小，最小值是多少？
(3)当时，证明：平面ABCD.
题型07利用向量方法证明面面垂直
【典例7】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
2．利用法向量证明面面垂直思路比较简单，但往往运算量大；而利用面面垂直的判定定理证明则运算量较小，但思维难度比较大，这两种策略同学们要灵活选择．
【变式7】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；
(2)平面平面.
题型08 空间向量中的平行、垂直动点问题
【典例8】（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.
(1)求多面体的体积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
利用向量解决线面位置关系的动态型问题时，一般先合理设出参数，用参数表示出动点的坐标，然后利用位置关系，结合向量的有关运算得到参数的方程，转化为方程问题求解.
【变式8-1】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为为棱上的动点，为棱上的动点，__________，试问是否存在点满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【变式8-2】已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

(1)求证：；
(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
一、单选题
1．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直
2．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
3．（25-26高二上·辽宁·期中）若直线∥平面α，且l的方向向量为，平面α的法向量为，则为（ ）
A．4 B．1 C． D．
4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两条不同直线的方向向量分别为，则这两条直线（ ）
A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行
5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（25-26高二上·四川内江·阶段练习）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）已知、分别为直线、的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26高二上·浙江·阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，，分别是，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．平面
11．（2025·陕西西安·三模）如图，在多面体中，四边形是矩形，，平面，为的中点，，则（ ）
A．
B．平面
C．平面平面
D．四棱锥与的体积之比为
三、填空题
12．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则 ．
13．（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 .
14．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题
15．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体中，E为棱上的动点．
(1)求证：；
(2)若平面平面，求证：E为的中点．
16．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明．
17．（25-26高三上·河北·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，与交于点，与交于点.
(1)证明：；
(2)若，，求三棱锥的体积.
18．在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（25-26高三上·福建宁德·期中）如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，，，，，线段上存在点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为.

(1)求证：平面.
(2)求.
(3)若为的中点，点在平面内，且满足平面，求线段长度的最小值.
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