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专题02 排列
教学目标 1、理解排列、排列数概念，掌握排列数公式； 2、掌握常见的排列数类型及思考方法；
教学重难点 1、重点：排列有关概念、排列数公式、常见排列类型的解法； 2、难点：排列数的计算；
知识点01 排列有关概念
1.排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n且m，n∈N＋)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2.对排列定义的理解
(1)排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
(2)一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．
(3)从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列的顺序不同的排列，都不是同一个排列．
(4)在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
【即学即练】
1.(24-25高二上·全国·课前预习)下列问题是排列问题的是( )
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
【答案】B
【分析】根据排列的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确；
对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误．
故选：B
知识点02 排列数
1.排列数的定义
把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作．
【易错辨析】
“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个正整数；“排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是指具体的排法．
2．排列数公式
排列数公式:=这里，n,m∈N*，并且m≤n.
特殊地：，n∈N*(也称：阶乘)
3.对排列数公式的理解
⑴排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；
第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；
第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；
第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.
因此，由分步乘法计数原理知共有种不同的排法.
⑵排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共有m个因数.
【即学即练】
1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【详解】根据排列数的运算，.
故选：C.
2．（24-25高二下·河南信阳·期末）（ ）
A．0 B．4 C．12 D．24
【答案】D
【详解】.
故选：D.
知识点03 解排列问题的基本思路和方法
　　1. 解排列问题的基本方法
从排列的定义可以看出，元素及元素的排列顺序（即位置）是排列问题的关键，所以解排列问题时，关键是解决好元素（特别是特殊元素）的排列，或位置（特殊位置）排列好了，其它元素（或位置）的排列可采用排列数公式直接求解．通常从以下几种途径考虑：
(1)直接法：即直接从正面入手求解，此时可从元素入手，也可从元素所在位置入手.
①元素分析法：先考虑特殊元素，再考虑其它元素,即特殊元素优先排；
②位置分析法：先考虑特殊位置，再考虑其它位置，即特殊位置优先排.
（2）间接法(排除法)：先不考虑限制条件，计算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数．
2. 解决排列应用题的基本思路
充分认识解决排列应用题的基本思路：
解决有关排列应用题，要注意防止发生一些错误：
（1）没有仔细审题，盲目套用公式和方法；
（2）方法正确，但题目中的一些细节考虑不周，出现重复或遗漏情况，如分类标准不统一；
（3）不能用公式或常用方法解答时，不会用一一列举的方法来解决.
【即学即练】
1. (24-25高二下·江苏苏州·阶段练习)两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( )种．
A．6 B．12 C．60 D．120
【答案】B
【分析】优先考虑特殊位置，先排辅导老师，再排学生即可.
【详解】由题意，2名教师分别站在两侧，则，
再排学生，，则不同的站法共有种.故选：B
2.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为( )
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，即可求解.
【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，这样的数有个，
若五位数的个位不为零，而个位仅有2，4两种选择，万位有3种选择，这样的数有，
所以五位的偶数有.故选：C.
3.(24-25高二下·四川达州·期末)从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可知选出2人并担任不同职务，因此相当于选出两人并按照顺序排列，
所以根据排列数的概念可得：不同的选择方法数为.故选：C
题型01 排列的概念
【典例1】（2025·高二·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（ ）
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地
B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表
D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数
【答案】B
【详解】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意；
对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意；
对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意；
对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意.
故选：B
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
【变式1-1】（2025·高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
【答案】B
【详解】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，
因而不是排列问题，不合题意；
选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，
是排列问题，适合题意；
选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点
即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意；
选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，
这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.
故选：B．
【变式1-2】（2025·高二·全国·课后作业）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】B
【详解】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；
∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；
若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题；
在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题．
故选：B．
题型02 排列数的计算
【典例2】计算：＝________．
【答案】
【详解】方法一　＝＝＝＝.
方法二　＝＝＝.
方法三　＝＝＝＝.
排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据排列数的计算公式进行判断.
【详解】中总共有个数连乘，
故．
故选：A
【变式1-2】(23-24高二下·江苏南京·阶段练习)下列等式成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】A：，故A错误；
B：，，故B正确；
C：，，故C正确；
D：，故D正确；故选：BCD.
【变式1-3】（2025高三·全国·专题练习）（1）化简：．
（2）设，且，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见详解
【分析】（1）将原式化为，结合阶乘定义得，即可得；
（2）由排列数的性质得，将不等式左侧作裂项处理，即可证.
【详解】（1）原式．
（2）因为，
所以，左边，
故原不等式成立．
题型03 排列数方程、不等式
【典例3-1】(24-25高二下·吉林松原·期中)已知，则( )
A．5 B．3 C．4或6 D．4
【答案】D
【分析】利用排列数与组合数的相关公式，化简计算求出即可.
【详解】由，可知，且，化简得：，
解得或，因，故.故选：D.
【典例3-2】(24-25高二下·广东揭阳·阶段练习)满足不等式的的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排列数公式可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的值.
【详解】，可得，
由题意可得且，故或.故选：A.
解含排列数的方程或不等式，要注意排列数中这些限制条件，要注意含排列数的方程中未知数的取值范围.
【变式3-1】(24-25高二下·河北邯郸·阶段练习)已知，则满足不等式的的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】AB
【分析】求出列出不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
即，又，所以或4.故选：AB.
【变式3-2】(23-24高二下·吉林通化·期末)若，则( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据排列数得到方程，求出答案.
【详解】由，得，解得．故选：D．
【变式3-3】(23-24高二下·宁夏吴忠·期中)不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排列数公式化简并求解不等式.
【详解】不等式中，，化为，
整理得，解得，因此，所以不等式的解集是.故选：A
题型04 全排列
【典例4-1】（25-26高三上·福建·阶段练习）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（ ）
A．360 B．400 C．420 D．450
【答案】A
【分析】根据排列公式计算即可.
【详解】个位数字可以是，可得，
故选：A.
【典例4-2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（ ）
A．119 B．120 C．719 D．720
【答案】D
【分析】求六个互不相同的数的全排列即可.
【详解】六个互不相同的数的全排列共有个，
为使行中的任意两行都不重复，则需，故的最大值为720.
故选：D.
对于全排列问题，首先确定问题为排列问题，再利用全排列数公式直接计算.
【变式4-1】(24-25高二下·江苏泰州·期中)由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有个.故选：D
【变式4-2】(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有( )
A．24种 B．16种 C．12种 D．6种
【答案】C
【分析】从四个当中选两个安排在不同日期，意味着有顺序需要用排列解决.
【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有种.故选：.
【变式4-3】(2025·江苏南通·模拟预测)一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取( )
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【分析】根据排列的意义结合排列数的计算，即可得答案.
【详解】由于4个数互不相同，故将这4个数全排列共有种排序方法，
而一个数阵有m行4列，要使任意两行的顺序都不相同，故m的值最大为24，故选：C.
题型05 无限制条件的排列问题
【典例5】(1)上海世博园主题馆设计有5个卡通形象，分别是：“海宝之家”、“活力海宝”、“护林海宝”、“太空海宝”、“海宝教授”，这5个卡通形象分别代表了主题馆的5个场馆，若你随意摆放这5个卡通形象的顺序作为你游览的顺序，试问可有多少种不同的游览方案？
(2)沪宁铁路上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备多少种不同的火车票？
(3)将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有1位和1位售票员，共有多少种分配方案？
【分析】无限制条件的排列问题，只要分清m个元素和n(m≤n)个不同的元素各是什么,一个排列对应的是完成什么事即可.
【详解】(1)个卡通形象随意摆放，应有种摆法，即有120种不同的游览顺序.
(2)对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应与一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应于从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，所有问题归结为求从6个不同元素中每次抽出两个不同元素的排列数=6×5=30种.
(3)需分配司机和售票员两步计数，
第一步：分配司机，有种方法，第二步：分配售票员，有种方法．
根据乘法原理，共有种分配方案．
没有限制条件的排列问题求解策略
没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素，所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和相对位置即可,一般地，涉及的“大数”是元素数,“小数”是位置数.必要时，要明确完成这件事是分类还是分步解决.
【变式5】(1)有一部电影，被安排到4个单位去放映，每个单位放映１场,不同的放映方式有几种
(2)有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招一名新员工，且3名大学生全部被聘用，若不允许兼职，则共有多少种不同的招聘方案（用数字作答）.
(3) 有3张卡片的正反面分别写着1和2、4和5、7和8，当将它们并排组成三位数时，可得到多少个不同的三位数.
【详解】(1)不同放映方式，即4个单位的全排列，故共有种不同的放映方式.
(2))将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有种．
(3)填48.分两步：第一步，确定各张卡片的正反面，又分成三小步，则有种方法；第二步，确定各张卡片所在的位置，即将三张卡片进行全排列，则有种方法，由分步乘法计数原理，则共有.
题型05特殊元素或特殊位置问题
【典例5-1】(多选)(24-25高二上·江西·阶段练习)某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为( )
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】按照乙安排在周一和乙不安排在周一分类讨论求解判断CD，先求出所有的排法，然后排除甲排在周一及乙排在周三的情况求解判断B，先求出周一不安排甲的排法数,再排除乙排在周三的情况求解判断A.
【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法；
若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法．
故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确．
间接法：(1)不管条件限制共有种不同的排法．
当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法；
当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法．
故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确．
(2)从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法，
其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的，
故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确.故选：ABD
【典例5-2】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站右端，也不站左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．
【详解】(1)方法一　(位置分析法)因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有
＝480种站法．
方法二　(元素分析法)因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有
＝480种站法．
方法三　(间接法)在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有
＝480种站法．
(2)方法一　(元素分析法)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有＝48种站法．
方法二　(位置分析法)首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有＝48种站法．
(3)方法一　(间接法)甲在左端的站法有＝504种站法．
方法二　(直接法)从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲站右端有＝504种站法．
【技巧点拨】对于“人站队”问题，由于有顺序，所以是排列问题，又由于安排甲、乙时有限制，所以这又是有限制条件的排列问题，应先考虑特殊元素甲、乙或特殊位置左、右两端，再考虑其他的情况．
特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑：
(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化如图．
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．
【变式5-1】（2025·广东·模拟预测）3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种．
A．36 B．108 C．120 D．144
【答案】D
【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可．
【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种，
所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种，
最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种．
故选：D．
【变式5-2】（25-26高三上·贵州·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ）
A．36种 B．72种 C．60种 D．96种
【答案】B
【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，最后安排戊，由分步乘法计数原理计算即得.
【详解】先安排甲乙，分别在甘肃、贵州两省中人选一处，方法数有种，
然后安排丙丁，在三省中任选两处并考虑顺序，方法数有种，
最后安排戊，在三省中任选一处，方法数有种，
根据分步乘法计数原理，这五人不同的选择共有种.
故选：B
【变式5-3】（25-26高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ．
【答案】
【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种，
若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，
则安排的方法有种，
所以总的方法数有种.
故答案为：
题型06 相邻问题
【典例6-1】(24-25高二下·吉林·阶段练习)甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有( )
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
【答案】C
【分析】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可.
【详解】根据题意，可分成两类情况：
第一类：乙在甲、丙之间，有种；
第二类：乙不在甲、丙之间，有种；
由分类加法计数原理，共有种方案.故选：C
【典例6-2】（2025·高二·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（ ）
A．2880 B．1440 C．720 D．576
【答案】A
【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为.
故选：A.
解决“相邻”问题用“捆绑法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；
(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种；
(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；
(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
【变式6-1】(2025高三·全国·专题练习)将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有( )．
A．576种 B．720种 C．864种 D．900种
【答案】C
【分析】先排列1，3，5，7，再分类排6结合排列数公式列式计算求解.
【详解】 先排1，3，5，7，有种排法；
再排6，根据题意，6不能排在3的两侧，则6有种排法；
最后排2和4，这两个数不能排在6的两侧，则有种排法.
故相邻数字互质的排法共有(种)．故选：C.
【变式6-2】把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答
【答案】50
【详解】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起，然后让4个白球排列后形成5个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种；
第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让4个白球排列后形成5个空位，从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的4个空位选出3个空位放不相邻的红球即可，此时有，所以共有种.
故答案为：50
【变式6-3】现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有
【答案】24
【详解】若甲在第一位，则两个相邻的男生必须站在23位或者45位，此时有,
同理可得甲在第五位，，
因此共有种方法，
故答案位：
题型07 不相邻问题
【典例7-1】(24-25高二下·广东·期中)高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有( )
A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种
【答案】A
【分析】先将4名女同学捆绑在一起看成一个整体并内部排序，再用插空法安排教师和男同学的位置.
【详解】第一步：将3名教师全排，有种排法；
第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；
第三步：将＂捆绑＂的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；
第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，
所以不同的排法种数有：种．故选：A
【典例7-2】(24-25高二下·贵州遵义·阶段练习)某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为( )
A．24 B．48 C．144 D．240
【答案】C
【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解.
【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法，
捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法，
再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法，
综上，共有种放置方式.故选：C
【典例7-3】 现将4名男生3名女生排成一排，按下列要求，各有多少种不同的排法.
(1)男、女生各排在一起；
(2) 3名女生不全排在一起；
(3)男、女生相间；
(4) 3名女生全不排在一起(即女生之间不相邻).
【详解】(1)先将4名男生、3名女生分别看成一个整体，这两个整体元素进行排列，有种排法；
再让男、女生各自在整体内分别排列，分别有和种排法.
故不同排法共有=288种.
(2)“全排在一起”和“不全排在一起”是互斥的，用排除法.
女生全排在一起的情况，把3名女生看成一个整体A，则4名男生和A共有种排法.在整体A内3名女生又有种排法，因而女生全排在一起有种排法.
因此女生不全在一起的排法有=4200种排法.
(3)如图，只有这样，才能使男女生相间.
因此符合条件的不同排法共有=144种.
(4)任何两个女生不相邻，这和“男女生相间”是有区别的.“任何两个女生不相邻”只要求她们之间排有男生，至于排几个男生则无关紧要.如下图，先排无附带条件的男生(圆圈)，4名男生之间及两头有5个空档(图中△)，3名女生只要排在空档位置，都符合任何两个女生不相邻.
因此，先排4名男生，有种；再在5个空档中插入3名女生，有种.故共有=1440种.
解决不相邻问题用“插空法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
(1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有种；
(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种；
(3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数为.
【变式7-1】(24-25高二下·山西·阶段练习)一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为( )
A．24 B．16 C．12 D．8
【答案】B
【分析】先选出中转站，在对南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻进行排序，即可求解.
【详解】第一步：先从3个城市中各选1个仓储点作为中转站，有种选法，
第二步：南京和杭州的仓储点不能相邻，故中间排合肥，南京和杭州的仓储点在两段，排列方式有种，
所以符合条件的仓储点的排列种数为种．故选：B.
【变式7-2】(24-25高二下·陕西咸阳·期末)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【答案】C
【分析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案.
【详解】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，
此时共有种排列方式；
然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列，
在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入，
此时共有种排列方式；
故符合题意的不同排列方式共有(种)，故选：C
【变式7-3】8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ．
【答案】 2903040 725760
【详解】（插空法）8名学生的排列方法有种，隔开了9个空位，
在9个空位中排列2位老师，方法数为，由分步乘法计数原理，
2位老师不相邻总的排法种数为，
2位老师相邻的排法种数为．
故答案为：2903040；725760
题型08 定序问题
【典例8】(1)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
(2)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．这样的排列方法有________种(用数字作答)．
【答案】(1)210　(2)40
【详解】(1)若1，3，5，7的顺序任意，则排法有＝24(种)，而1，3，5，7的顺序一定的排法数占总排法数的，故符合条件的七位数有＝210(个)．
(2)方法一　(整体法)5个元素无约束条件的全排列有
×2＝40(种)．
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有
＝20(种)．
同理，字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法，
因此，满足条件的排列方法有20＋20＝40(种)．
解决“定序”问题用“倍缩法”．有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有
种满足条件的不同排法．
【变式8-1】(多选)(24-25高二下·湖北·期中)2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是( )
A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法
B．两部动画片放映的先后顺序固定(不一定相邻)，一定共有60种排法
C．两部动画片相邻放映，共有48种排法
D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法
【答案】ABC
【分析】由特殊元素优先法即可判断A，由倍缩法即可判断B，由捆绑法即可判断C，由插空法即可判断D.
【详解】对于A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的4部电影全排列，
则有种排法，故A正确；
对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定，
则有种排法，故B正确；
对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列，则有种排法，故C正确；
对于D，先排两部动画片，刚好形成3个空，将三部喜剧电影插入这3个空，
则有种排法；故选：ABC
【变式8-2】《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有(　　)
A．144种 B．288种
C．360种 D．720种
【答案】A
【详解】第1步，将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》之外的四首诗词进行排列，由于《将进酒》排在《望岳》前面，故不同排法有＝12(种)；第2步，排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，由于第1步中的4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，安排方法有＝12(种)．
由分步乘法计数原理知，后六场的排法有12×12＝144(种)．故选A.
题型09 其它排列类型
【典例9-1】(24-25高二下·四川广元·期末)2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有( )个．
A．480 B．600 C．720 D．840
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用倍缩法，排除首位为0的情况即可.
【详解】数字：2，0，2，5，4，2，3中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种，
当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，2，3出现了3次，排列的情况有种，
所以不同的7位数有个.故选：C.
【典例9-2】(24-25高二下·广东江门·期中)中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为( )
A．10 B．20 C．36 D．38
【答案】D
【分析】依题意根算筹可以分为，，三种情况，再分别确定相应的三位数的个数，即可得解.
【详解】依题意，一根算筹只能表示；两根算筹可以表示、，
三根算筹可以表示、，四根算筹可以表示、；
依题意根算筹可以分为，，三种情况：
若为，则有个三位数；
若为，则有个三位数；
若为，则有个三位数；
综上可得一共有个三位数.故选：D
【典例9-3】(多选)(24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是( )
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法
C．将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有720种
D．7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法.
【答案】BCD
【分析】对于A：可以看做从8个人中取2个人的排列；
对于B：先从男生中选1个，再从女生中选1人，进而可得；
对于C：利用捆绑法，先把女生看成一个整体，再与男生排列；
对于D：先排列再把男生的顺序排除.
【详解】对于选项A：从7个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；
对于选项B：从7个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确；
对于选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与4个男生一起排列有种情况，
共有种情况，故C正确；
对于选项D：7名学生排成一排，共有种情况，
已知4名男生已排好，则需要把男生的顺序排除，共有种情况，故D正确；故选：BCD.
【变式9-1】(24-25高二下·河北·期中)科技创新小组有10名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是( )
A．10 B．20 C．45 D．90
【答案】D
【详解】由题意可知，他们发出的微信总数是.故选：D.
【变式9-2】(24-25高二下·湖北·期中)初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】这道题考查的是排列的应用，首先找出小于等于的自然数的平方有哪些，再列出可由哪些平方数(不超过四个)相加而成，最后算出这些数的排列数即可.
【详解】小于等于的自然数的平方有：，而
，
由构成的有序数组的个数为：个；由构成的有序数组的个数为：个；
由构成的有序数组的个数为：个；
所以一共有：个.故选：C.
【变式9-3】(2025高三·全国·专题练习) 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生水，水生木，不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如水克火，木克土，可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有( )
A．960 B．1020 C．2150 D．3125
【答案】B
【分析】问题化为五个区域，有5种不同的颜色供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题．
【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件．
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，如图示，
分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有种涂色方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法，
由分步乘法计数原理，得共有种涂色方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，由不能涂同一种颜色，则涂同一种颜色，或涂同一种颜色，
若涂一种颜色，第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有种涂色方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有4种涂色方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法，
由分步乘法计数原理，得共有种涂色方法．
若涂一种颜色，与涂一种颜色的方法数相同，
所以，第二类共有种涂色方法．
由分类加法计数原理知，不同的涂色方法共有种．故选：B
一、单选题
1．（25-26高二·全国·课后作业）下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数
A．①④ B．①② C．④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据排列的概念逐项进行判断即可.
【详解】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，
由此可判断出：①④是排列问题，
故选：A.
2.(24-25高二下·四川南充·期末)用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是，故选：B.
3．（24-25高二下·吉林·阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
【答案】C
【分析】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可.
【详解】根据题意，可分成两类情况：
第一类：乙在甲、丙之间，有种；
第二类：乙不在甲、丙之间，有种；
由分类加法计数原理，共有种方案.
故选：C
4.（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，8．将这4张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先排四张卡片的顺序，再考虑每张卡片的正反面，由乘法原理得出.
【详解】分两步完成，第一步先排4张卡片的顺序有种；第二步再排每一张卡的正反面有种，所以一共有种结果.
故选：A.
5.(24-25高二下·江苏·期中)毕业前夕，某高中高三(6)班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻(相邻仅包括正前后或左右)，则不同站法种数为( )
A．96 B．84 C．72 D．48
【答案】C
【分析】利用间接法，先直接排序，再分正前后相邻或左右相邻两种情况，结合排列和计数原理知识解决.
【详解】先直接排序，站法种数为；
当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧，
另1人站在正后面，站法种数为；
当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素，
从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列，
所以站法种数为；
所以不同站法种数为.故选：C.
6．（2025·河北唐山·三模）定义双阶乘符号：当是自然数时，表示不超过且与有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：，，则下列选项不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据双阶乘的概念计算判断ACD，根据双阶乘的概念利用对数运算求解判断B.
【详解】由题意知，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：D.
7.(25-26高三上·河北·开学考试)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为( )
A．12 B．18 C．27 D．36
【答案】
【分析】根据题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况，分别求出各种情况的种类数，从而可求解.
【详解】由题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况：
当乙得第4名，有种可能；当乙得第3名，有种可能，
故共有种，故B正确.故选：B.
8.（25-26高三上·湖北·开学考试）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
【答案】D
【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.
【详解】先假设是实线，
则从到，向上次，向右次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故选：D
二、多选题
9. (24-25高二上·江苏无锡·期末)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是( )
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法
C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种
D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法.
【答案】BCD
【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列；
选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得；
选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得；
选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种.
【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；
选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确；
选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，
共有种情况，故C正确；
选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好，
先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况，
再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况，
最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况，
共有种情况，故D正确，故选：BCD
10．（25-26高二上·全国·单元测试）象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．共有120种排列方式
B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式
C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式
D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式
【答案】ACD
【分析】由全排可得A；两个“车”先捆绑，再与其他全排可判断B；先将剩余的3个棋子进行全排列，再两个“马”插空可确定C；将2个黑色的棋子进行全排列，红色棋子插空可得D.
【详解】A对，由排列知识可得共有种排列方式．
B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式，
再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有种排列方式．
C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空，
再将两个“马”插空，故共有种排列方式．
D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空，
故共有种排列方式．
故选：ACD.
11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ）
A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法
B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法
C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】ABD
【分析】根据题意，由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可.
【详解】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体，
与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确；
对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能，
各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确；
对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，
在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误；
对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐”
排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且
课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种，
若课程“御”排在最后一周的排法为种，
课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种，
则满足条件的排法数为种，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12.(24-25高二下·湖北襄阳·期末)某班级有4名男生和2名女生参加一场座谈会，座位安排在一排的6个座位上，要求女生不能坐在最左端和最右端，且任意女生不能相邻，则满足条件的座位安排共有 种．
【答案】144
【详解】根据题意4名男生全排列：，
排好后除了最左端和最右端有3个空，选两个空位安排2名女生进去：，
故满足条件的座位安排共有种.故答案为：144.
13．（24-25高三·上海·课堂例题），则 .
【答案】9
【分析】根据阶乘的性质即可求解.
【详解】
，
所以，故，
14.(2024·辽宁·模拟预测)若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .
【答案】960
【分析】结合韦恩图，根据题意先选择3个元素均分给，，三个位置，在排剩余元素，结合组合数和分步乘法计数原理运算求解.
【详解】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，

则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，
剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；
所以“有序子集列”共有个.故答案为：960.
四、解答题
15．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）求解下列问题：
(1)计算：；
(2)求证：.
(3)解关于的不等式：；
【答案】(1)；
(2)证明见详解；
(3).
【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式；
【详解】（1）；
（2），.
（3）依题意，有，可得，
由，得，即，
整理得，解得，所以，
又，得，所以的解集为.
16.(25-26高二上·全国·单元测试)为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展．若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序．
(1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？
(2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？
【答案】(1)96；(2)48
【分析】(1)根据题意，先排国画，其他全排即可；
(2)根据排列捆绑问题，先把油画和插画捆绑，再进行全排即可.
【详解】(1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则从其余四件艺术作品中选一件排在第一个展出，剩下的四件全排列，则共有种不同的安排方案．
(2)相邻问题利用捆绑法．若要求油画和插画的展出顺序相邻，则将这两件艺术作品捆绑在一起，看作一件作品，再与其余三件艺术作品全排列，
故有种不同的安排方案(注意捆绑的组内还需全排列)．
17．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数．
(1)比20000大的五位偶数共有多少个；
(2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？
(3)能被6整除的五位数有多少个．
【答案】(1)240
(2)352
(3)108
【分析】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可；
（2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案；
（3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可.
【详解】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能，
末位数字必须是0、2或4；
当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果，
当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果，
综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个；
（2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数，
当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数，
当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数，
当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数，
当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数；
则比35214小的五位数有个，故35214是第位；
（3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除，
若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况，
①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个，
②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个，
首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个，
则被整除的五位数有个．
18.(23-24高二下·西藏拉萨·期末)4名男生和3名女生站成一排.
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】(1)2880；(2)960；(3)840
【分析】(1)根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可；
(2)利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男生甲和乙插空即可；(3)7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可.
【详解】(1)分两步，先排甲有种，其余有种，
所以根据分步乘法原理知共有种排法.
(2)分三步：① 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有(种)；
②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人(除去男生甲和男生乙)排列，有(种)；
③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空(共有5个空位置)，有(种)，
所以根据分步乘法原理可知共有(种).
(3)7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法
19.(24-25高三上·福建泉州·期末)将数组的某一个全排列记为，若满足：，能被3整除，则称为的一个“好排列”.例如：的“好排列”共有两个：，.
(1)写出的所有“好排列”；(2)若中“好排列”至少有4个，求的取值范围；
(3)记的“好排列”个数为，证明：.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见详解
【分析】(1)按新定义即可求解；(2)结合新定义分，，讨论即可；
(3)先确定考虑中“好排列”个数，由除以3的余数，共有个1，n个2，n个0；设余数形成的排列，其 “好排列”的最后一个数为1，形如共有个，进而得到，同样求解即可；
【详解】(1)的所有“好排列”为：.
(2)当时，只有2个，不符合要求；
当时，由(1)可知，只有3个“好排列”，不符合要求；
当时，的“好排列”有，，，，至少有4个，符合要求；
当时，的“好排列”至少有，
，，，至少4个，符合要求；
故当时，中“好排列”至少有4个.
(3)(i)考虑中“好排列”个数：
因为是的一个排列，考虑除以3的余数，共有个1，n个2，n个0；
考虑由余数形成的排列，其中为个1，n个2，个0的全排列，为满足“好排列”的条件要求，
排列中每个1的右边必为2，故“好排列”的最后一个数为1，形如；
其中的排法数即为个0与个的排法数，即.
故中“好排列”的个数.
(ii)考虑中“好排列”个数；
因为是的一个排列，考虑除以3的余数，共有个1，个2，n个0；
考虑由余数形成的排列，其中为个1，个2，个0的全排列；
①情况1：中，个1与个2形成个，每个1的右边均为2；
此时为“好排列”的排法数即为个0与个的排法数，
即.故“好排列”的个数有
；
②情况2：最后位置的数为1，则第一位的数必为2，即排列；
其中的排法数即为个0与个的排法数，即.
故“好排列”的个数有.
由①，②可得.
所以
【点睛】关键点点睛：除以3的余数，共有个1，n个2，n个0；通过余数形成的排列要为“好排列”，必须每个1的右边必为2，确定个数，求得
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 排列
教学目标 1、理解排列、排列数概念，掌握排列数公式； 2、掌握常见的排列数类型及思考方法；
教学重难点 1、重点：排列有关概念、排列数公式、常见排列类型的解法； 2、难点：排列数的计算；
知识点01 排列有关概念
1.排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n且m，n∈N＋)个元素，并按照 排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2.对排列定义的理解
(1)排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
(2)一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．
(3)从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列的顺序不同的排列，都不是同一个排列．
(4)在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
【即学即练】
1.(24-25高二上·全国·课前预习)下列问题是排列问题的是( )
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
知识点02 排列数
1.排列数的定义
把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 ．
【易错辨析】
“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个正整数；“排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是指具体的排法．
2．排列数公式
排列数公式:= ，这里n,m∈N*，并且m≤n.
特殊地：，n∈N*(也称：阶乘)
3.对排列数公式的理解
⑴排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；
第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；
第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；
第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.
因此，由分步乘法计数原理知共有种不同的排法.
⑵排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共有m个因数.
【即学即练】
1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．（24-25高二下·河南信阳·期末）（ ）
A．0 B．4 C．12 D．24
知识点03 解排列问题的基本思路和方法
　　1. 解排列问题的基本方法
从排列的定义可以看出，元素及元素的排列顺序（即位置）是排列问题的关键，所以解排列问题时，关键是解决好元素（特别是特殊元素）的排列，或位置（特殊位置）排列好了，其它元素（或位置）的排列可采用排列数公式直接求解．通常从以下几种途径考虑：
(1)直接法：即直接从正面入手求解，此时可从元素入手，也可从元素所在位置入手.
①元素分析法：先考虑特殊元素，再考虑其它元素,即特殊元素优先排；
②位置分析法：先考虑特殊位置，再考虑其它位置，即特殊位置优先排.
（2）间接法(排除法)：先不考虑限制条件，计算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数．
2. 解决排列应用题的基本思路
充分认识解决排列应用题的基本思路：
解决有关排列应用题，要注意防止发生一些错误：
（1）没有仔细审题，盲目套用公式和方法；
（2）方法正确，但题目中的一些细节考虑不周，出现重复或遗漏情况，如分类标准不统一；
（3）不能用公式或常用方法解答时，不会用一一列举的方法来解决.
【即学即练】
1. (24-25高二下·江苏苏州·阶段练习)两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( )种．
A．6 B．12 C．60 D．120
2.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为( )
A．36 B．48 C．60 D．72
3.(24-25高二下·四川达州·期末)从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为( )
A． B． C． D．
题型01 排列的概念
【典例1】（2025·高二·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（ ）
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地
B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表
D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
【变式1-1】（2025·高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
【变式1-2】（2025·高二·全国·课后作业）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
题型02 排列数的计算
【典例2】计算：＝________．
排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】(23-24高二下·江苏南京·阶段练习)下列等式成立的是( )
A． B． C． D．
【变式1-3】（2025高三·全国·专题练习）（1）化简：．
（2）设，且，证明：．
题型03 排列数方程、不等式
【典例3-1】(24-25高二下·吉林松原·期中)已知，则( )
A．5 B．3 C．4或6 D．4
【典例3-2】(24-25高二下·广东揭阳·阶段练习)满足不等式的的值为( )
A． B． C． D．
解含排列数的方程或不等式，要注意排列数中这些限制条件，要注意含排列数的方程中未知数的取值范围.
【变式3-1】(24-25高二下·河北邯郸·阶段练习)已知，则满足不等式的的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-2】(23-24高二下·吉林通化·期末)若，则( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式3-3】(23-24高二下·宁夏吴忠·期中)不等式的解集是( )
A． B． C． D．
题型04 全排列
【典例4-1】（25-26高三上·福建·阶段练习）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（ ）
A．360 B．400 C．420 D．450
【典例4-2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（ ）
A．119 B．120 C．719 D．720
对于全排列问题，首先确定问题为排列问题，再利用全排列数公式直接计算.
【变式4-1】(24-25高二下·江苏泰州·期中)由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【变式4-2】(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有( )
A．24种 B．16种 C．12种 D．6种
【变式4-3】(2025·江苏南通·模拟预测)一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取( )
A．6 B．12 C．24 D．48
题型05 无限制条件的排列问题
【典例5】(1)上海世博园主题馆设计有5个卡通形象，分别是：“海宝之家”、“活力海宝”、“护林海宝”、“太空海宝”、“海宝教授”，这5个卡通形象分别代表了主题馆的5个场馆，若你随意摆放这5个卡通形象的顺序作为你游览的顺序，试问可有多少种不同的游览方案？
(2)沪宁铁路上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备多少种不同的火车票？
(3)将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有1位和1位售票员，共有多少种分配方案？
没有限制条件的排列问题求解策略
没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素，所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和相对位置即可,一般地，涉及的“大数”是元素数,“小数”是位置数.必要时，要明确完成这件事是分类还是分步解决.
【变式5】(1)有一部电影，被安排到4个单位去放映，每个单位放映１场,不同的放映方式有几种
(2)有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招一名新员工，且3名大学生全部被聘用，若不允许兼职，则共有多少种不同的招聘方案（用数字作答）.
(3) 有3张卡片的正反面分别写着1和2、4和5、7和8，当将它们并排组成三位数时，可得到多少个不同的三位数.
题型05特殊元素或特殊位置问题
【典例5-1】(多选)(24-25高二上·江西·阶段练习)某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为( )
A． B． C． D．
【典例5-2】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站右端，也不站左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．
特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑：
(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化如图．
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．
【变式5-1】（2025·广东·模拟预测）3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种．
A．36 B．108 C．120 D．144
【变式5-2】（25-26高三上·贵州·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ）
A．36种 B．72种 C．60种 D．96种
【变式5-3】（25-26高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ．
题型06 相邻问题
【典例6-1】(24-25高二下·吉林·阶段练习)甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有( )
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
【典例6-2】（2025·高二·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（ ）
A．2880 B．1440 C．720 D．576
解决“相邻”问题用“捆绑法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；
(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种；
(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；
(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
【变式6-1】(2025高三·全国·专题练习)将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有( )．
A．576种 B．720种 C．864种 D．900种
【变式6-2】把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答
【变式6-3】现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有
题型07 不相邻问题
【典例7-1】(24-25高二下·广东·期中)高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有( )
A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种
【典例7-2】(24-25高二下·贵州遵义·阶段练习)某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为( )
A．24 B．48 C．144 D．240
【典例7-3】 现将4名男生3名女生排成一排，按下列要求，各有多少种不同的排法.
(1)男、女生各排在一起；
(2) 3名女生不全排在一起；
(3)男、女生相间；
(4) 3名女生全不排在一起(即女生之间不相邻).
解决不相邻问题用“插空法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
(1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有种；
(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种；
(3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数为.
【变式7-1】(24-25高二下·山西·阶段练习)一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为( )
A．24 B．16 C．12 D．8
【变式7-2】(24-25高二下·陕西咸阳·期末)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【变式7-3】8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ．
题型08 定序问题
【典例8】(1)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
(2)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．这样的排列方法有________种(用数字作答)．
解决“定序”问题用“倍缩法”．有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有
种满足条件的不同排法．
【变式8-1】(多选)(24-25高二下·湖北·期中)2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是( )
A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法
B．两部动画片放映的先后顺序固定(不一定相邻)，一定共有60种排法
C．两部动画片相邻放映，共有48种排法
D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法
【变式8-2】《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有(　　)
A．144种 B．288种
C．360种 D．720种
题型09 其它排列类型
【典例9-1】(24-25高二下·四川广元·期末)2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有( )个．
A．480 B．600 C．720 D．840
【典例9-2】(24-25高二下·广东江门·期中)中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为( )
A．10 B．20 C．36 D．38
【典例9-3】(多选)(24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是( )
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法
C．将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有720种
D．7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法.
【变式9-1】(24-25高二下·河北·期中)科技创新小组有10名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是( )
A．10 B．20 C．45 D．90
【答案】D
【详解】由题意可知，他们发出的微信总数是.故选：D.
【变式9-2】(24-25高二下·湖北·期中)初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是( )
A． B． C． D．
【变式9-3】(2025高三·全国·专题练习) 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生水，水生木，不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如水克火，木克土，可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有( )
A．960 B．1020 C．2150 D．3125
一、单选题
1．（25-26高二·全国·课后作业）下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数
A．①④ B．①② C．④ D．①③④
2.(24-25高二下·四川南充·期末)用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A．12 B．24 C．36 D．48
3．（24-25高二下·吉林·阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
4.（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6；7，8．将这4张卡片排成一排，则可构成不同的四位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
5.(24-25高二下·江苏·期中)毕业前夕，某高中高三(6)班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻(相邻仅包括正前后或左右)，则不同站法种数为( )
A．96 B．84 C．72 D．48
6．（2025·河北唐山·三模）定义双阶乘符号：当是自然数时，表示不超过且与有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：，，则下列选项不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7.(25-26高三上·河北·开学考试)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为( )
A．12 B．18 C．27 D．36
8.（25-26高三上·湖北·开学考试）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
二、多选题
9. (24-25高二上·江苏无锡·期末)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是( )
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法
C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种
D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法.
10．（25-26高二上·全国·单元测试）象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．共有120种排列方式
B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式
C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式
D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式
11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ）
A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法
B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法
C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
三、填空题
12.(24-25高二下·湖北襄阳·期末)某班级有4名男生和2名女生参加一场座谈会，座位安排在一排的6个座位上，要求女生不能坐在最左端和最右端，且任意女生不能相邻，则满足条件的座位安排共有 种．
13．（24-25高三·上海·课堂例题），则 .
14.(2024·辽宁·模拟预测)若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .
四、解答题
15．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）求解下列问题：
(1)计算：；
(2)求证：.
(3)解关于的不等式：；
16.(25-26高二上·全国·单元测试)为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展．若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序．
(1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？
(2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？
17．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数．
(1)比20000大的五位偶数共有多少个；
(2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？
(3)能被6整除的五位数有多少个．
18.(23-24高二下·西藏拉萨·期末)4名男生和3名女生站成一排.
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
19.(24-25高三上·福建泉州·期末)将数组的某一个全排列记为，若满足：，能被3整除，则称为的一个“好排列”.例如：的“好排列”共有两个：，.
(1)写出的所有“好排列”；(2)若中“好排列”至少有4个，求的取值范围；
(3)记的“好排列”个数为，证明：.
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