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1.3勾股定理的应用暑假预习同步训练
北师大版2026—2027学年八年级数学上册
一、选择题
1．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（ ）
A． B． C． D．
3．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
5．近年来，内蒙古抢抓低空经济发展机遇，将无人机快递试点、配送网络建设等纳入《内蒙古自治区低空经济高质量发展实施方案（2024-2027年）》．2026年，内蒙古将继续深化无人车、无人机等在行业试点应用．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（ ）
A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米
7．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米．
10．如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______．
11．如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米．
12．如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______．
三、解答题
13．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为崇左市，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．崇左市受台风影响吗？为什么？
14．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为．
(1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度；
解决问题：
(2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由．
15．某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）．
(1)求证：；
(2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？
16．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为．
(1)求此时梯子的顶端距地面的高度．
(2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论．
17．某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，，，，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长3m．
(1)请你帮忙计算出的长度________；
(2)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计）
18．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米．
(1)求外来车辆的平均速度；
(2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明．
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．C
5．A
6．B
7．D
8．A
9．140
10．10
11．
12．
13．解：崇左市受台风影响，理由如下：
如图所示，过点C作于点H，
∵点与直线上两点，的距离分别为和，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴崇左市受台风影响．
14．【详解】（1）解：由题意可得，，，
∴
∵梯子底端沿向外移动，
∴，
∴，
∴．
答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为．
(2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下：
过点作于点，
由题意可得，，，，
∵叉车高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．
15．(1)∵在中，，，，
∴ （）， （），
∴，
∴是直角三角形，．
（2）解：设路线的总长度为，路线的总长度为，
．
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴路线总长度：．
∵，
∴路线更短．
16．【详解】（1）解：∵， ，
∴ ，
答：此时梯子的顶端A距地面的高度为；
(2)梯子底端B外移不是，
理由：由图可知梯子的顶端A沿墙下滑后，
， ，
∴，
∴，
所以梯子底端B外移不是．
17．【详解】（1）解：设m，则m，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：
，
∴，
解得，
即的长度是12m；
（2）解：在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴这片绿地（即四边形）的面积.
18．【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，，
由题意得，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，
速度为，
答：外来车辆的平均速度为；
(2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下：
由题意得，
在中，由勾股定理，得，
由（1）可知，
，
外来车辆到达处所需的时间为．
安保人员的速度为，
安保人员达处所需的时间为，
能成功在处拦截外来车辆．

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