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20.3二次根式的加减暑假预习讲义同步训练
华东师大版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
4．下列是同类二次根式的一组是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
6．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．比较大小： _______(填“”“”或“”)
10．若与最简二次根式能合并，则的值为______．
11．计算：_______________．
12．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，所以与互为“对偶式”．则的“对偶式”是________．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)．
14．计算：
(1)；
(2)
15．已知，求的值．小明是这样解答的：
解：因为，所以
所以，即，所以
所以．
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简：_______________；
(2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”）
(3)若，求的值．
16．【阅读材料】
对于正整数，定义代数式：．
小明发现：通过分母有理化，．
例如：，．
【问题解决】
(1)计算：；
(2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想；
(3)设，则_________．
17．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)求黄金矩形的长；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．
18．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简．
(1)的“对偶式”为__________；
(2)化简：；
(3)已知，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
2．B
3．A
4．B
5．C
6．B
7．C
8．D
9．
10．1
11．
12．
13．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
15．【详解】（1）解：；
（2）解：，
∵
∴
∴
（3）解：
∴
∴
．
16．【详解】（1）解：，


；
(2)
证明：

，
∴猜想成立；
（3）解：根据阅读材料规律，得
，
∴．
17．【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴；
(2)矩形是黄金矩形，
证明：由（1）可知，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴矩形是黄金矩形．
18．【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号，
因此的对偶式为．
（2）解：利用对偶式分母有理化化简：
．
（3）解：设，
，
根据平方差公式计算：，
因此．

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