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20.2.3二次根式的除法暑假预习讲义同步训练
华东师大版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间
4．有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
5．若，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．25
6．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”，“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之积均相等，正中间那个数叫中心数，在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（ ）
2
1 6
M 3
A． B． C． D．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．等式 成立的条件是 （ ）
A． 且 B． C． D．
二、填空题
9．计算：______．
10．等式成立的条件是______．
11．若，则化简________．
12．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则________．
三、解答题
13．计算：
(1)．
(2)（）．
14．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．
(1)若与是关于的和谐二次根式，求；
(2)若与是关于的和谐二次根式，求．
15．如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．
(1)如图1，在网格中有格点，则 ______；
(2)请用无刻度的直尺画出图中中边上的高结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示，且 ______；
(3)如图2，求的面积．
16．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简： ．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
参考答案
1．B
2．C
3．B
4．B
5．C
6．B
7．A
8．C
9．
10．
11．
12．15
13．【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
14．【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式，
∴，
∴；
（2）解：根据题意得，
，
，
，
∴．
15．【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：如图为所求作的线段，
，
，，
．
故答案为：；
（3）解：由（2）知的面积为．
16．【详解】（1）解：已知，，，代入公式：
．
（2）解：已知，对公式变形得：
代入、、：
．
17．【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．【详解】解：类比应用：
（1）根据题意可得：
=；
（2）根据题意可得：
=
=
=
=2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC===；
（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=，
∴FD=EC=AD-AF==，
∴=，
故矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD=，
∴AE=，
在△AED中，
S△AED =，
即，则，
解得DG=，
∴点D到线段AE的距离为.

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