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北京交通大学附属中学2025-2026学年第二学期期末练习高一数学
1.在平面直角坐标系中，角以为始边，为终边上一点，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为
A. B. C. D.
3.如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部含表面，则该圆锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度，如图所示．已知球的半径为，酒杯内壁表面积为设酒杯上部分圆柱的体积为，下部分半球的体积为，则( )
A. B. C. D.
7.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.如图，一个三阶魔方由个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了
A. B. C. D.
9.设函数，若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.若函数的图象上存在不同的两点，，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数：
；；；．
其中与原点关联的所有函数有 个
A. B. C. D.
11.已知复数满足，则的最大值是 ．
12.在中，角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则 ．
13.如图，在菱形中，，，以为直径的半圆与交于点，是半圆上的动点，则 ；的最大值是 ．
14.如图，一个矩形边长为和，绕它的长为的边旋转一周后所得如图的一开口容器下表面密封，四边形是轴截面，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为 ．
15.已知函数，给出下列五个结论：
是偶函数 是函数的一个周期 函数在内是减函数 函数最小值为 函数的对称轴方程为，
其中所有正确结论的序号是 ．
16.在中，为锐角，，．
求；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上的中线长．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.已知向量，，其中，函数的两条相邻的对称轴之间的距离为．
求的值，及函数的单调递增区间；
已知函数的图象是先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位得到的．设实数，若集合中恰有两个元素，求的取值范围．
18.某景区里有一座山，假设山顶在水平地面上的投影为点，小明在点的正西方向的点处，此时他测得山顶的仰角为之后他沿着东偏南的方向前行米后到达点处，此时他测得山顶的仰角为，且点位于点的南偏西方向，，，在同一水平地面上，测量仪器的高度忽略不计．
求山高；
如图，景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，抵达山顶．上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为已知，，，在同一平面内，求山脚下缆车上车点到点的距离计算结果精确到米．参考数据：，，
19.对于函数，，，及实数，若存在，，使得，则称函数与具有“关联”性质．
分别判断下列两组函数是否具有“关联”性质，直接写出结论：
，；，；
，；，；
若与具有“关联”性质，求的取值范围；
已知，为定义在上的奇函数，且满足：
在上，当且仅当时，取得最大值；
对任意，有．
求证：与不具有“关联”性质．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：在中，由正弦定理，
所以
因为，所以．
又，所以，
因为为锐角，所以．
条件：，
因为，是的内角，若为钝角，则，
，不成立，
所以为锐角，即，
由正弦定理得，得，
又，
所以，
设中点为，由余弦定理得：
，
得，
选条件：
由余弦定理，
代入得，判别式，
三角形不存在，不符合要求．
选条件：，，
由余弦定理，解得，，
同条件计算得中线长为

17.【答案】解：
相邻对称轴间距为，，
由，，得到
下面求单调增区间：，
，
单调递增区间：
由题意，
令，
方法一：，解得，
当时，，当时，，当时，，
当时，，
因为集合恰有两个元素，
所以，即．
方法二：因为，所以，
令，使且小于的值从大到小依次为、、
若集合恰有两个元素，
则，解得．
即．

18.【答案】解：解：如图，在中，设，
由题意知，，，且，
由余弦定理，，
代入得，
化简得，即，
解得或，
由“点位于点的南偏西方向”可知，必在的东北方向，
由，点向东位移为米，可得，即，
故只能取，所以山高米．
解：由第问知，山高米．
因为缆车在点处转换坡度，故两段缆车各上升米．
设第一段倾斜角的水平距离为，即，
第二段倾斜角的水平距离为，即，
则有：，，所以，；
因此，山脚下缆车上车点到点的距离为：，
利用常用三角函数值：，，
得，
故山脚下缆车上车点到点的距离为米．

19.【答案】解：，；，；
，
函数与具有“关联”性质，
，；，，
，，
，
函数与不具有“关联”性质；
，，
所以，
则；
证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值，
又为定义在上的奇函数，
故在上，当且仅当时，取得最小值，
由对任意，有，
所以关于点对称，
又，
所以的周期为，
故的值域为，
，，
当时，，；时，，，
若，则，，时有；
当时，，；时，，，
若，则，，，时有；
由于，
所以，
故不存在，，使得，
所以与不具有“关联”性质．
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