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分课时学案
课题 3.1一元二次方程的概念 单元 三 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解一元二次方程的定义,掌握一元二次方程的一般形式,明确的必要性,能准确识别一元二次方程。 2.能将一元二次方程化为一般形式,正确指出二次项、一次项、常数项及对应系数。 3.经历从实际问题抽象为方程模型的过程,提升数学建模、数学抽象与整式运算能力。 4.通过与一元一次方程对比,体会方程知识的内在联系,形成系统的方程认知结构。
重点 1.一元二次方程的概念与一般形式。 2.将方程化为一般形式并准确识别各项系数。
难点 理解并把握的限制条件,以及含参数方程中参数的取值范围判断。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.一元一次方程的定义是什么？ 2.一元一次方程的一般形式是什么？ 情境问题 一个正方形边长增加 后,面积变为 ,求原边长 ,请列出方程。
新知讲解 探究活动一:一元二次方程组的概念 思考：已知一矩形的长为,宽为. 从中挖去一个圆,使剩余部分的面积为原矩形面积的 ,如图所示. 若挖去的圆的半径为,如何列出应满足的方程（其中圆周率取）？ 议一议：方程①中含有几个未知数,未知数的最高次数是多少？ 归纳：如果一个方程只含有一个未知数,经过整理后含未知数的项的最高次数是,那么这样的方程称为一元二次方程 . 一般地,关于的一元二次方程通过整理可以使右边为,它的一般形式是（是常数,）, 其中分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项. 例如,方程 中二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 方法总结: 探究活动二:一元二次方程的概念的应用 例:方程是否为一元二次方程？若是,指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意：可以写成吗？ 做一做：若关于的方程是一元二次方程,求常数应满足的条件. 你的结果与其他同学相同吗？ 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2.若关于x的方程是一元二次方程,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知a是方程的一个根,求的值. 4.把一元二次方程化为一般式,当二次项为3x2时,一次项和常数项分别为( ) A.4x,-1 B.4x,1 C.-4x,-1 D.-4x,1 5.把方程化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. 6.近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元,5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是( ) A.　　　 B. C. D. 8.把一元二次方程化成一般形式是　 　. 9.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支,则可得方程为　 　. 10.一元二次方程化为一般式后为,试求的值的算术平方根. 17.(素养提升题)已知关于的方程. (1)为何值时,此方程是一元一次方程 (2)为何值时,此方程是一元二次方程 并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
作业设计 基础达标: 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D.0 2.将方程化成的形式,则的值分别为( ) A.1,6,10 B.1,－6,－10 C.1,－6,10 D.1,6,－10 3.将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是____,其中,一次项系数是____,常数项是____. 4.若关于的方程的一个解为,则的值为____. 5.当k____时,方程是关于的一元二次方程. 6.某蔬菜种植基地年的蔬菜产量为吨,年的蔬菜产量为吨,设每年蔬菜产量的年平均增长率都为,则年平均增长率应满足的方程为( ) A. B. C. D. 能力提升: 7.中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数. 如果设羊的只数为x,则根据民歌的大意,你能列出的方程是____________. 8.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式. (1)有一个三位数,它的个位数字比十位数字大3,十位数字比百位数字小2,三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20,求这个三位数.(设十位数字为x) (2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为,面积为,求它的两条直角边的长. 9.下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 10.如图,一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540 m2,道路宽度为x m,则题中涉及的等量关系式为( ) A. B. C. D. 11.方程的二次项系数与一次项系数及常数项之积为( ) A.3 B.－ C. D.－9 12.若关于的一元二次方程的常数项为0,则的值等于__ __. 拓展迁移: 13.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步,它的宽比长少步,问它的长与宽各多少步？利用方程思想,设宽的步数为x,则依题意列方程为____. 14.某商店经销的某种商品,每件成本为元,经市场调研,售价为元,可销售件,售价每上涨元,销售量将减少件,如果这种商品全部销售完,那么该商店可盈利元,设这种商品的售价上涨元,根据题意,可列方程为_____. 15.如果方程与方程有且只有一个公共解,求的值.
参考答案：
复习回顾：
1.只含一个未知数、未知数最高次数为 1 的整式方程。
2.。
3.,整理得 。
探究一：
上面问题中涉及的等量关系为：
原矩形的面积 - 挖去的圆面积 = 原矩形面积的 .
根据这个等量关系,可以列出方程
.
移项,整理得
. ①
有一个未知数，未知数的最高次数是1；
探究二：
例：解:将原方程去括号,得.
移项,合并同类项,得,
这是一元二次方程,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是.
做一做：解：移项,得。
方程是一元二次方程，
二次项系数，即。
课堂练习：
1.D;2.A;
3.解:是方程的一个根,∴.
,又,
∴原式.
4.D;
5. 解:,
所以它的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.
6.B;7.;8.;
9. 解:整理,
得,
因为化为一般式后为,
所以,
解得,
,
的值的算术平方根是5.
10. 解:(1)根据一元一次方程的定义可知:
,
解得:,
所以当时,此方程是一元一次方程;
(2)根据一元二次方程的定义可知:,
解得:.
一元二次方程的二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
作业设计：
1.D;2.B;3.;-2;-15;4.-1;5.≠-5；6.B;7. ;
8. 解:(1)因为十位数字为x,则个位数字为x＋3,百位数字为x＋2,
根据题意得：,
化简为；
(2)设其中一条直角边的长为,则另一条直角边的长为,
根据题意得：,
整理得：.
9.C;10.A;11.D;12.-2;13.;14. ;
15. 解:∵两个方程有且只有一个公共解,
,
∵当时两个方程完全相同,故,
,
当时,代入第一个方程可得,解得：.
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