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分课时学案
课题 1.5相似三角形的性质第2课时 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解并掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,能准确区分并规范应用。 2.经历性质推导过程,提升逻辑推理、比例运算与代数转化能力,体会数形结合思想。 3.能解决相似三角形中周长、面积的计算、和差与比值问题,提升综合解题能力。 4.构建完整相似性质体系,强化性质选择意识,培养严谨计算与规范表达习惯。
重点 1.相似三角形周长比、面积比与相似比的数量关系。 2.运用性质进行周长、面积的综合计算。
难点 面积比等于相似比平方的理解与应用,以及复杂图形中面积与线段的转化。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.相似三角形对应线段的比等于什么？ 2.三角形面积公式是什么？ 探究问题 若两个相似三角形相似比为 k,它们的周长比是多少？面积比又会是多少？请大胆猜想。
新知讲解 探究活动一:相似三角形的性质定理2 思考:如图,已知,相似比为,则 的值是多少呢？ 总结归纳： 探究活动二: 相似三角形的性质定理2的应用 例3:如图,在 中,, ,求. 例4:已知与的相似比为,且, 求的面积. 方法总结:
课堂练习 课堂练习 1.如图AC与BD相交于点E,AD∥BC.若AE∶AC=1∶3,则S△AED∶S△CEB为( ) A.1∶9 　 B.1∶4 C.1∶ 　D.1∶ 2.两个相似三角形面积比是4∶9,其中一个三角形的周长为18,则另一个三角形的周长是( ) A.12 B.12或24 C.27 D.12或27 3.若△ABC∽△A'B'C',且=,若△ABC的面积为27 cm2,则△A'B'C'的面积为 　 　. 4.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且==. (1)若DE=6,求BC的长; (2)若△ABC的面积为18,求△ADE的面积. 5.如图,△ABC∽△A'B'C',下列说法正确的是( ) A.∠B=∠C' B.S△ABC=2S△A'B'C' C.AC=4A'C' D.A'B'=6 6.已知△ABC∽△DEF,且△ABC的三边长分别为4,5,6,△DEF的一边长为2,则△DEF的周长为( ) A.7.5 B.6 C.5或6 D.5或6或7.5 7.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积是3 cm2,则四边形BDEC的面积为( ) A.12 cm2 B.9 cm2 C.6 cm2 D.3 cm2 8.如图,在 ABCD中,点E是CD的中点,AE,BC的延长线交于点F.若△ECF的面积为1.则四边形ABCE的面积为　 　. 9.如图,在△ABC中,点F,G在BC上,点E,H分别在AB,AC上,四边形EFGH是矩形,EH=2EF,AD是△ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH的长为 　. 10.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连接EF. (1)求证:EF∥BC; (2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC＝3∶2,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列说法正确的是( ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积是3 cm2,则四边形BDEC的面积为( ) A.12 cm2 B.9 cm2 C.6 cm2 D.3 cm2 3.如图,在△ABC中,D是AB中点,DE∥BC,若△ADE的周长为6,则△ABC的周长为____. 4.已知△ABC∽△DEF,＝,△ABC的周长是12 cm,面积是30 cm2. (1)求△DEF的周长； (2)求△DEF的面积. 能力提升: 5.如图,在△ABC中,AC＝2,BC＝4,D为BC边上的一点,且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为( ) A.2a B.a C.3a D.a 6.一个三角形三边长分别为5,5,6,与它相似的三角形最长边为9,则后一个三角形面积是( ) A.18 B.28 C.27 D.24 7.已知△ABC∽△DEF,S△ABC＝5S△DEF,C△ABC∶C△DEF＝m∶1(注:S表示面积,C表示周长),则的值是( ) A.1 B. C. D.5 8.如图,四边形AOEF是平行四边形,点B为OE的中点,延长FO至点C,使FO＝3OC,连接AB,AC,BC,则S△ABO∶S△AOC∶S△BOC ＝( ) A.6∶2∶1 B.3∶2∶1 C.6∶3∶2 D.4∶3∶2 9.如果两个相似三角形的面积比为k2,周长比为(1－k),那么k＝__ __. 10.如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若＝,则＝__ __. 11.如图,在△ABC和△DEC中,∠A＝∠D,∠BCE＝∠ACD. (1)求证:△ABC∽△DEC； (2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9,BC＝6,求EC的长. 拓展迁移: 12.如图,在 ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,且AF＝2FD. (1)求证:△ABF∽△CEB. (2)若△CEB的面积为9,求 ABCD的面积. 13.如图,已知G,H分别是 ABCD对边AD,BC上的点,直线GH分别交BA和DC的延长线于点E,F. (1)当＝时,求的值. (2)连接BD交EF于点M,求证:MG·ME＝MF·MH.
参考答案：
复习回顾：
1.相似三角形对应线段的比等于相似比。
2.面积＝底×高÷2。
3.猜想:周长比等于k；面积比等于k 。
探究一：
解:,相似比为,
.
如图,分别作边上的高,则.
因此, .
探究二：
例3：解:,
.
又,
.
,即.
,
.
.
例4：解:与的相似比为 ,
,即.
又,
,
.
课堂练习：
1.B;2.D;3.48cm2;
4.解: (1)∵==,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴==,
∵DE=6,
∴BC=9;
(2)∵△ADE∽△ABC,
∴=()2=,
∵△ABC的面积为18,
∴△ADE的面积为8.
5.D;6.D;7.B;8.3;9.24/5;
10. (1)∵DC=AC,CF平分∠ACB,
∴AF=DF.
又∵点E是AB的中点,
∴EF是△ABD的中位线.
∴EF∥BD,即EF∥BC.
(2)由(1)知,EF∥BD,
∴△AEF∽△ABD.
∴=.
又∵点E是AB的中点,
∴=.
∴=.
∴S△AEF=S△ABD.
∴S△ABD-6=S△ABD.
∴S△ABD=8.
课后提升：
1.A;2.B;3.12;
4.解:(1)∵＝,
∴△DEF的周长＝12×＝8(cm).
(2)∵＝,
∴△DEF的面积＝30×（）2＝(cm2).
5.C;6.C;7.C;8.B;9.1/2;
10.1/4;
11. 【解析】(1)∵∠BCE＝∠ACD,
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE,
∴∠DCE＝∠ACB,
又∵∠A＝∠D,∴△ABC∽△DEC；
(2)∵△ABC∽△DEC,
∴＝（）2＝,
又∵BC＝6,∴CE＝9.∴EC的长为9.
12. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A＝∠C,AB∥CD,∴∠ABF＝∠E,
　∴△ABF∽△CEB.
(2)∵AF＝2FD,∴AD＝3FD,
∴DF∶BC＝1∶3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,AD＝BC,
∴△ABF∽△DEF,△CEB∽△DEF,
∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2,S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2,
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,
∴△ABF的面积为4,
∴ ABCD的面积＝9-1＋4＝12.
13. 【解析】(1)∵＝,∴＝.
∵在 ABCD中,AD∥BC,
∴△CFH∽△DFG,∴＝()2＝.
∴＝.
(2)∵在 ABCD中,AD∥BC,∴＝.
∵在 ABCD中,AB∥CD,
∴＝,∴＝.
∴MG·ME＝MF·MH.
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