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课题名称：1.5相似三角形的性质第2课时
第一章 图形的相似
初中数学
学习目标
经历性质推导过程,提升逻辑推理、比例运算与代数转化能力,体会数形结合思想。
02
理解并掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,能准确区分并规范应用。
01
能解决相似三角形中周长、面积的计算、和差与比值问题,提升综合解题能力。
03
构建完整相似性质体系,强化性质选择意识,培养严谨计算与规范表达习惯。
04
复习回顾
1.相似三角形对应线段的比等于什么？
2.三角形面积公式是什么？
1.相似三角形对应线段的比等于相似比。
2.面积＝底×高÷2。
情景问题
猜想:周长比等于；面积比等于。
若两个相似三角形相似比为 ,它们的周长比是多少？面积比又会是多少？请大胆猜想。
探究新知
探究一：相似三角形的性质定理2
解:,相似比为,
.
如图,分别作边上的高,则.
因此, .
思考:如图,已知,相似比为,则 的值是多少呢？
探究新知
总结归纳：
由此得到相似三角形的性质定理2:
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
1.推导依据:利用三角形面积公式与对应高的比等于相似比。
2.核心结论:相似三角形面积比等于相似比的平方。
3.推理关键:将面积比转化为底的比与高的比的乘积,体现转化思想。
探究新知
探究二：相似三角形的性质定理2的应用
解:, .
又, .
,即.
,..
例3:如图,在 中,, ,求.
探究新知
探究二：相似三角形的性质定理2的应用
解:与的相似比为 ,
,即.
又,
,.
例4:已知与的相似比为,且, 求的面积.
探究新知
方法总结：
1.解题步骤:先定相似比→再判比类型→周长用相似比、面积用平方比→列方程求解。
2.常用模型:A 型图、8 型图中利用面积差求总面积。
3.技巧:已知面积比先开方得相似比,已知相似比先平方得面积比。
课堂练习
1.如图与相交于点,.若,则为( )
A. 　 B. C. 　D.
2.两个相似三角形面积比是,其中一个三角形的周长为,则另一个三角形的周长是( )
A.12 B.12或24 C.27 D.12或27
3.若且,若的面积为,则的面积为 　 　.
B
D
课堂练习
解: (1),,
,,
,;
4.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且==.
(1)若DE=6,求BC的长;
(2)若△ABC的面积为18,求△ADE的面积.
课堂练习
4.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且==.
(1)若DE=6,求BC的长;
(2)若△ABC的面积为18,求△ADE的面积.
解: (2),
,
的面积为,
的面积为.
课堂练习
5.如图,下列说法正确的是( )
A.∠B=∠C’ B.S△ABC=2S△A'B'C' C.AC=4A’C’ D.A’B’=6
6.已知△ABC∽△DEF,且△ABC的三边长分别为4,5,6,△DEF的一边长为2,则△DEF的周长为( )
A.7.5 B.6 C.5或6 D.5或6或7.5
7.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积是3 cm2,则四边形BDEC的面积为( )
A.12 cm2 B.9 cm2 C.6 cm2 D.3 cm2
D
D
B
课堂练习
8.如图,在中,点E是CD的中点,AE,BC的延长线交于点F.若△ECF的面积为1.则四边形ABCE的面积为　 　.
9.如图,在中,点在上,点分别在上,四边形是矩形,,是的高,,那么的长为　 .
3
课堂练习
解:(1)∵DC=AC,CF平分∠ACB,
∴AF=DF.
又∵点E是AB的中点,
∴EF是△ABD的中位线.
∴EF∥BD,即EF∥BC.
10.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC;
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
课堂练习
解:(2)由(1)知,EF∥BD,
∴△AEF∽△ABD.
∴=.
又∵点E是AB的中点,
∴=.
∴=.
∴S△AEF=S△ABD.
∴S△ABD-6=S△ABD.
∴S△ABD=8.
课堂小结
知识点：
1.相似三角形周长的比等于相似比。
2.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.由面积比求相似比:将面积比开平方。
4.由相似比求面积比:将相似比平方。
5.解题时先判断所求为周长比还是面积比,再选择对应性质。
6.综合问题中常用方程思想解决面积和、面积差、周长和差问题。
7.所有性质均以对应为前提,必须找准对应边与对应图形。
知识梳理
课后提升
1.如图,,与的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积是3 cm2,则四边形BDEC的面积为( )
A.12 cm2 B.9 cm2 C.6 cm2 D.3 cm2
3.如图,在△ABC中,D是AB中点,DE∥BC,若△ADE的周长为6,
则△ABC的周长为____.
基础作业：
A
B
12
课后提升
基础作业：
4.已知,的周长是,面积是.
(1)求的周长；
(2)求的面积.
解:(1),
的周长.
(2),
的面积
5.如图,在中,,为边上的一点,且.若的面积为,则的面积为( )
A. B. C. D.
6.一个三角形三边长分别为,与它相似的三角形最长边为,则后一个三角形面积是( )
A.18 B.28 C.27 D.24
7.已知,,(注:S表示面积,C表示周长),则的值是( )
A.1 B. C. D.5
课后提升
能力提升：
C
C
C
课后提升
提升作业：
8.如图,四边形是平行四边形,点为的中点,延长至点,使,连接,则S△ABO∶S△AOC∶S△BOC ＝( )
A.6∶2∶1 B.3∶2∶1
C.6∶3∶2 D.4∶3∶2
9.如果两个相似三角形的面积比为k2,周长比为(1－k),那么k＝____.

10.如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若,则____.
B
课后提升
提升作业：
11.如图,在和中,.
(1)求证:；
(2)若,求EC的长.
解:(1),
,
,
又,
；
课后提升
提升作业：
11.如图,在和中,.
(1)求证:；
(2)若,求EC的长.
解:(2),
,
又.
的长为.
课后提升
拓展作业：
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A＝∠C,AB∥CD,
∴∠ABF＝∠E,
∴△ABF∽△CEB.
12.如图,在中,是的延长线上一点,与交于点,且.
(1)求证:.
(2)若的面积为,求的面积.
课后提升
拓展作业：
解:(2)∵AF＝2FD,∴AD＝3FD,
∴DF∶BC＝1∶3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,AD＝BC,
∴△ABF∽△DEF,△CEB∽△DEF,
∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2,S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2,
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,
∴△ABF的面积为4,
∴ ABCD的面积＝9-1＋4＝12.
课后提升
拓展作业：
解:(1),.
在中,,,
..
13.如图,已知分别是对边上的点,直线分别交和的延长线于点.
(1)当时,求的值.
(2)连接交于点,求证:.
课后提升
拓展作业：
(2)在中,,.
在中,,
,
.
.
Thanks!
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