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山东省泰安市东平县2025-2026学年下学期期末质量检测七年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a＜b,则下列各式一定成立的是（　　）
A. a-5＞b-5 B. -5a＜-5b C. 5a-1＞5b-1 D. a+5＜b+5
2.如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，分别从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件的布袋是（）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（　　）
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 10cm
5.下列语句中，真命题是( )
A. 若，则
B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C. 是的平方根
D. 相等的两个角是对顶角
6.如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7.方程组的解x与-y的值相等，则k=（　　）
A. 15或-15 B. 25 C. 35 D. -35
8.太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.俞老师开在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么他随机选择一条车道，选中左转车道的概率是 ．
12.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若BD=3，CD=5，则AC= .
13.在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中（a，b为常数）．例如，当，且时，．若，当 ．
14.关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围 ．
15.学校将要举办趣味运动会，规则如下：如图，在线上摆满沙包，学生从点出发，跑到线上任意一点拿到沙包，再将沙包运送到线上任意一点即为完成一次比赛．已知，长度足够，两条线夹角，小明发现该比赛存在一条最短路径，请计算，若小明沿最短路径完成比赛，他至少需要跑 ．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
(1) 解方程组：
①； ②；
(2) 求不等式的解集并在数轴上表示出来；
(3) 解不等式组：
17.(本小题8分)
如图，在中，点D为上一点，且，点E为外一点，且，连接当时，判断与的数量关系，并说明理由．
18.(本小题8分)
某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：
抽取的彩色弹力球数
优等品频数
优等品频率
(1) 这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是 ；（精确到）
(2) 从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率；
(3) 现向第（2）问所说的袋子中放入若干个黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求放入了多少个黄球？
19.(本小题10分)
在小轩房间中有一个长方体衣柜和书柜，现需要购买一款扫地机器人，使其能顺利从入口处进入活动区进行清扫请根据以下信息解决问题：
房间示意图及相关尺寸说明 相关尺寸说明：房间的平面图为长方形，其中，；衣柜底面为长方形，其中，；书柜底面为长方形，其中，．
扫地机器人相关信息 某型号扫地机器人的底面是直径为的圆形，当扫地机器人从入口进入活动区域时，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为．
请通过计算说明，该型号的扫地机器人能否顺利地从入口处进入活动区．
20.(本小题12分)
近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件：B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1) 求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2) 该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？
(3) 要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？
21.(本小题10分)
如图，在中，点、在边上，点、分别在边、上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：，（已知）
① ，（② ）
（③ ）
，（已知）
．（④ ）
．（⑤ ）
．
22.(本小题12分)
【活动回顾】七年级下册教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】
(1) 如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是 ；
(2) 如图，观察图象，两条直线的交点坐标为 ，方程的解是 ；不等式的解是 ．
(3) 【拓展延伸】
如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点C．
①求点，的坐标；
②若点是直线上点右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围．
23.(本小题14分)
【问题情境】
在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，．
【探究发现】
(1) 如图Ⅰ，若点E在线段上．
①求证：；
②写出与间的数量关系并说明理由；
(2) 如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明；
(3) 【拓广延伸】如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】8
13.【答案】 /
14.【答案】 /
15.【答案】

16.【答案】【小题1】
解：①，
方程方程得，，
解得，
将代入得，，
解得，
∴原方程组的解为；
②，
整理得，
整理，两边同乘得，
方程方程得，，
解得，
将代入得，，
解得，
∴原方程组的解为；
【小题2】
解：，
，
，
，
，
；
在数轴上表示解集为
【小题3】
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．

17.【答案】解：与的数量关系是：，理由如下：
，
，
在和中，
，
，
，
即．

18.【答案】【小题1】

【小题2】
解：袋子中球的总数量为个，
摸出黄球的概率为；
【小题3】
解：设放入个黄球，则此时黄球数量变为个，总球数为个．
根据题意列方程：
解得．
答：放入了12个黄球

19.【答案】解：如图：，，
由勾股定理得，，
扫地机器人的底面是直径为的圆形，扫地机器人的边缘距离点和点的安全距离均至少为，
，
，
该型号的扫地机器人能顺利地从入口处进入活动区．

20.【答案】【小题1】
解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．
，解得
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
【小题2】
解：设购进A型台，B型（10－）台，
由题意得，，
解得，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
【小题3】
解：设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人．
由题意得，
解得，
由（2）得
∴
又∵是整数
∴＝5或6或7
答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台．
21.【答案】
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
同角的补角相等
内错角相等，两直线平行
22.【答案】【小题1】

【小题2】



【小题3】
解：①联立方程组，
解得，
∴，
当时，，
，
；
②当点在点右侧，即时，如图所示：
此时，
，
，解得，
；

23.【答案】【小题1】
①证明：是等边三角形，
，．
又∵，
即．
又，
．
②解：，理由如下：
是等边三角形，
∴，
∵平分
∴
∵
∴
∴
即
∴；
【小题2】
解：（1）中与间的数量关系成立，理由如下：
是等边三角形，
，．
又∵，
即．
又，
．
平分，
．
．
．
【小题3】
解：在和中，
∴．
．
，，
．
，
．
．
，
．

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