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分课时学案
课题 1.5相似三角形的性质第1课时 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比,归纳得出对应线段的比等于相似比的核心性质,能规范表述与应用。 2.经历性质的猜想、证明、归纳过程,提升逻辑推理、几何表达与知识迁移能力。 3.能在几何图形与实际问题中识别对应线段,运用性质进行计算与证明。 4.体会从特殊到一般、转化与类比的数学思想,完善相似三角形知识体系。
重点 1.相似三角形对应线段的比等于相似比的性质理解与推导。 2.运用性质解决对应线段长度计算与证明问题。
难点 “用相似证明相似”的推理链条构建与复杂图形中对应线段的准确识别。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.相似三角形最核心的两个性质是什么？ 2.相似比指的是哪两组线段的比？ 探究问题 相似三角形对应边成比例,那么三角形中三条重要线段——高、中线、角平分线,它们的比是否也等于相似比？请提出你的猜想。
新知讲解 探究活动一:相似三角形对应高的比 前面已经知道,相似三角形对应边的比等于相似比,那么相似三角形对应边上的高(中线)、对应的角平分线等对应线段的比是否也等于相似比？相似三角形面积的比与相似比之间又有什么关系呢？下面我们来分别进行研究. 思考:如图,已知,AH,A’H’分别为对应边BC,B’C’上的高,那么吗？ 例1:如图,已知,,.点在一条直线上,点也在一条直线上.若与的距离是,求点到直线的距离. 总结归纳： 探究活动二:相似三角形对应角平分线的比 例2如图,已知,分别为,的角平分线.求证:. 方法总结: 探究活动三:相似三角形对应角中线的比 议一议:已知,若分别为的中线,则成立吗？由此你能得出什么结论？ 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1．下列有关相似三角形的性质，正确的是( ) A．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们对应角平分线的比为16∶81 B．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们的对应高的比为4∶9 C．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们的面积的比为2∶3 D．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们对应中线的比为2∶3 2.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是( ) A.2∶3 B.4∶9 C.16∶81 D.∶ 3.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,连接CE,CF交对角线BD于点M,N,连接EF,则BM∶EF=( ) A.1∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶2 4.已知△ABC∽△A'B'C'且相似比为,△A'B'C'∽△A″B″C″且相似比为,则△ABC与△A″B″C″的对应角平分线比为(　　) A.B.C.D. 5．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A，B，C分别与A1，B1，C1对应，AC＝12，A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1为____. 6.如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,点M,N分别是BC,EF的中点,则AM∶DN=　 　. 7.如图,某校宣传栏后面2 m处种了一排树,每隔2 m一棵,共种了6棵,小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处,正好看到这排树两端的树干,其余的4棵均被挡住,那么宣传栏的长为　 　m.(不计宣传栏的厚度) 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D ，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.若AC＝3，AB＝5，求DE∶DF的值． 9.如图,已知△ABC∽△ACD,AC=6,AD=4,CD=2AD,求BD和BC的长.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
作业设计 基础达标: 1.如图，△ABO∽△CDO，若AB＝6，CD＝2，则CD边上的高与AB边上的高之比是(　 　) A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1 2.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　 　) A. B. C. D. 3.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3:1，则对应角平分线之比为(　 　) A．9:1 B．6:1 C．3:1 D.:1 4.如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(　 　) A．15 B．20 C．25 D．30 5.(1)相似三角形对应高的比等于________． (2)相似三角形对应的角平分线的比等于________． (3)相似三角形对应边上的中线的比等于________． 6.如图，已知在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E, CM，FN分别平分∠ACB，∠DFE.若＝，AB＝6，则DE的长为________． 能力提升: 7.如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列表达式中成立的是(　 　)　 A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2 8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为(　 　) A．25 B．30 C．35 D．40 9.顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是( ) A.1∶4 B.1∶3 C.2∶1 D.1∶2 10.已知D,E分别是△ABC中的AB,AC边上的点,DE∥BC,且AD∶BD=4∶5,那么△ADE与△ABC对应高的比是( ) A. B. C. D. 11.如果两个相似三角形的两条对应边长分别是20 cm和25 cm，其中一个三角形最大内角的平分线长是12 cm，那么另一个三角形对应角的平分线长是____________cm. 12.如图，矩形EFGH内接于△ABC ，且边FG落在BC上，若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，则EH的长为___________. 拓展迁移: 13.如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC，△ADE的中线．已知AD∶DB＝4∶3，EG＝4，求CF的长． 14.如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，求证:＝k.
参考答案：
复习回顾
1.对应角相等,对应边成比例。
2.相似三角形对应边的比叫做相似比。
3.猜想:相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。
探究一：
因为,所以.
又,
因此.
所以.
类似地,我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
例1：解：因为,所以.
如图,过点作,交的延长线于点.
设交的延长线于点,
因此.
由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得,
.
又,
于是,
因此.
即点到直线的距离为.
探究二：
例2：证明:因为,
所以.
又分别为对应角的平分线,
于是,
因此,
所以.
探究三：
如图,由可得,.
又,则,于是,
从而,所以.
课堂练习：
1.B;2.A;3C.;4.B;5.4;6.1:2;7.6;
8. 解:∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝4，∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，
∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴＝＝.
9. 解:∵AD=4,CD=2AD,∴CD=8,
∵△ABC∽△ACD,∴==,即==,
解得:AB=9,BC=12,
∴BD=AB-AD=5.
作业设计：
1.B;2.A;3.C;4.B;5. 相似比 相似比 相似比;6.9;
7.A;8.C;9.D;10.D;11. 15或9.6;12.3/2;
13. 解:∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7.
又∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，
∴＝，∴＝，
∴CF＝7.
14. 证明:∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝＝＝k，∠B＝∠B′.
又∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，
∴＝＝. ∴＝.
又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.
∴＝＝k.
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