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课题名称：1.5相似三角形的性质第1课时
第一章 图形的相似
初中数学
学习目标
经历性质的猜想、证明、归纳过程,提升逻辑推理、几何表达与知识迁移能力。
02
理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比,归纳得出对应线段的比等于相似比的核心性质,能规范表述与应用。
01
能在几何图形与实际问题中识别对应线段,运用性质进行计算与证明。
03
体会从特殊到一般、转化与类比的数学思想,完善相似三角形知识体系。
04
复习回顾
1.相似三角形最核心的两个性质是什么？
2.相似比指的是哪两组线段的比？
3.相似三角形对应边成比例,那么三角形中三条重要线段——高、中线、角平分线,它们的比是否也等于相似比？请提出你的猜想。
1.对应角相等,对应边成比例。
2.相似三角形对应边的比叫做相似比。
3.猜想:相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。
探究新知
探究一：相似三角形对应高的比
前面已经知道,相似三角形对应边的比等于相似比,那么相似三角形对应边上的高(中线)、对应的角平分线等对应线段的比是否也等于相似比？相似三角形面积的比与相似比之间又有什么关系呢？下面我们来分别进行研究.
思考:如图,已知,分别为对应边上的高,那么吗？
探究新知
探究一：相似三角形对应高的比
因为,所以.
又,
因此.
所以.
类似地,我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
由此得到,相似三角形对应边上的高的比等于相似比.
探究新知
探究一：相似三角形对应高的比
例1:如图,已知,,.点在一条直线上,点也在一条直线上.若与的距离是,求点到直线的距离.
解:因为,所以.
如图,过点作,交的延长线于点.
设交的延长线于点,
因此.
由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得,.
探究新知
探究一：相似三角形对应高的比
例1:如图,已知,,.点在一条直线上,点也在一条直线上.若与的距离是,求点到直线的距离.
解:又,
于是,
因此.
即点到直线的距离为.
探究新知
方法总结：
1.证明思路:利用相似得角相等，结合直角条件，再证小三角形相似，推出对应高成比例。
2.核心结论:相似三角形对应高的比等于相似比。
3.应用要点:找准对应边与对应高，依据性质列比例式求解长度。
探究新知
探究二：相似三角形对应角平分线的比
证明:因为,
所以.
又分别为对应角的平分线,
于是,
因此,
所以.
例2如图,已知,分别为,的角平分线.求证:.
探究新知
总结归纳：
类似地,我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比.
由此得到,相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
探究新知
方法总结：
1.证明思路:由原三角形相似得角相等，结合角平分线分得等角，证小三角形相似。
2.核心结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
3.关键技巧:抓住角平分线分得的角为原角一半，构造相似条件。
探究新知
探究三：相似三角形对应角中线的比
议一议:已知,若分别为的中线,则成立吗？由此你能得出什么结论？
如图,由可得,.
又,则,于是,
从而,所以.
探究新知
总结归纳：
类似地,我们可以得到另外两组对应边上的中线的比也等于相似比.
由此得到,相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
综上所述,可得相似三角形的性质定理1:相似三角形对应线段的比等于相似比.
探究新知
方法总结：
1.证明思路:利用中线将边平分，结合相似比例，证含中线的小三角形相似。
2.核心结论:相似三角形对应中线的比等于相似比。
3.统一归纳:相似三角形所有对应线段的比都等于相似比。
课堂练习
1.下列有关相似三角形的性质,正确的是( )
A.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们对应角平分线的比为16:81
B.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们的对应高的比为4:9
C.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们的面积的比为2:3
D.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们对应中线的比为2:3
2.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2:3,那么它们的对应边之比是( )
A.2:3 B.4:9 C.16:81 D.
B
A
课堂练习
3.如图,在菱形中,分别是边的中点,连接交对角线于点,连接,则=( )
A.1:1 B.1:2 C.2:3 D.3:2
4.已知且相似比为,且相似比为,则与的对应角平分线比为(　)
A. B. C. D.
5.已知,顶点分别与对应,,,的高为,那么的高为____.
C
B
4
课堂练习
6.如图,已知,点分别是的中点,则=　 　.
7.如图,某校宣传栏后面处种了一排树,每隔一棵,共种了棵,小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离处,正好看到这排树两端的树干,其余的棵均被挡住,那么宣传栏的长为　 　.(不计宣传栏的厚度)
课堂练习
解:于点,
,
,
,,
于点,于点,
.
8.如图,在中,于点 ,于点,于点.若,求的值.
课堂练习
解:,
,
,
,即,
解得:,
.
9.如图,已知,,求和的长.
课堂小结
知识点：
1.相似三角形对应高的比等于相似比。
2.相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
3.相似三角形对应中线的比等于相似比。
4.统一性质:相似三角形对应线段的比等于相似比。
5.证明方法:通过 “相似→角相等→再证小三角形相似” 推导。
6.应用步骤:确定相似关系→找准对应线段→依据性质列比例→计算求解。
7.思想方法:类比思想、转化思想、从特殊到一般。
知识梳理
课后提升
1.如图,,若,则边上的高与边上的高之比是(　 )
A. B. C. D.
2.已知,若与的相似比为,则与对应中线的比为(　 )
A. B. C. D.
3.若两个相似三角形对应边上的高线之比为,则对应角平分线之比为(　 )
A. B. C. D.
基础作业：
B
A
C
课后提升
4.如图,在中,,高,正方形的一边在上,点分别在上,交于点,则的长为(　)
A.15 B.20 C.25 D.30
5.(1)相似三角形对应高的比等于________.
(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________.
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________.
6.如图,已知在与中,, 分别平分,.若,,则的长为________.
基础作业：
B
相似比
相似比
相似比
9
课后提升
7.如图,在中,分别是边上的中线,且,垂足为点,设,则下列表达式中成立的是(　 　)　
A.B.C.D.
8.如图,在矩形中,,点在边上,和交于点,若,则图中阴影部分的面积为(　 　)
A.25 B.30 C.35 D.40
9.顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是( )
A.1:4 B.1:3 C.2:1 D.1:2
能力提升：
C
A
D
课后提升
能力提升：
15或9.6
D
10.已知分别是中的边上的点,,且,那么与对应高的比是( )
A. B. C. D.
11.如果两个相似三角形的两条对应边长分别是和,其中一个三角形最大内角的平分线长是,那么另一个三角形对应角的平分线长是____________.
12.如图,矩形内接于,且边落在上,
若,则的长为___________.
课后提升
拓展作业：
解:,.
又,.
分别是与的中线,
,,
.
13.如图,在中,分别是的边上的点,分别是的中线.已知,求的长.
课后提升
拓展作业：
证明:
.
又分别是边上的中线,
. .
又,.
.
14.如图,相似比为,分别是边上的中线,求证:.
课后提升
拓展作业：
证明:
.
又分别是边上的中线,
. .
又,.
.
14.如图,相似比为,分别是边上的中线,求证:.
Thanks!
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