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课题名称：1.4相似三角形的判定第4课时
第一章 图形的相似
初中数学
学习目标
经历定理猜想、证明与应用过程,提升逻辑推理、边长计算、比例化简与几何表达能力;
02
理解并掌握三边成比例的两个三角形相似的判定定理,掌握直角三角形相似的特殊判定方法,能规范书写推理过程;
01
能根据题目条件灵活选择最优判定方法,解决综合判定、证明与计算问题;
03
整合相似三角形全部判定方法,构建完整知识体系,体会类比与归纳思想.
04
复习回顾
1.已学的相似三角形判定方法有哪些？
2.全等三角形中只和边有关的判定定理是什么？
1.平行截相似、两角分别相等、两边成比例且夹角相等。
2.(三边分别相等)。
情景问题
猜想:三边对应成比例的两个三角形相似；
依据:三角形具有稳定性,三边比例确定则形状固定,对应角必相等。
类比全等判定,猜想:三条边满足什么关系时,两个三角形一定相似？请说明依据。
探究新知
探究一：相似三角形的判定定理3
从前面两个相似三角形判定定理的证明受到启发,若能在中用平行于边的直线截得,使它与全等,则.
由此猜测:三边成比例的两个三角形相似.
思考:如图,已知,然后作一个,使的各边与的各边对应成比例,即满足(常数).
与相似吗？为什么？
探究新知
探究一：相似三角形的判定定理3
下面我们来证明上述猜测成立.
如图,在的边上取一点,使.
过点作,交于点.
因为,所以,
从而.又,,
于是.因此,,
从而,因此.故.
我们将上述猜测称为相似三角形的判定定理3.
探究新知
方法总结：
1.证明思路:构造平行线→得相似三角形→证全等→传递相似关系。
2.核心结论:三边对应成比例的两个三角形相似。
3.关键操作:先按大小排序，再计算三组对应边比值，比值相等即可判定;
4.符号语言:.
探究新知
探究二：相似三角形的判定定理3的应用
证明:设,则.
由勾股定理,得,
所以,从而.
因此(三边成比例的两个三角形相似).
例6:如图,在和中,.求证:.
探究新知
探究二：相似三角形的判定定理3的应用
解:在中,,
在中,.
因为,,
所以.
因此.
例7:判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由.
探究新知
方法总结：
1.直角三角形相似判定：斜边与一条直角边成比例，两直角三角形相似。
2.通用解题步骤：排序→算比→验等→判定。
3.选择策略：边齐全用三边判定；有角有边用两边夹角；只有角用两角相等。
4.易错提醒：必须是对应边成比例，非对应边不可直接判定。
课堂练习
1.已知△ABC三边长是,,2,与相似的三角形三边长可能是( )
A.1,, B.1,, C.1,, D.1,,
2.一个三角形木架三边长分别是75cm,100cm,120cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
A
B
课堂练习
证明:点分别是的中点,
是的中位线,
,
,
.
3.如图,在中,点分别是的中点,求证:.
课堂练习
4.如果一个直角三角形的两条边分别是和,另一个与它相似的直角三角形边长分别是及,那么x的值( )
A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.无数个
5.在和中,,下列条件不能判定它们相似的是( )
A. B. C.
D.中有两边长为有两边长为
B
D
课堂练习
6.如图,在中,点分别在边上,则在下列五个条件中:
;;;;
,能满足的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
课堂练习
7.如图,从点发出的一束光,经x轴反射,过点,则这束光从点A到点B所经过的路径的长为　　.
8.如图,在中,是边上的一点,且,连接并取的中点,连接,若,且,则的长为　 　.
课堂练习
解:(1)四边形是正方形,
,
,
又,,
,;
9.如图,正方形中,为上一点,是的中点,,垂足为,交的延长线于点,交于点.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
课堂练习
(2),
,
是的中点,,
,
,即,
,.
课堂小结
知识点：
1.三边成比例判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。
2.直角三角形相似判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
3.判定步骤：将三角形三边按大小排序，计算对应比值，比值相等即成比例。
4.相似判定方法汇总：平行判定、两角相等、两边夹角相等、三边成比例。
5.方法选择技巧：边多用三边，角多用两角，边角混合用两边夹角。
6.书写规范：注明判定依据，对应顶点写在对应位置。
7.核心思想：类比思想、转化思想、模型思想。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.已知△ABC三边长是,,,与相似的三角形三边长可能是( )
A.1,, B.1,, C.1,, D.1,,
2.甲三角形的三边长分别为,乙三角形的三边长分别为,则这两个三角形( )
A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.无法判断是否相似
3.在中,,在中,,当＝____时,.
A
C
2
课后提升
基础作业：
4.判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由.
解:.
理由如下:,
,
.
课后提升
5.下列两个三角形不相似的是( )
A.一个三角形的两个角分别是；另一个三角形的两个角分别是;
B.一个三角形的三边长分别是；另一个三角形的三边长分别是;
C.一个三角形的两边长分别是和,夹角是；另一个三角形的两边长分别是和,夹角是;
D.各有一个角是的两个等腰三角形.
6.如图,在中,,于点,
已知,那么____.
基础作业：
A
A
课后提升
能力提升：
证明:,,
,
,
,,
,.
7.如图,在和中,分别是上一点,,当时,求证.
课后提升
提升作业：
8.如图,在4×4的正方形网格中,画2个相似三角形,在下列各图中,正确的画法有( )
A.1个 B.2个　　　C.3个　　　D.4个
9.如图,中,,为上一点,且,在上取一点,使以为顶点的三角形与相似,则等于____.
10.已知:在中,.
(1)如果,那么当____,____时,；
(2)如果,那么当____,____时,.
D
10或6.4
12.5
15
12
8
课后提升
提升作业：
证明:为的平分线,
,
为的垂直平分线,,
,
,
,
又,,
,,.
11.已知为的平分线,为的垂直平分线,求证:.
课后提升
拓展作业：
解:(1),
,
,又,
,,
；
12.如图,在中,是上的点,是上一点,且,
(1)求证:；
(2)若是的中线,求的值.
课后提升
拓展作业：
解:(2)是的外角,是的外角,
,
由(1)可知,,
,,
是的中线,,
,由(1)得:,
,
,即.
课后提升
拓展作业：
13.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)试证明△ABC是直角三角形.
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点,并且与△ABC相似.
课后提升
拓展作业：
解:(1)根据勾股定理,得,
.为直角三角形.
(2)和相似.理由:
根据勾股定理,得,
.
,
.
课后提升
拓展作业：
解:(3)如图所示,即为所求.
Thanks!
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