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分课时学案
课题 1.4相似三角形的判定第4课时 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解并掌握三边成比例的两个三角形相似的判定定理,掌握直角三角形相似的特殊判定方法,能规范书写推理过程。 2.经历定理猜想、证明与应用过程,提升逻辑推理、边长计算、比例化简与几何表达能力。 3.能根据题目条件灵活选择最优判定方法,解决综合判定、证明与计算问题。 4.整合相似三角形全部判定方法,构建完整知识体系,体会类比与归纳思想。
重点 1.三边成比例判定定理的理解与应用。 2.直角三角形相似的特殊判定及多判定方法灵活选用。
难点 三边成比例定理的证明思路与辅助线构造,以及多方法情境下最优判定策略选择。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.已学的相似三角形判定方法有哪些？ 2.全等三角形中只和边有关的判定定理是什么？ 探究问题 类比全等判定,猜想:三条边满足什么关系时,两个三角形一定相似？请说明依据。
新知讲解 探究活动一:相似三角形的判定定理3 思考:如图1.4-13,已知,然后作一个,使的各边与的各边对应成比例,即满足(常数).与相似吗？为什么？ 从前面两个相似三角形判定定理的证明受到启发,若能在中用平行于边的直线截得,使它与全等,则. 由此猜测:三边成比例的两个三角形相似. 方法总结: 探究活动二:相似三角形的判定定理3的应用 例6:如图,在和中,.求证:. 例7:判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由. 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.已知△ABC三边长是,,2,与△ABC相似的三角形三边长可能是( ) A.1,, B.1,, C.1,, D.1,, 2.一个三角形木架三边长分别是75cm,100cm,120cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD. 4.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x,那么x的值( ) A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.无数个 5.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判定它们相似的是( ) A.∠A=∠B' B.AC=BC,A'C'=B'C' C.AB=3A'B',BC=3B'C' D.△ABC中有两边长为3,4,△A'B'C'有两边长为6,8 6.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,则在下列五个条件中: ①∠AED=∠B;②DE∥BC;③=;④AD·BC=DE·AC; ⑤∠ADE=∠C,能满足△ADE∽△ACB的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点B(5,3),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为　　. 8.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为　　. 9.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N. (1)求证:△ABM∽△EFA; (2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.已知△ABC三边长是,3,,与△ABC相似的三角形三边长可能是( ) A.1,, B.1,, C.1,, D.1,, 2.甲三角形的三边长分别为9,6,12,乙三角形的三边长分别为4,6,8,则这两个三角形( ) A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.无法判断是否相似 3.在△ABC中,AB＝8,AC＝6,在△DEF中,DE＝4,DF＝3,当＝____时,△ABC∽△DEF. 4.判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由. 5.下列两个三角形不相似的是( ) A.一个三角形的两个角分别是40°,80°；另一个三角形的两个角分别是60°,80° B.一个三角形的三边长分别是4cm,6cm,8cm；另一个三角形的三边长分别是12cm,18cm,21cm C.一个三角形的两边长分别是2cm和5cm,夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3cm和7.5cm,夹角是40° D.各有一个角是120°的两个等腰三角形 能力提升: 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,已知AD＝9,BD＝4,那么BC＝____. 7.如图,在△ABC和△A′B′C′中,D,D′分别是AB,A′B′上一点,＝,当＝＝时,求证△ABC∽△A′B′C′. 8.如图,在4×4的正方形网格中,画2个相似三角形,在下列各图中,正确的画法有( ) A.1个 B.2个　　　C.3个　　　D.4个 9.如图,△ABC中,AB＝12,AC＝15,D为AB上一点,且AD＝AB,在AC上取一点E,使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE等于____. 10.已知:在△ABC中,AB＝4,BC＝5,CA＝6. (1)如果DE＝10,那么当EF＝____, FD＝____时,△DEF∽△ABC； (2)如果DE＝10,那么当EF＝____, FD＝____时,△FDE∽△ABC. 11.已知AD为∠BAC的平分线,EF为AD的垂直平分线,求证:FD2＝FB·FC. 拓展迁移: 12.如图,在△ABC中,D是BC上的点,E是AD上一点,且＝＝, (1)求证:AC2＝BC·CD； (2)若AD是△ABC的中线,求的值. 13.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题: (1)试证明△ABC是直角三角形. (2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由. (3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点,并且与△ABC相似.
参考答案：
复习回顾：
1.平行截相似、两角分别相等、两边成比例且夹角相等。
2.SSS(三边分别相等)。
3.猜想:三边对应成比例的两个三角形相似；依据:三角形具有稳定性,三边比例确定则形状固定,对应角必相等。
探究一：
如图,在的边上取一点,使.
过点作,交于点.
因为,
所以,
从而.
又,,
于是.
因此,,
从而,因此.
故.
我们将上述猜测称为相似三角形的判定定理3.
探究二：
例6：证明:设,则.由勾股定理,得
,
所以,从而.
因此(三边成比例的两个三角形相似).
例7：解：在中,,
在中,.
因为,,
所以.
因此.
课堂练习：
1.A;2.B;
3.证明:∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DF,EF,DE是△ABC的中位线,
∴DF=BC,EF=AB,DE=AC,
∴===,∴△ABC∽△EFD.
4.B;5.D;6.C;7.;8.;
9.解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AMB=∠EAF,
又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,
∴∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA;
(2),
,
∵F是AM的中点,
,
∵,
∴,即,
∴AE=16.9,∴DE=AE-AD=4.9.
课后提升：
1.A;2.C;3.2;
4.解:△ABC∽△DEF.
理由如下:∵AC＝3,BC＝3.5,AB＝4,DF＝1.8,EF＝2.1,DE＝2.4,
∴＝＝＝,
∴△ABC∽△DEF.
5.B;6.;
7.证明:∵＝,∴＝,
∵＝＝,
∴＝＝,
∴△ADC∽△A′D′C′,∴∠A＝∠A′,
∵＝,∴△ABC∽△A′B′C.
8.D;9.10或6.4;10.12.5;15;12;8.
11.证明:∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠BAD＝∠DAC,
∵EF为AD的垂直平分线,∴FA＝FD,
∴∠FAD＝∠FDA,
∵∠FAB＝∠FAD＋∠BAD,∠FCA＝∠ADC＋∠DAC,∴∠FCA＝∠FAB,
又∵∠AFC＝∠BFA,∴△AFC∽△BFA,
∴＝,∴FA2＝FC·FB,
∴FD2＝FB·FC.
12.解析:(1)∵＝＝,
∴△BAD∽△ACE,
∴∠B＝∠EAC,又∠ACB＝∠DCA,
∴△ABC∽△DAC,∴＝,
∴AC2＝BC·CD；
(2)∵∠ADC是△ABD的外角,∠CED是△ACE的外角,
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD,∠CED＝∠CAE＋∠ECA,
由(1)可知,∠B＝∠EAC,∠BAD＝∠ECA,
∴∠ADC＝∠CED,∴CE＝CD,
∵AD是△ABC的中线,∴BC＝2CD,
∴BC＝2CE,由(1)得:AC2＝BC·CD,
∴AC2＝2CE·CE,
∴＝,即＝.
13.解析:(1)根据勾股定理,得AB＝2,AC＝,BC＝5,
∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形.
(2)△ABC和△DEF相似.理由:
根据勾股定理,得AB＝2,AC＝,BC＝5,
DE＝4,DF＝2,EF＝2.
∵＝＝＝,
∴△ABC∽△DEF.
(3)如图所示,△P2P4P5即为所求.
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