资源简介

2027高考数学一轮复习考点通关：一元二次不等式的恒成立或有解问题
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，为任意正数，若恒成立，则( )
A. B. C. D.
2.若命题“，都有”为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若命题“，”为假命题，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. ，
5.已知命题：“，”为假命题，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.若不等式对任意成立，则的取值范围为( )
A. B. ，
C. D.
7.若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是( )
A. B. C. D.
8.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
9.“，的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
10.关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是( )2027高考数学一轮复习考点通关：一元二次不等式的恒成立或有解问题
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，为任意正数，若恒成立，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：假设，此时存在实数，
取显然，则，与题设条件矛盾，
因此，必须有，即．
故选：．
2.若命题“，都有”为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：因为命题“，都有”为真命题，所以，
即实数的取值范围是．
故选：．
3.若命题“，”为假命题，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了存在量词命题的否定及其真假的判定，属于较易题．
由题可知原命题的否定“，”为真命题，因此，解出即可．
【解答】
解：命题：“，”为假命题，
可得命题的否定：“，”为真命题，
因此，即，解得，
实数的取值范围是．
故选：．
4.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. ，
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，属于基础题．
分和两种情况讨论求解．
【解答】
解：由不等式对一切实数都成立，
当时，，满足题意；
当时，则，解得，
综上，满足不等式对一切实数都成立的的取值范围是．
故选B．
5.已知命题：“，”为假命题，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：命题“，”为假命题，
可得，为真命题，
当时，不等式显然成立，
当时，由题可得函数图象恒在轴下方，
则，解得，
综上可得，即的取值范围是．
故选：．
6.若不等式对任意成立，则的取值范围为( )
A. B. ，
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数恒成立的问题，其中涉及到主元互换的思路技巧，属于中档题．
将关于的函数看成关于的函数，直接把和代入不等式即可．
【解答】
解：不等式对任意成立，
，，
把左边看成关于的一元一次函数，
只需满足：，即，
解得或．
故选：．
7.若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意，，，
令，则，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
所以实数可取的最小整数值是．
故选：
8.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式存在性或恒成立问题，属于基础题．
分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果．
【解答】
解：当时，不等式化为，解得，符合题意；
当时，的图象为开口方向向上的抛物线，
只需，即；
当时，的图象为开口方向向下的抛物线，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为．
故选：．
9.“，的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查恒成立问题和充分不必要条件，属于基础题．
由恒成立求出，由充分不必要条件的定义即可判断．
【解答】
解：若，，
则
故，
要求其一个充分不必要条件，只需找的一个真子集即可，
由选项可知，只有满足
故选：．
10.关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
画出函数的图象，利用不等式的解集中整数解的个数限制，得到参数的取值范围．
【解答】
解：函数的图象如图所示，
函数的对称轴为，
若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，
则，即
解得．
故选：．
11.若函数的定义域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式存在性或恒成立问题，属于基础题．
由题意可知的解集为，分，两种情况讨论，即可求解．
【解答】
解：函数的定义域为，可知的解集为，
若，则不等式为恒成立，满足题意；
若，则，解得．
综上可知，实数的取值范围是．
故选：．
12.已知函数，当时，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：当时，即，
因为，所以，即，
此时．
因为，即，移项可得，
由于，当时，恒成立
当时，，结合和，此时也满足条件
当时，，与矛盾，舍去
当时，即，
因为，所以，即，
此时，
因为，对于二次函数，其对称轴为，
要使在上恒成立，
则，解得，
综上，的取值范围是．
故选：．
13.已知函数的部分图象如图所示，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查由部分图象求三角函数解析式，不等式恒成立问题，属于中档题．
逐一求出，，的值，令，从而把原不等式的恒成立转化为二次不等式的恒成立，通过求最值，得出实数的取值范围．
【解答】
解：由图可得，，
，
将代入得，
，结合条件中的范围可得，
，
，，
，
，
令，
则不等式在上恒成立，
即在恒成立，
当时，，
，实数的取值范围是，
故选B．
14.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查不等式恒成立问题，属于拔高题．
首先由不等式的解集为，考虑转化为函数
对任意的，函数值小于零的问题，再分类讨论即可解出答案．
【解答】
解：设函数，
由题设条件关于的不等式的解集为，
可得对任意的都有，
又当时，函数的图象为抛物线，
故抛物线必开口向下，且与轴无交点．
故满足
故解得．
当时，，成立．
当时，不能恒成立．
综上，的取值范围为．
故选：．
15.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分段函数的值域，不等式恒成立问题，属于较难题．
求出函数在上的最小值为，最大值为，由且即可求解．
【解答】
解：对，，，
对，，，
故函数在上的值域为，．
当时，，其中，
故函数在上的值域为，．
综上可知，函数在上的最小值为，最大值为，
不等式对恒成立，等价于且，
即且，解得且，
故实数的取值范围是
故选：
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
16.已知命题“，使”是假命题，则自然数的取值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查存在量词的命题的真假应用，属于基础题．
根据一元二次不等式恒成立即可得到结论．
【解答】
解：命题“，使”是假命题，
命题“，使”是真命题，
故 ，
即，
则，即，
而为自然数，故可取，，，
故选ABC．
17.若命题“，”的否定为真命题，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】解：命题“”的否定为“”，
所以命题“”为真命题，即，得．
故选：．
18.下列命题正确的是( )
A. 已知全集，，则
B. 若不等式的解集是或，则，的值分别是，
C. 不等式恒成立的条件是
D. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查集合的补集运算、一元二次不等式的解法，不等式的恒成立问题，属于基础题．
对各选项逐一判定正误，即可得到答案．
【解答】
解：对于，全集，
，故A正确；
对于，若不等式的解集是或，
则，是方程的两实根，
于是
并且这时，故 B正确；
对于，若不等式恒成立，
则，解得，故 C正确；
对于，若不等式对一切恒成立，
当时，原不等式即：，恒成立；
当时，
解得，
所以，故D错误．
故选：．
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
19.已知命题：“，”为真命题，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由不等式恒成立确定参数的范围，属于基础题．
分类讨论或，当时的情况，即可求得的取值范围．
【解答】
解：由“， ”是真命题，
当时，，成立；
当时，由二次函数的性质可知，并且 ，
所以 ．
综上可知，的取值范围为．
故答案为．
20.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：令，
当时，在上单调递减，所以，此时满足条件．
当时，的图象的对称轴方程为，
若，则在上单调递减，则只需满足，得；
若，则，且时已满足条件．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
21.已知定义在上的奇函数满足，当时，若对一切恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、对称性和恒成立问题，属于一般题．
由题意将问题转化为只需当时，即可，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】
解：因为，所以关于对称，
又当时，
故当时，，
若对一切恒成立
只需当时，即可，
即
则．
故实数的最大值为
22.已知，若对任意实数恒成立，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】解：因为，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
令，所以在上恒成立，
取，则，即，
当时，等价于，
即恒成立，所以的最小值为．
故答案为：
23.已知，关于的不等式对于一切实数恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质的运用，一元二次不等式恒成立，属于中档题．
不等式对于一切实数恒成立，不满足，则且，存在，使成立，则，可得的等式关系，利用基本不等式的性质求解的最小值即可．
【解答】
解：由题意，不等式对于一切实数恒成立，
则当时不等式为对于一切实数不恒成立，所以，
故若使不等式对一切实数恒成立只需满足，解得，
又因存在，使成立，
则当时，方程对有解，故且符合，
当时，若方程对有解，则需，即，得，
故当时存在，使成立，
综上所述得，
，，，
由，
所以，
当且仅当即时等号成立．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：不等式可化为：，
当时，不等式无解；
当时，
不等式的解集为；
当时，
不等式的解集为；
由可化为：，
必有，
所以，解得，
所以的取值范围是．
【解析】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解含参的一元二次不等式，属于基础题．
不等式化为，讨论的取值情况，从而求出不等式的解集；
把不等式化为，利用求出的取值范围．
25.本小题分
已知．
若，对一切，恒成立，求实数的取值范围；
若，，，求的最小值．
【答案】解：当时，对一切，恒成立，
所以一切恒成立，
则，
解得，
所以实数的取值范围是；
因为，且，
所以，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，
故最小值为．
【解析】将不等式恒成立问题转化为进行求解，由一元二次不等式的解法求解即可；
利用得到，然后利用“”的代换以及基本不等式求解最值即可．
本题考查了不等式恒成立问题，涉及了基本不等式的应用，主要考查了“”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
26.本小题分
已知函数．
解关于的不等式．
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。
已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】解：因为函数，
所以，即为，
所以，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
因为对任意的恒成立，
所以对任意的，恒成立，
当时，恒成立，
所以对任意的时，恒成立，
令，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以实数的取值范围是；
当时，，
因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，，
则，解得
当时，，
则，解得，
当时，，不成立；
综上，实数的取值范围．

【解析】本题考查一元二次不等式求解，考查一元二次不等式恒成立求参数的取值范围及存在性问题，属于拔高题．
由题意可得，对进行分类讨论得出不等式的解集即可；
由不等式恒成立，对进行分类讨论分离参数转化任意的时，恒成立，进行求解即可；
求出的值域，由对任意的，总存在，使成立，可知的值域为的值域的子集，求出的取值范围即可．
27.本小题分
设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立．
若为真命题，求实数的取值范围；
若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】解：对于命题：对任意，不等式恒成立，
而，有的最小值为，
，即，得，
所以为真时，实数的取值范围是；
命题：存在，使得不等式成立，
只需的最小值小于等于即可，
而，
则当时，最小值为，
则由，得，
即命题为真时，实数的取值范围是，
依题意命题，一真一假，
若为假命题，为真命题，则，得；
若为假命题，为真命题，则，得，
综上，或，
即的取值范围为．
【解析】本题主要考查命题的真假判断，结合复合命题真假关系求出命题的等价条件是解决本题的关键，是中档题．
根据不等式恒成立，转化为求函数的最值即可．
根据命题、有且只有一个是真命题，得到，一真一假，然后进行求解即可．
28.本小题分
已知二次函数．
Ⅰ若不等式的解集为，求和的值；
Ⅱ若．
(ⅰ)解关于的不等式；
(ⅱ)若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】解：由题意得，，是方程的两根，
则，解得；
若，
则，
当时，，
则不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
则不等式的解集为；
当时，，则不等式的解集为；
当时，，则不等式的解集为；
当时，，则不等式的解集为；
(ⅱ)若，
则，
令，
则在上恒成立，
所以，即
解得或，
即的取值范围为．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
第1页，共1页

展开更多......

收起↑