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第二章 有理数及其运算
专项突破2 有理数运算中的分类讨论问题
题型1 与绝对值相关
1.若，则 的取值共有 （ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2.已知的绝对值为 4, 的绝对值为 5, 且，则的值为 （ ）
A. 3 或 -3 B. 13 或 -13 C. -3 或 13 D. -13 或 3
3.若点 M,N 在数轴上表示的数分别是 m,n, , , 则点 M 和点 N 间的最大距离为 ________.
4.已知有理数.
(1) 已知 a,b 互为倒数，则 ________.
(2) 已知 c,d 互为相反数，则 ________.
(3) 已知 e 的绝对值为 2, 则________.
(4) 求 的值.
题型2 与数轴相关
5.若数轴上分别表示 m 和 -2 的两点之间的距离是 24，则 m 的值为 （ ）
A. 22 B. 26 C.-26或22 D.-22或26
6.如图，一条数轴上有 A,B,C 三点（点 A,B 分别位于点 C 的左边和右边，且点 A 与点 B 之间的距离大于 3），其中点 A,B 表示的数分别是 a,b，现以点 C 为折点，将数轴向右对折，若点 A 落在点 C 右侧的数轴上，且对折后的点 A 与点 B 之间的距离为 3，则点 C 表示的数是 （ ）
A. B. C. D.
7.点 A,B,P 是数轴上不重合的三个点，点 A 表示的数为 -3, 点 B 表示的数为 1.当数轴上三个点中的一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”。若点 A,B,P 是“和谐三点”，则点 P 表示的数为 ______________.
题型3 与偶次幂相关
8.若 a 是有理数，则下列各式一定成立的有（ ）
(1) ; (2) ; (3) ;(4) .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.已知 , , 且 , 则的值为 （ ）
A. -3 或 -5 B. 3 或 -5 C. -3 或 5 D. 3 或 5
10.若 , 且, 则 ___________.
参考答案
1.A 可分4种情况：
① ，此时，
所以 ；
② ，此时，
所以 ；
③ ，此时，
所以 ；
④ ，此时，
所以 .
综上， 的值为3或-1.
故选 A.
2.C 由 ，得或.
由 ，得或.
又，所以或.
当时，，
当时，.
故的值为或，
故选 C.
3.答案 7
解析 因为点 M, N 在数轴上表示的数分别是 m, n， , ，所以 .
当 或 时点 M 和点 N 间的距离最大，是 7.
4.解析 (1) 1.
(2) 0.
(3) ±2.
(4) 分两种情况：
当 时，
当 时，
综上所述，原式的值为 或 .
5.C 【解法一】利用数轴直观判断.
当表示 m 的点在表示 -2 的点的右侧时，.
当表示 m 的点在表示 -2 的点的左侧时，.
【解法二】利用绝对值求解。
根据题意，得 ，解得或.
故选 C.
易错警示 当遇到数轴上点的移动问题时，若题目中未说明移动方向，要注意分向左、向右两个方向分类讨论。类似地，还有已知两点间的距离及一点的位置，求另一点的位置的问题，要求的点既可能在已知点的左侧，也可能在已知点的右侧，同样需要分类讨论。
6.B ∵ 对折后的点 A 与点 B 之间的距离为 3，∴ 对折后点 A 表示的数为 或，
∵ 以点 C 为折点，将数轴向右对折，∴ 点 C 表示的数是 或 ，
故选 B.
7.答案 -7 或 -1 或 5
解析 点 P 在点 A 的左侧时，；点 P 在 A, B 之间时，；点 P 在点 B 的右侧时，。综上所述，点 P 表示的数为 -7 或 -1 或 5.
8.A (1) 在有理数范围内都成立.
(2) (3) 只有 a 为 0 时成立.
(4) a 为负数时不成立.
故选 A.
9.A , ， , y=±1，
， 的值为负数， , y=-1 或 1,
故 x-y=-3 或 -5.故选 A.
10.答案 ±5
解析 , ， , b=±2，
， , b=2 或 a=-3, b=-2.
当时，；
当 时，.
综上，的值为 ±5。故答案为 ±5.

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