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2025-2026学年福建省漳州市龙海区第一中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，若为假命题，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.下列结论中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
5.已知实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为( )
A.
B.
C.
D.
7.下列说法正确的有( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
B. 若是随机变量，则，
C. 已知随机变量，若，则
D. 设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则
8.已知函数，的定义域均为，，的图象关于直线对称，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有台车床加工同一型号零件，第台次品率为，第，台次品率为，加工的零件混在一起，已知第，，台车床加工的零件分别占总数的，，，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第台车床加工”，则( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则( )
A. 当时，有且仅有一个点，使得
B. 当时，四棱锥的外接球体积的最大值为
C. 当时，直线与平面所成角的最小值为
D. 当时，平面
11.已知函数的图象与直线交于不同的三点，，，且，则( )
A. 的图象关于点中心对称 B. 的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.幂函数在区间上单调递减，则实数的值为 ．
13.已知函数在上不单调，则的取值范围是______．
14.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某网络购物平台专营店统计了某年月日至日这天在该店购物的人数单位：人的数据如下表：
日期 月日 月日 月日 月日 月日
日期代号
购物人数
根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年月日在该店购物的人数人数用四舍五入法取整数；
为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了人进行问卷调查得到如下所示不完整的列联表：
年龄 不低于岁 低于岁 合计
参与过网上购物
未参与过网上购物
合计
将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，．
16.本小题分
如图，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面如图，的中点为．
求证：平面；
若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
对任意的，恒成立，请求出的取值范围．
18.本小题分
已知函数是奇函数是自然对数的底
求实数的值；
若时，关于的不等式恒成立求实数的取值范围；
设，对任意实数，，，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意可知，，，，，
所以，，
所以，
当时，可得，
因此估计当年月日在该店购物的人数为人；
补全列联表如下：
年龄 不低于岁 低于岁 合计
参与过网上购物
未参与过网上购物
合计
零假设为：参加网上购物和年龄无关，
根据数据，计算得到：，
所以根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，即认为参加网上购物和年龄有关．
16.【答案】解：证明：因为，的中点为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
取的中点为，连接，则，
由图直角梯形可知，为正方形，
所以，，，所以，，
由知，平面，所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，所以，
所以，，
设平面的法向量为，则，，
所以，
取，则，
由平面，取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或舍．
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，点位于线段靠近的三等分点处．
17.【答案】解：，，
当时，，在递增；
当时，对于，，故有在时，有一个解，
当时，，递减；
当时，，递增；
综上，当时，在递增；
当时，在递增；在递减；
根据题意，任意的，恒成立，即，
分离参数得，
令，，，
单调递增，，，
故存在唯一的零点，，
当时，，递减，当时，，递增，
故，
故在递增，
故．
18.【答案】解：由函数是奇函数，定义域为，可得，即，解得，
当时，，，则为奇函数，所以成立；
若时，关于的不等式恒成立，即为，
即有恒成立．
设，
因为当且仅当时等号成立，由于，所以，，
所以，即的取值范围是；
，
任意实数，，，设，
以，，为长度的线段可以构成三角形，可得，
又，以，，为长度的线段也能构成三角形，可得恒成立，
即有恒成立，
因为时等号成立，所以，即，
即的最大值为．
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