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北京市延庆区2025-2026学年高二下学期期末
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，集合，则( )
A. 或 B.
C. 或 D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，；命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
4.已知实数，满足，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
6.如果函数定义在区间上连续，在区间内可导，则“在上单调递增”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在的展开式中，下面关于各项的描述正确的是( )
A. 第一项是含的项 B. 第二项是常数项 C. 第三项是 D. 各项的系数和为
8.为了调查“赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表：
学区 甲 乙
性别 男 女 男 女
达到预期 人 人 人 人
未达到预期 人 人 人 人
假设所有教师的评价相互独立．用频率估计概率．若教师的评价为“达到预期”，则赋分为；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，则，的大小关系为( )
A. B. C. D. 不能确定
9.现有一块边长为米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.在等差数列中，已知，与的等差中项为，是与的等比中项，则通项公式 ；前项和 ．
13.函数的值域为 ．
14.已知方程的两根分别为，，则 ； ．
15.已知函数，给出下面四个结论：
，使得函数有最小值；
，函数都有一个极值；
，函数都有一个零点；
时，函数在上单调递减．
其中所有正确的结论序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在锐角中，，，．
求及；
求的值及面积．
17.求下列函数的导数．
；；．
；．
；；．
18.求满足下列条件的直线的方程．
为曲线在点处的切线；
的斜率为且与曲线相切；
过原点且与曲线相切．
19.求下列函数的单调区间．
；
．
20.已知函数，．
求的极值点以及极值、最值点以及最值；
证明：；
证明：．
21.已知数列，记集合．
若数列为，写出集合；
若，是否存在，，使得？若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由；
若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，，，，，若，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：因为，所以．
因为，所以或．
又因为是锐角三角形，所以．
所以．
因为，
所以，即，
因此．
因为，所以，即．
所以的面积为．

17.【答案】解：；；．
；．
；；
．

18.【答案】解：因为，所以．
又因为，所以所求切线方程为，即．
设切点为，因为，所以切线的斜率为．
所以．
因为，所以切点为．
所以切线方程为，即的方程为．
设切点为，因为，所以切线的斜率为．
又因为，所以直线的方程为，
将原点代入上式并整理，可得，解得，
因此切点为，切线方程为，即的方程为．

19.【答案】解：函数的定义域为．
因为，
令，可得，因为恒成立，
所以，即解得或，
因此可知函数的单调增区间为，
令，可得，解得．
因此函数的单调减区间为．
函数的定义域为．
因为，
当时，
在区间，，则此时函数在上单调递减；
在区间，，则此时函数在上单调递增；
当时，
在区间，，函数为增函数；
在区间，，函数为减函数；
在区间，，函数为增函数．
当时，
在区间，，函数为增函数；
在区间，，函数为减函数；
在区间，，函数为增函数．
当时，
，恒成立，函数在为增函数．
综上可知，当时，函数的减区间为，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间．

20.【答案】解：函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，
所以函数在处取得极大值，无极小值；
在处取得最小值，在处取得最大值．
当时，不等式，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
因此，即，则，
所以．
令函数，求导得，
函数在上单调递增，，
因此，由知，
所以．

21.【答案】解：由题意得数列为，所有可能的有：
，时，；
，时，；
，时，．
因此．
若，则．
设，则．
由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同．
又，．
而，没有大于等于的奇数因子，矛盾．
故不存在，使得．
若，则．
令，，则．
且与奇偶性不同，故为偶数，为整数．
若，则，仅分解，代入方程组无正整数，故；
中的元素恰为所有不是的正整数次幂的正整数，即．
要求，即从到的整数中去掉的幂．
的幂不超过的有，共个
故的最大值为．

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