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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
26.1.1 二次函数
第26章 二次函数
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点）
2. 会利用二次函数的概念解决问题；
3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点）
1. 什么是函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
3. 一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫作一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 就叫作正比例函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？
ax2+bx+c=0 (a≠0)
迪拜音乐喷泉是世界上最大的喷泉，也是最壮观的喷泉．观察视频中的喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？
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探究 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m ) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？
分析：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量，而且对于的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数，
则根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为
y = x(20 - x)，即
y = - x2 + 20x ①
探究点1： 二次函数的概念
分析：单循环问题
问题1 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
每支球队 n 要与其他 个球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
(n 1)
，
即
m =
. ②
同理， m 是 n 的函数吗？
探究点1： 二次函数的概念
②式表示比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系，其中 m和 n 都是变量，而且对于 n 的每一个确定的值，m 都有唯一确定的值与其对应，即 m 是 n 的函数.
m = ②
探究点1： 二次函数的概念
问题2 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是
t，再经过一年后的产量是 t，即两年后的产量 y =__________，
即 . ③
20(1 + x)
20(1 + x)(1 + x)
20(1 + x)2
y = 20x2 + 40x + 20
同理， y 是 x 的函数吗？
探究点1： 二次函数的概念
③式表示了两年后的产量 y 与每年的计划增产倍数 x 之间的关系，其中 x 和 y 都是变量，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数.
y = 20x2 + 40x + 20 ③
想一想：上述问题中函数关系式有什么共同点
函数都是用
自变量的二次整式表示的
y = 20x2 + 40x + 20
y = - x2 + 20x
探究点1： 二次函数的概念
二次函数的定义
一般地，形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数.
二次项系数
自变量
解析式 y = ax + bx + c
一次项系数
常数项
同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？
探究点1： 二次函数的概念
例1 下列函数中哪些是二次函数 为什么 (x 是自变量)
①y = (x + 3) x ； ② y = 3 2x ； ③ y = x2 + 3x；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件.
不是，等式右边是分式.
不是，x 的最高次数是 3.
不是，y = 6x + 9
探究点1： 二次函数的概念
【方法归纳】
(1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式；
(2) a，b，c 为常数，且 a≠0；
(3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；
(4) 等式的右边自变量的最高次数为 2.
判断一个函数是否为二次函数的步骤：
探究点1： 二次函数的概念
【链接中考】
1. 下列函数中，是二次函数的是( )
A. y = 8x2 + 1
B. y = 8x + 1
D.
A
探究点1： 二次函数的概念
【归纳总结】
y = 8x2
y = 20x2 + 40x + 20
y = ax + bx + c (a≠0)
y = 3 2x
y = ax + c (a≠0)
y = ax (a≠0)
y = ax + bx (a≠0)
b = 0
c = 0
b = 0，c = 0
二次函数的一般形式：
特殊形式
成立条件
函数解析式
【合作探究】
m =
探究点1： 二次函数的概念
例2 若函数 y = (m + 1)xm - 2m - 1 + (m - 3)x + 4 是二次函数，求 m 的值.
∴ m = 3.
总结
本题易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = -1 的错误答案.
解：由题意得
m - 2m - 1 = 2，
m + 1 ≠ 0，
探究点1： 二次函数的概念
【链接中考】2. 已知 y = (m - m)x + mx - 2 (m为常数)，根据下列条件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数；
∴ m = 1.
(2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0.
∴ m≠1 且 m≠0.
解：(1) 由题意得
m - m = 0，
m ≠ 0，
探究点1： 二次函数的概念
探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式
例3 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式.
解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，
所以 S = 2πr + 2πr·r，即
S = 4πr
(2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式.
(2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件，所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8.
探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式
【练一练】1. 如图，用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x m，求菜园的面积 y (单位：m2) 与 x (单位：m) 的函数关系式.
x
解：矩形面积( y ) = 长×宽
实际问题注意取值范围：0＜x＜30.
∴y = (30－x)x = x2 + 15x .
(30－x)
【练一练】2. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档
次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式.
∴ y＝[6＋2(x－1)][95 5(x－1)].
解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了
2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件．
即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
二次函数
定 义
y = ax + bx + c(a≠0)
一般形式
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，______) 的函数叫作二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_______________、_____________和__________
特殊形式
y = ax2；
y = ax2 + bx；
y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常数)
a≠0
二次项系数
一次项系数
常数项
1. 下列函数是二次函数的是(　C　)
A. y＝5x B. y＝－2x＋1
C. y＝x2＋2 D. y＝－2
C
2.正方形的边长为 3，如果边长增加 x，面积增
加 y，那么 y 与 x 之间的函数解析式为(　D　)
A. y＝3x B. y＝(3＋x)2
C. y＝9＋6x D. y＝x2＋6x
D
3. [高频易错]若关于 x 的函数
y＝(m＋1)x｜m｜＋1＋4x－5 是二次函数，则 m＝ .
1　
(1)d＝n2－n；
解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为，－
，0.
(2)y＝1－x2.
解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1，
0，1.
解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为，
－，0.
解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1，
0，1.
4. 分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
5. 某省 2024 年开展农村供水工程维修养护 1700 处，受益人口达到 180万人，预计该省 2026 年开展农村供水工程维修养护受益人数达到 y 万，设这两年该省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为 x，写出 y 与 x 之间的函数关系式(化成一般式).
解：y＝180(1＋x)2＝180x2＋360x＋180.
解：y＝180(1＋x)2＝180x2＋360x＋180.
6.某公园门票是每张 80 元，据统计每天进园人数为200 人，经市场调查发现，若门票每降低 1 元出售，则每天进园人数就增加 6 人.试写出当 x≤80 时，该公园每天的门票收入 y (元)关于门票价格 x (元)的函数关系式. y 是关于 x 的二次函数吗？
解：由题意知当门票价格为 x 元时，每张门票降价
(80－x) 元，
那么每天进园人数就增加 6(80－x) 人，
则每天进园人数为 200＋6(80－x)＝(680－6x) (人).
∴y＝x(680－6x)＝－6x2＋680x.
显然，y 是关于 x 的二次函数.
Thanks!
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