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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
26.4 实际问题与二次函数
第26章 二次函数
第 2 课时 商品利润最大问题
1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点）
2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）
1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤：
审→设→列→解→答
公式法：顶点坐标
配方法：y = a(x - h)2 + k
利润 = 收入 - 成本
总收入 = 销售单价×销量
总成本 = 进货单价×销量
总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量
= (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量
2. 销售问题中有关利润的公式：
总利润 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量
40
60
300
涨价
60 + 1
300 - 10
60 - 1
300 + 20
降价
20
20 + 1
20 - 1
例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价 1 元，则每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
①设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空：
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
涨价销售
20
300
20 + x
300 - 10x
(20 + x)(300 - 10x)
所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x)
= -10x2 + 100x + 6000.
6000
涨价销售
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤30，x 为整数.
③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
y =-10x2 + 100x + 6000 = -10(x - 5)2 + 6250 (0≤x≤30).
当 x = 5，即每件涨价 5 元 (销售单价为 65 元) 时，有 y最大值 = 6250.
∴当销售单价为 65 元时，该店在一个月内能获得最
大利润 6250 元.
②自变量 x 的取值范围如何确定？
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
解：设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则单件利润为 20 x 元，每星期可卖出 300 + 20x 元.
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
降价销售
20
300
(20 x)
(300 + 20x)
(20 x)(300 + 20x)
所得利润 y = (20 x)(300 + 20x)
= 20x2 + 100x + 6000.
6000
降价销售
想一想，每一步应该怎么做？
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
② 根据题意，求出自变量的取值范围
∵ 20 x≥0，且 x≥0，∴ 0≤x≤20，x 为整数.
③ 将二次函数解析式化为顶点式
y = 20x2 + 100x + 6000
或求出顶点横坐标(对称轴)
y = 20x2 + 100x + 6000
对称轴为
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
④ 结合自变量的取值范围，求最大值
综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元.
所以当每件降价 2 或 3 元时， 即定价为 58 或 57 元时，利润最大，最大利润是 6120 元.
∵ 0＜ ＜20， 20＜0，x 为整数.
∴当x = 2 或 3 时，y有最大值，
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
1. 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克.
(1) 求 y 与 x 的函数关系式.
(2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大.
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
解：(1) 由题意，得
(2) 由题意，得
w = y(x 8) = ( 4x + 108)(x 8)
= 4x2 + 140x 864
∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
∵ ＞8， 4＜0，
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
求解最大利润问题的一般步骤
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润 = 单件利润×总销量”
或“总利润 = 总售价 - 总成本”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；
也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
例2 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量
y (千克)与销售单价 x (元/千克)
的函数关系如图所示：
(1) 求 y 与 x 的函数解析式；
(2) 求这一天销售西瓜获得的利润
W 的最大值.
O
6
200
1000
8
x
y
10
12
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式；
解：(1) 当 6≤x≤10，设 y 与 x 的关系式为
y = kx + b (k≠0)
由题意得
6k + b = 1000，
10k + b = 200，
｛
k = -200，
b = 2200.
｛
解得
∴ y = -200x + 2200.
当 10＜x≤12，y = 200
故 y 与 x 的函数解析式为
y =
-200x + 2200 (6≤x≤10)
200 (10＜x≤12)
｛
O
6
200
1000
8
x
y
10
12
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
分析：根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值.
(2) 由已知得： W = (x - 6)y
当 6≤x≤10，W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200)
= -200x2 + 3400x - 13200
又∵ -200＜0，
∴当 时，利润 w 有最大值.
∵对称轴
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200.
∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大.
∴ x = 12 时， W 有最大值.
W最大值 = 200×12 - 1200 =1200.
综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润，
最大利润为 1250 元.
探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题
最大利润问题
建立函数关系式
总利润 = 单利润×总销量
总利润 = 总售价-总成本
确定自变量的取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出
1. 某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与
销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋
1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，
那么一周可获得最大利润是(　A　)
A. 1558元 B. 1550元
C. 1508元 D. 20元
A
2. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式y＝－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w(元)，则w与x之间化简后的函数关系式为 ，
w的最大值为 .
w＝－5x2＋800x－27500
4500　
3. [教材变式]某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20≤x≤30，且 x 为整数)出售，可卖出(30－x)件.若要使利润最大，则每件的售价应为多少元？
书写通关 解：设 ，
根据题意得 ，
x的取值范围为 ，
∴当x＝ 时，利润取得最大值.
答： .
利润为w元　
w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25
20≤x≤30　
25　
若要使利润最大，则每件的售价应为25元
4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，求能获得的最大利润.
解：设总利润为w万元，在甲地销售了a辆，
则乙地销售了(15－a)辆，
则y1＝－a2＋10a，y2＝2(15－a).
由题意得w＝－a2＋10a＋2(15－a)＝－(a－4)2＋46，
∴当a＝4时，w最大＝46.
∴能获得的最大利润为46万元.
5. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系：y＝－2x＋160，且规定商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元.
(1)销售单价为多少元时每天能获得800元的利润？
解：(1)由题意得(x－30)(－2x＋160)＝800，
整理得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70.
∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50
元，∴30≤x≤50.∴x＝40.
解：(1)由题意得(x－30)(－2x＋160)＝800，
整理得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70.
∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元，
∴30≤x≤50.∴x＝40.
答：销售单价为40元时每天能获得800元的利润.
解：(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－
55)2＋1250.
∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大.
∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w
＝1200.
答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单
价应定为50元，最大利润为1200元.
解：(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)
＝－2(x－55)2＋1250.
∵－2＜0，∴当 x＜55 时，w 随 x 的增大而增大.
∵30≤x≤50，
∴当 x＝50 时，w 有最大值，此时，w＝1200.
答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单
价应定为 50 元，最大利润为 1200 元.
(2)[典型易错]要使销售该商品每天获得的利润w(元)最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？
Thanks!
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