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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
26.4 实际问题与二次函数
第26章 二次函数
第 3 课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；(重点)
2. 利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题；(难点)
3. 能运用二次函数的图象与性质进行决策．
生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等．
生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？
怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
引例 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m时，水面宽 10 m. 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？
实际问题：水面上升 1 m，水面宽度为多少
几何问题：如图，求 AB.
A
B
思考：如何把拱桥的纵截面转化为二次函数图象呢？
1. 确定原点
2. 确定单位长度
抛物线形拱桥
建立数学模型
二次函数
解析式
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
(0，0)
(10，0)
(5，4)
y
o
x
(1) y = a(x h)2 + k
或 y = ax2 + bx
(-5，0)
(5，0)
(0，4)
y
o
x
(-5，-4)
(5，-4)
(0，0)
y
o
x
想一想 根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
(3) y = ax2
(2) y = ax2 + k
图①
图②
图③
谁最合适？为什么？
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
x
O
y
5
-5
-4
A
问题1 建立如图直角坐标系， 如何确定 a 的值？
已知水面宽 10 m 时，拱顶离水面高 4 m，因此点 A (5，-4) 在抛物线上，由此得出
解得
因此， y＝－x ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
a＝－
问题 2 水面上升 1 m，水面宽度增加多少？
即水面上升 1 m 时，水面宽度增加了 .
这条抛物线表示的二次函数为
y＝－x
当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 －3＝－x ，解得 x1＝x2＝－ .
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
x
O
y
5
-5
-4
A
【归纳总结】
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
解：建立如图直角坐标系，
设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2.
∵ 该抛物线过点 (10， 4)，
∴ 4 = 100a，故 a = 0.04.
∴ y = 0.04x2.
【练一练】1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m. 建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
20 m
y
O
A
B
x
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
O
C
A
B
y
x
将其代入
抛物线 中，得 c＝4，
解：根据题意，得 C (0，4).
∴ 抛物线解析式为 y＝ x2 + 2x + 4.
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
∴这辆货车能安全通过.
∴ 对称轴为 x＝6.
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点坐标为
(2，0) 或 (10，0)，
6
2
10
O
C
A
B
y
x
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
8
O
C
A
B
y
x
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
分析：建立合适的直角坐标系，
利用二次函数的图象和性质求解.
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
解：建立平面直角坐标系如图.
则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)，
篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5).
以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
解得
a = －0.2，
k = 3.5.
设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5.
当 x = －2.5 时，y = 2.25 .
故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m.
1.52·a + k = 3.05，
k = 3.5.
x
y
O
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
【练一练】2. 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使
喷出的水流不致落到池外？
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意，得 A 点坐标的为 (0，1.25)，
顶点 B 的坐标为 (1，2.25).
数学化
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，
才能使喷出的水流不致落到池外.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0).
设右边抛物线的解析式为 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入点 A 的坐标，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25.
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
转化
回归
拱桥问题
抛物线形运动轨迹问题
（抛物线形实物与轨迹问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
1.如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，
若以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建
立平面直角坐标系，则抛物线的解析式为
.
y＝－
x2　
2. [一材多题]小明在校运动会上掷铅球.
(1)第1次掷球时，铅球行进高度h(m)和飞行时间t(s)
满足的函数解析式为h＝－t2＋t＋，则当铅球距
离地面的高度最大时，飞行时间为 s.
2　
(2)第2次掷球时，如图，铅球行进高度y(m)与水平
距离x(m)之间的函数解析式为y＝－(x＋1)(x－7)，
铅球落到A点处，则OA＝ m.
[等价设问]小明此次掷球的成绩是 m.
7　
7　
3.跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳
的手间距为4m，距地面均为1m，丙、丁两名同学
分别站在距甲同学拿绳的手水平距离1m，2.5m处.
绳子在甩到最高处时，刚好通过他们的头顶.已知丙
同学的身高是1.5m，建立如图所示的直角坐标系，
请你算一算丁同学的身高.
解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
由图可知抛物线过(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)三点.
代入易求其表达式为y＝－x2＋x＋.
∵丁同学头顶的横坐标为1.5，
∴y＝－×1.52＋×1.5＋＝1.625，即丁同学的身
高为1.625m.
解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
由图可知抛物线过(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)三点.
代入易求其表达式为y＝－x2＋x＋.
∵丁同学头顶的横坐标为1.5，
∴y＝－×1.52＋×1.5＋＝1.625，
即丁同学的身高为1.625m.
4. 图①是李村河上一座拱桥的截面图，拱桥
桥洞的上沿是抛物线形状.抛物线两端点与水面的距
离都是1m，拱桥的跨度为10m.桥洞与水面的最大
距离是5m.桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景
观灯.现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如
图②所示.
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)由题意知抛物线的顶点坐标为(5，5)，
与y轴的交点坐标是(0，1).
设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋5，代入点(0，
1)，
得a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋
5(0≤x≤10).
解：(1)由题意知抛物线的顶点坐标为(5，5)，
与y轴的交点坐标是(0，1).
设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋5，代入点(0，1)，
得a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋5(0≤x≤10).
解：(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4，令y＝
4，
即4＝－(x－5)2＋5，解得x1＝，x2＝.
∴两盏景观灯之间的水平距离为－＝5(m).
解：(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4，令y＝4，
即4＝－(x－5)2＋5，解得x1＝，x2＝.
∴两盏景观灯之间的水平距离为－＝5(m).
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
Thanks!
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