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山西长治市上党区第一中学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．已知全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“对任意的正数，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则
A． B． C． D．
6．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如下表：
x 2 4 5 6 8
y 35 45 50 55 65
若y与x的线性回归方程为，预测当工作时间为9小时时，工资大约为（ ）
A．74.2元 B．75元 C．75.2元 D．76元
7．已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量 ，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
10．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（ ）
A．平面
B．面
C．四棱锥外接球的表面积为
D．四棱锥的体积为6
11．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当时，都有，则下列结论正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．函数在上有1014个零点
D．函数在上为减函数
三、填空题
12．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．
13．若，，且，，则______；
14．已知的最小值为______．
四、解答题
15．在,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且,若,.
(1)求;
(2)求的面积S.
16．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
17．长治市质监部门根据质量管理考核指标对该地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图．
(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到0.01）
(2)我市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为，求的分布列与数学期望．
18．已知函数．
(1)讨论的极值点的个数；
(2)当时，若有两个零点，
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：
19．已知函数，.
（1）求函数图象的对称轴的方程；
（2）当时，求函数的值域；
（3）设，存在集合，当且仅当实数，且在时，不等式恒成立．若在（2）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】由题，，则，所以.
2．D
【详解】由题，，，则.
3．A
【详解】分析：当 对任意的正数恒成立时，可得，
由，所以当时，，此时.
所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件.
故选A
4．D
【详解】根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为，所以，.因为，，则解得，，故.
故本题正确答案为D.
5．C
【详解】∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．
6．C
【详解】由题，，所以，则当时，
7．B
【详解】因为函数
所以关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，
设直线与切于点，
由，由已知有：解得，则
则切线方程为：，
由图知：函数的图象与直线 无交点时实数的取值范围为.
8．D
【详解】令，则，
因为，所以，
故为定义在R上的偶函数.
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
有，
则，解得.
9．BCD
【详解】对A，若，则，则，故A错误；
对B，若在上的投影向量为，，且，
，则，，故B正确；
对C，若，，
若，则，即，故，，故C正确；
对D，，因为，，则当时，的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
10．BC
【详解】作图在四棱锥中：
由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则
平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接交于，连接，中，∥，面，
面，所以面，所以选项B正确；
四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，
，则平面，，四棱锥的体积
所以选项D错误.
矩形中，易得，
中求得：在中
即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，
所以其表面积为，所以选项C正确
故选：BC
11．ACD
【详解】
函数关于点对称，关于对称，，
，关于对称，
当，时，都有，
在单调递增，
综上，可画草图，
选项A，可看作向左平移5个单位得到，平移后关于轴对称，是偶函数，A正确；
选项B，可知，是以4为周期的函数，则，
，B错误；
选项C，在的零点个数有个，C正确；
选项D，在的图象和在的图象一致，应为减函数，正确.
12．
【详解】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
13．
【详解】，，又，
，，
，，，
，，
，
，
，
故答案为：.
14．
【详解】由题，因为，所以，
令，则,
故，即，所以，
当且仅当，即时，取得最小值，
因为，所以的最小值为，
此时，因此的最小值为
15．(1);(2)或.
【详解】(1)由题意得
由余弦定理得:
由正弦定理得
所以，
∴中，．
(2)由余弦定理得
解得或
∵，∴
由得或．
16．（1）（）；（2）当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元,厂家的利润最大，为万元.
【详解】（1）由题意知，，
将代入化简得：（）；
（2），
（ⅰ）当时，
①当时，，所以函数在上单调递增，
②当时，，所以函数在上单调递减，
从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大；
（ⅱ）当时，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故当时，函数有最大值，
即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.
综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；
当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元.
17．(1)平均数为：（分），分
(2)的分布列为
0 1 2 3 4
【详解】（1）由题意，这家食品生产企业考核成绩的平均数为：（分）
由频率分布图可知样本中考核成绩在区间内的频率为，
样本中考核成绩在区间内的频率为，
所以中位数内，所以，
解得分．
（2）根据题意，这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有：
（家），
其中考核成绩在内的企业有（家），
所以可能取值有．
则，，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
所以．
18．(1)当时，有一个极值点；当或时，有两个极值点；当时，无极值点
(2)（i）；
（ii）不妨设，由（ⅰ）知，当时，不等式恒成立．
当时，要证，即证，此时．
又在上单调递减，只需证，
又，故只需证在上恒成立．
设，
则．
，所以在上单调递减．
又，所以在上恒成立，即，
所以．
【详解】（1）由题意知的定义域为，
．
①当时，令，解得；，解得，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有一个极小值点2，无极大值点．
②当时，令，解得；令，解得或，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
在处取得极大值，在处取得极小值，所以有两个极值点．
③当时，恒成立，在单调递增，
无极值点．
④当时，令，解得；令，解得或，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
在处取得极大值，在处取得极小值，所以有两个极值点．
综上所述：当时，有一个极值点；当或时，有两个极值点；当时，无极值点．
（2）（i）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，；当时，；
要使有两个零点，则，
即，
故的取值范围为．
（ii）略
19．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；
（2）令，换元，化函数为的二次函数，求出，由此可值域；
（3）由题意利用分离参数法、换元法、基本不等式先求出集合，根据（2）中的范围得出的范围，再由可得的范围．
【详解】解：（1）
令，得
所以函数图象的对称轴方程为：
（2）由（1）知，，
当时，，
∴，，即
令，
则，，
由
得，
∴当时，有最小值，
当时，有最大值1，
所以当时，函数的值域为
（3）当，不等式恒成立，
因为时，，，所以，
令，则，
所以
又，
当且仅当即时取等号
而，所以，即，所以
又由（2）知，，
当时，，
所以，要使恒成立，只须使，
故的取值范围是．

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