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安徽亳州市蒙城县部分校2025-2026学年高一下学期7月期末联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若与共线，则( )
A. B. C. D.
3.空间中有一平面和两条直线，且，设甲：，乙：，则甲是乙的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的高为，轴截面面积为，体积为，则其母线与底面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，已知，点在边上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，满足，，则( )
A.
B.
C. 当时，，同向
D. 当时，在上的投影向量为
10.在平面四边形中，，，，则( )
A. B. 的外接圆半径为
C. D. 的外接圆半径为
11.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，且该圆锥侧面上存在三条两两垂直的母线若圆锥的底面半径为，点为底面圆周上不重合的动点，则
A. 圆锥侧面展开图的圆心角为 B. 圆锥轴截面顶角的余弦值为
C. 面积的最大值为 D. 点到平面的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是方程的两个不同的根，则 ．
13.在正四棱锥中，，二面角的余弦值为，则 ．
14.已知函数，设为的最小正零点，为的定义域之外的最小正数，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，．
若是纯虚数，求；
若的实部是虚部的倍，求．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点．
求直线与所成角的余弦值；
证明：平面平面．
17.本小题分
已知函数，其中，，且．
求．
若在上有且仅有个零点．
求的取值范围；
设，，若在上有且仅有个不同的解，，求．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，，过点作，垂足在棱上
证明：；
若的面积为，．
求二面角的正切值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
在中，．
当时，求的值
求
若，，求的外接圆半径．
附：
．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：
因为 是纯虚数，所以其实部为，且虚部不为，即
由，得此时符合题意，所以
将分母实数化，得
所以 的实部为，虚部为．
由“实部是虚部的 倍”，得
整理得所以

16.【答案】解：因为直三棱柱的对应棱互相平行，所以
因此，直线 与 所成的角等于．
因为 为棱 的中点，且，所以
又因为直三棱柱的侧棱垂直于底面，所以
因此
在直角三角形 中，
在直角三角形 中，
又
因为所以
故在直角三角形 中，
因此，直线 与 所成角的余弦值为．
因为所以
由直三棱柱的性质，得
因为直线 在平面 内，所以
又 与 相交于点，且直线、都在平面 内，所以
因为直线 在平面 内，所以
下面证明．
因为，且，所以在直角三角形 中，
同理，
又所以在三角形 中，
因此
由于 与 相交于点，且直线、都在平面 内，所以
又直线 在平面 内，因此

17.【答案】解：由辅助角公式，，
由，得所以
因此即
又，故只有符合条件，所以．
由可得
当时，．
函数的正零点依次为，
要使在上有且仅有个零点，必须使前三个零点落在内，
而第四个零点不落在该开区间内．
因此
两边同时除以，得．
即．
由及，得
于是方程化为即
设则．
方程的正解从小到大依次为，
因为该方程在上有且仅有个不同的解，所以必为前两个正解，
从而
于是
因此
即
又因为，所以
故．

18.【答案】解：因为平面 平面，且两平面的交线为，又 平面，且，所以由面面垂直的性质定理，得
因为 平面，所以
因为，，，所以由勾股定理，
又因为，所以 是 中边 上的高．
由，得所以．
在直角三角形 和 中，
两式相减，结合，得．
又因为 在线段 上，所以
于是
联立 与，解得
在平面 内，过点 作，垂足为，连接．
由第问可知，又，且 与 相交于点，所以 平面，从而．
其中，平面，平面，且、均过棱 上的点，所以 是二面角 的平面角．
在平面 内，因为，，所以，从而．
于是
在直角三角形 中，
故二面角 的正切值为．
在直角三角形 中，
又因为，所以
设点 到平面 的距离为．
以 为底面时，因为 平面，三棱锥 的体积为
以 为底面时，同一个三棱锥的体积为
由等体积关系，得
解得
因此，点 到平面 的距离为．

19.【答案】解：当时，
由已知得，
可得．
由参考公式及已知条件，
可得，，
因为，所以，
代入得．
整理得，
利用，
得，
所以，
若，则，
所以，即．
若，
则或，构不成三角形，舍去故C．
由，
可得C.
又由，得，
可得，，
于是．
记的外接圆半径为，由正弦定理得．
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