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2026年福建省莆田市擢英中学6月中考模拟数学试题
一、单选题
1．下列各数绝对值最大的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．2025年政府工作报告中指出，截至2025年底，中国新能源汽车保有量为4397万辆，其中4397万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则该几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，前三个月累计进馆1092人次，设进馆人次的月平均增长率为，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ）
A．48 B．60 C．72 D．96
9．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、四边形、四边形均为正方形．若，，则的值为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．使分式 有意义的的取值范围是___________．
12．因式分解： =__________．
13．如图，的顶点在正六边形的边上，，则______．
14．方程的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数（）的图象上．若，，则k的值为__________．
16．如图，某款“不倒翁”的主视图是圆弧和两线组成的轴对称图形，倒至最歪位置时，点的对应是点，点的对应是点，若半径为，，，那么原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是________．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：．
19．先化简，再求值：，其中.
20．2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组
第2组 10
第3组 15
第4组 40
第5组
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数．
21．如图，在中，，以AB为直径的交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
(1)求作的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
22．人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
23．【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”．
(1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 _________
②平行六边形的三组主对角分别相等 _________
③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
(2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形：
(3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
24．如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点．
(1)若，请直接写出，的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)若平分，求的长．
25．在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，．
(1)当时，求该函数表达式；
(2)若点，都在直线上，求的值；
(3)当时，都有，求的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】解：∵ ，，，
又∵
∴ 绝对值最大的是．
2．D
【详解】∵ 万，将原数表示为科学记数法时，得到，满足，原数小数点向左移动了位，
∴ ，即，
故选：D．
3．A
【详解】解：A为从上向下看得到的图形，即为俯视图；
B为从左向右看得到的图形，即为左视图；
C为从下向上看得到的图形，不是三视图；
D为从前向后看得到的图形，即为主视图．
故选：A．
4．B
【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误．
选项B：∵，∴B计算正确．
选项C：∵，∴C计算错误．
选项D：∵，∴D计算错误．
5．B
【详解】解：三角尺中，，，
，
，
，
，
，选项符合题意．
6．A
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
表示在数轴上如图所示：
7．D
【详解】解：由题意，可列方程为．
8．A
【详解】解：菱形，
，
，
，
，
，
是的中点，
是斜边上的中线，
，
，
，
菱形的面积为．
9．C
【详解】解：∵为正方形， ，
∴，
∵为正方形，，
∴，，
∴在中，，
∵为正方形，
∴．
10．C
【详解】解：∵，
∴点，
∵，
∴点B的横坐标为，点C和点D的横坐标为，
∴点B、点C的纵坐标为，点D的纵坐标为，
∴，，
∴．
11．
【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ，
解得 ．
故答案为： ．
12．（x+4）（x-4）
【详解】x2-16=(x+4)(x-4)，
故答案为：(x+4)(x-4)
13．
【详解】解：正六边形的内角和为，
，
四边形是平行四边形，，
，
．
14．10或11
【详解】解：，
，
解得：，，
若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为；
若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为．
则这个三角形的周长为10或11，
故答案为：10或11．
15．
【详解】解：∵在中，，，，，
∴，
∴，
∴．
16．
【详解】解：如图：连接并延长交于C，延长至不倒翁最高点A，连接，则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵倒至最歪位置时，点的对应是点，点的对应是点，
∴
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∵原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是的长度，
∴，即原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是．
17．4
【详解】解：
．
18．见解析
【详解】证明：∵
∴
∵为的中点，
∴
∵
∴
∴．
19．；2
【详解】解：原式=
=
=
将x=3代入，
原式=2.
20．(1)10%，30%，
补全频数分布直方图如下：
(2)4
(3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人
【详解】（1）解：抽取的学生人数为人，
则，
，
，，
（2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数，
由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人，
前三组人数为人，前四组人数为人，
则中位数处于第4组的分数段内，
故答案为：4；
（3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为，
则全校91分以上的同学约有（人），
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人．
21．(1)如图所示，直线PQ即为所求；
(2)证明：如图，连接AP，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
是的直径，
，，
，
，
.
【详解】（1）略
（2）略
22．(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
(2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元
【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得：
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
此时；
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台．
∵，
解得：，
设共花费w元，则
，
∵
∴w随m的减小而减小
∴当时，w最小，最小值为11200，
此时，
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
23．(1)错误；正确；错误
(2)
证明：过点作平行且相等于，连接，
则平行四边形是平行四边形，
平行于，，
在平行六边形中，平行于，，
平行且相等于，
为平行四边形，
平行于，，
在平行六边形中，平行于，平行于，
平行于，平行于，
为平行四边形，
，
，
，
，
平行六边形是菱六边形．
(3)
【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知：
①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的；
②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的；
③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的．
（2）略
（3）解：设三角形纸片为，
裁剪后的纸片为菱六边形，
平行于，平行于，平行于，，
，
，
设，
则，
，
，
，
解得：，
．
24．(1)，
(2)
证明：设，
∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴，
∴是的切线；
(3)
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
（2）略
（3）解：∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在Rt中，，
∴．
25．(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线，
∵当时，点，关于对称轴对称，
∴，
∴该函数表达式为：；
（2）解：∵点，点都在直线上，
∴，
由①②得：，即，
∴点坐标为：
将点，坐标代入函数表达式：，
解得：；
（3）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴的右侧，随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
①当时，和在对称轴右侧，随的增大而增大，
∵，
∴，与矛盾，不成立；
②当时，和在对称轴左侧，随的增大而减小，
在对称轴左侧，当，有，与矛盾，不成立；
③当时，在对称轴左侧，点在对称轴右侧，
点对称点为，
当，，需要，
解得

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