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内蒙古自治区乌兰察布市联盟校 2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．若是最简二次根式，则a的值可以是（ ）
A．0.1 B．12 C．15 D．
2．已知菱形的边长为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：，，，，，，则这组数据的众数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．近年来，内蒙古抢抓低空经济发展机遇，将无人机快递试点、配送网络建设等纳入《内蒙古自治区低空经济高质量发展实施方案（2024-2027年）》．2026年，内蒙古将继续深化无人车、无人机等在行业试点应用．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少（ ）
A． B． C． D．
7．为丰富学校课余生活，某校举行射击比赛．甲、乙两人参加学校举行的射击比赛，现将他们射击10次的成绩绘制成折线图如图所示，已知两人射击的平均成绩均为7.9环，则下列说法正确的是（ ）
A．甲射击10次的成绩中，最好的成绩是9环
B．乙射击10次的成绩中，最差的成绩是5环
C．甲的成绩的第一四分位数是8
D．乙的成绩比甲的成绩更稳定
8．杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动金属秤锤（质量为），当秤杆水平时，金属秤锤所在的位置对应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用（单位：）表示待测物的质量，（单位：）表示秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离，则水平距离与待测物质量之间的关系如图2所示．
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离越小
B．当待测物的质量时，测得的距离为
C．若秤锤C在水平距离为的位置，则秤杆在此处的刻度应为
D．若秤杆长为，则杆秤的最大称重质量为
二、填空题
9．将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到的一次函数解析式为______．
10．已知正方形的一条对角线长，则该正方形的周长是___________.
11．某校学生期末操行评定奉行五育并举，德、智、体、美、劳五方面按的比确定最终成绩，小林同学本学期在这五方面的得分（单位：分）分别是：10，9，10，9，8，则小林同学的期末操行最终得分是______分．
12．如图1．在四边形中，，动点P从点B出发，沿的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x的函数图像2所示，那么四边形的面积为_____．
三、解答题
13．解答下列各题
(1)计算：；
(2)如图，在中，，点是延长线上的点，连接．若，，，求的长．
14．已知水的沸点t（单位：℃）随着海拔h（单位：）的变化而变化的情况如表格所示：
海拔 0 1 2 3 4 …
水的沸点 100 97 94 91 88 …
回答下列问题：
(1)上表中的自变量为______，______是______的函数；
(2)直接写出t与h的关系式，并求出当海拔为时，所在位置水的沸点是多少？
15．如图，直线（是常数且）分别交轴，轴于两点，直线（是常数）分别交轴，轴于两点，直线相交于点．
(1)直接写出方程组的解为___________；
(2)求直线与轴围成的三角形的面积．
16．【主题】青少年体能测试数据的统计分析
【活动背景】加强青少年体能是学校体育教学的重要任务．某校从八年级和九年级各随机抽取10名男生进行一分钟引体向上测试，成绩（单位：个）分为四个等级：5个及以下为不合格，6～10个为合格，11～12个为良好，13个及以上为优秀．
【数据收集】抽取的同学成绩如下：
八年级：9，11，6，10，9，15，9，10，11，10；
九年级：11，13，7，10，5，9，8，14，a，12．
【数据分析】如下表：
平均数 中位数 方差
八年级 10 4.6
九年级 b 7.0
(1)根据表格可知，八年级和九年级学生成绩的平均数相同，则______，______；
(2)老师根据已知信息绘制了如图所示的箱线图，请将箱线图补充完整；
(3)从离散程度、成绩等级分布特征、中位数其中一个方面，对这两个年级学生的引体向上成绩作出评价．
17．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O作，交于点F，过点B作的平行线交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
18．某数学实验小组在学习了力的知识后，计划通过实验探究弹簧在不同伸长量下对外界的弹力大小，具体过程如下（实验均在弹簧弹性范围内进行）：
【知识背景】弹簧是一种具有弹性的物体，它能够在外界作用下发生形变并具有恢复原状的能力，且弹簧在不同伸长量下对外界的弹力大小不同．
【收集数据】实验数据如下表：
弹簧长度 22 23 24 25 26 27 28 29
弹力 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
【建立模型】通过表中的数值，在图①的平面直角坐标系中描点、连线，画出弹簧长度与弹簧对外界的弹力大小的图象．
【拓展应用】
(1)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数解析式；
(2)若弹簧的劲度系数（为弹簧受到的拉力，，为弹簧伸长的长度），求的值；
(3)在（2）的条件下，如图②，在两根劲度系数不同的弹簧甲、乙（两根弹簧起始长度相同）上分别挂上两物块，且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时对弹簧的拉力越大，弹簧对外界的弹力也越大），观察图象，则______（填“”“”或“”）；
(4)小南妈妈在市场买了水果，小南将该水果放在袋子中（袋子的质量忽略不计）挂到实验弹簧下，并测得弹簧的长度为，请你通过计算帮助小南确定该市场老板的秤是否足秤（悬挂静止时，，）．
参考答案
1．C
【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
对选项逐一判断：
A、，被开方数含分母，不满足条件，错误；
B、，是能开得尽方的因数，不满足条件，错误；
C、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确；
D、，被开方数含分母，不满足条件，错误．
2．D
【详解】∵菱形的四条边长度相等，已知该菱形边长为，
∴该菱形的周长为 ．
3．C
【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点，
关于x的方程的解为．
故选：C．
4．C
【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，．
统计各数值出现的次数：出现1次，出现1次，出现3次，出现1次．
其中9出现的次数最多，
因此这组数据的众数为，
故选：C．
5．C
【详解】解：相比较而言，注满下面圆柱体，用时较多，高度增加较慢且是匀速增长；注满上面圆柱体，用时较少，高度增加较快，也是匀速增长，
所以选项C的图像符合此图．
故选：C．
6．A
【详解】解：由题意，得最短路程为，
故从仓库到社区配送点的最短路程比原来少．
7．D
【详解】解：由图可得，甲的10次射击成绩中，最好的成绩是10环，故A错误；
乙射击10次的成绩中，最差的成绩是7环，故B错误；
甲的10次射击成绩从小到大排序为：5，6，7，8，8，8，9，9，9，10，
方法一：前面5个数的中位数，即第3个数为第一四分位数，第一四分位数为，
方法二：，
∴第3个数为第一四分位数，第一四分位数为，故C错误；
由折线图可得乙的成绩比甲的成绩更稳定，故D正确.
8．B
【详解】解：根据题意，重物的质量越大，则金属秤锥与提纽的水平距离越大，故A正确，符合题意；
由图2可知，待测物体质量为，则秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离为，故B正确，符合题意；
若金属秤锤移动到处时，测得距离为，则秤杆处的刻度应为，故C错误，不符合题意；
若，则待测物体的质量为，故D错误，不符合题意；
故选：B．
9．/
【详解】解：将向下平移个单位长度得到的一次函数解析式为．
10．
【详解】令正方形ABCD，对角线交于点O，如图所示；

∵AC=BD=4，AC⊥BD
∴AO=CO=BO=DO=2
∴AB=BC=CD=AD=
∴正方形的周长为
故答案为.
11．
【详解】解：（分），
∴小林同学的期末操行最终得分是分 ．
12．18
【详解】解：根据题意，当P在上时，
，
此时y随x的增大而增大，
结合图2得：当时，点P与点C重合，
∴；
当P在上时，，
此时y保持不变，
结合图2得：当时，点P与点D重合，
∴；
∴四边形的面积为．
故答案为：18
13．(1)
(2)
【详解】解：（1）原式．
（2）∵，
在中，，
在中，，
∴．
14．(1)海拔，水的沸点，海拔
(2)，当海拔时，所在位置水的沸点为
【详解】（1）解：自变量为海拔h，水的沸点t是海拔h的函数，
对于每一个海拔h的值，水的沸点t都有唯一确定的值与之对应．
（2）解：设关系式为，
将，代入关系式，
得：，解得：，
∴关系式为，
当时，，即海拔时，所在位置水的沸点为．
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数图象可知，方程组的解为两直线交点，即．
故答案为：；
（2）解：将代入得：，解得，即；
将代入得：，解得，即；
当时，解得：，即；
当时，解得：，即；
．
16．(1)11，10.5
(2)解：补全箱线图如图：
(3)解：从离散程度来看，八年级方差4.6小于九年级方差7.0，且从箱线图看，八年级的箱体长度比九年级的短，即八年级波动比九年级小，说明八年级成绩离散程度更低，个体差异更小；从成绩等级分布特征来看，不合格（5个及以下）：九年级有1个，八年级没有，八年级的情况更优秀；优秀（13个及以上）：八年级有1个，九年级有2个，九年级成绩更优；
中位数：九年级中位数10.5高于八年级中位数10，说明九年级成绩的中间水平更优．（答案不唯一，写出一个合理的即可）．
【详解】（1）解：∵八年级：9，11，6，10，9，15，9，10，11，10；
九年级：11，13，7，10，5，9，8，14，a，12．
∴八年级的平均数为：
，
∴，
解得：，
九年级的数据从小到大排序为：5， 7， 8，9，10， 11，11，12，13，14，
∴中位数为：.
（2）解：九年级的数据从小到大排序为：5， 7， 8，9，10， 11，11，12，13，14，
方法一：前面5个数的中位数为第一四分位数，为，
中位数为：，
后面5个数的中位数为第三四分位数，为，
方法二：，，，
∴第一四分位数为第3个数：，
中位数为，
第三四分位数为第8个数：；
最大值为，最小值为；
画图略
（3）略
17．(1)证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
(2)24
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵．
∴是的中位线，
∴，
∴．
18．(1)与之间为一次函数关系，
(2)
(3)
(4)该市场老板的秤足秤
【详解】（1）解：观察题图①可得，与之间为一次函数关系；
设函数解析式为，
将，分别代入中得，
解得，
∴与之间的函数解析式为；
（2）解：观察表格可得，弹簧原长为，
当弹簧长度为时，弹簧对外界的弹力大小为，
∴，此时，
∴弹簧的劲度系数，
（3）解：物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时对弹簧的拉力越大，弹簧对外界的弹力也越大），
，
由图可知，，则，
，
，，
；
（4）解：由（1）知，
将代入得，
∵小南妈妈买了水果，
∴，
∵，
∴该市场老板的秤足秤．

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