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内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．
3．下列关系式中，y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点是上一点，，平分交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度（单位：米）与操控无人机的时间（单位：分钟）之间的关系图，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是（ ）
A．在上升或下降过程中，无人机的速度均为米/分钟
B．无人机在米高的上空停留的时间是5分钟
C．无人机在米高的上空停留的时间是5分钟
D．第14分钟时无人机的飞行高度是米
6．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与轴的交点坐标是
C．函数值随自变量的增大而减小
D．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
7．如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．某校举办运动会开幕式方阵评比活动，评比内容分为：队列整齐度、精神面貌、创意展示（每项满分均为10分），按照如图所示的占比计算最终成绩．已知九年级（1）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则九年级（1）班的最终成绩为______分．
10．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．
11．直线与在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组的解集为 __．
12．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是______．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)已知，，求的值．
14．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了”航空航天“知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的统计表和箱线图（不完整）．
七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七、八年级抽取学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.5 70
八年级 87
(1)上述表中，________，________，并补全七年级抽取学生成绩箱线图；
(2)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数；
(3)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图表进行说明．
15．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
16．如图，已知在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，菱形的面积为40，求的长．
17．近年来，中国传统服装备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进行销售，进货价和销售价如下表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
(1)该服装店第一次用4200元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16600元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大的销售利润，并求出最大的销售利润是多少元？
18．课本再现
如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．
问题发现
(1)①求证：；
②猜想：，，之间的数量关系是______．
类比迁移
(2)如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明．
拓展应用
(3)如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．
参考答案
1．B
【详解】解：A选项 ，被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式，不符合题意；
B选项 满足最简二次根式的两个条件，符合题意；
C选项 ，被开方数是能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；.
D选项 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意．
2．A
【详解】解：选项A：，，，
，，
，即，
不是直角三角形，符合题意；
选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意；
选项C：，，，
，
是直角三角形，不符合题意；
选项D：设，，（），
，
是直角三角形，不符合题意．
3．B
【详解】解：选项A，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义；
选项B，中，任意给定一个合法的x值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义；
选项C，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义；
选项D，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义．
4．B
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
5．C
【详解】解：由图象可知，在分钟内，无人机上升的高度为（米），时间为分钟，
无人机的上升速度为（米/分钟），
在分钟内，无人机下降的高度为（米），时间为分钟，
下降速度为米/分钟，故选项A说法正确；
无人机在米高的上空停留的时间为（分钟），故选项B说法正确；
由图象可知，无人机在米高的上空停留的时间是（分钟），故选项C说法不正确；
第分钟时，无人机处于下降过程，已下降时间为（分钟），
下降高度为（米），
此时飞行高度为（米），故选项D说法正确．
6．D
【详解】解：已知一次函数
对于A选项，∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确；
对于B选项，令，则，解得，
∴函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确；
对于C选项，∵，
∴函数值随自变量的增大而减小，C结论正确；
对于D选项，将函数图象向下平移4个单位长度，根据平移规律可得新函数解析式为，不是，D结论错误．
7．C
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠的性质可得：，
，即，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
．
8．C
【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意；
、∵一次函数经过一、三、四象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意；
、∵一次函数经过一、三、四象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意；
、∵一次函数经过一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意．
9．
【详解】解：（分）．
10．北偏东50°（或东偏北40°）
【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
11．
【详解】
解：从图象可知：两函数的交点坐标是，
直线与轴的交点坐标是，
所以不等式组的解集是．
故答案为：．
12．
【详解】解：如图，连接，
，，，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
当时，取得最小值，此时也取得最小值，
在中，，，
，
，
，
的最小值为
13．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，，
，
．
14．(1)90，93；
(2)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人
(3)八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间的学生成绩高于90分，所以八年级的学生成绩更好
【详解】（1）解：∵共有12个数据，
∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数，
∴八年级所抽取学生的中位数；
∵93出现的次数最多，
∴八年级所抽取学生的众数；
七年级所抽取学生的中位数；
补全七年级的箱线图如图
（2）解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，（人），
答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人.
（3）略
15．(1)米
(2)米
【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
16．(1)证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
(2)10
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形是菱形，D是的中点，
∴，
∴，
∴．
17．(1)短款服装购进30件，长款服装购进20件
(2)当购进140件短款服装，60件长款服装时可获得最大销售利润，最大销售利润是4600元
【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
由题意得，
解得，
即短款服装购进30件，长款服装购进20件；
（2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，
由题意可得，
解得：，
设总利润为w元，则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，（元），
此时长款服装数量为（件），
即当购进140件短款服装，60件长款服装时可获得最大销售利润，最大销售利润是4600元．
18．(1)①证明见解析；
②；
(2)，证明见解析；
(3)．
【详解】（1）解：①正方形中，，，
正方形中，，
，，
，
即，
在和中，
，
；
②解：，理由如下：
，
，
正方形中，，，
，
即，
中，，
；
（2）解：，理由如下：
连接，延长交于点，
点是矩形的中心，
，
矩形中，，，
，
在和中，
，
，
，，
矩形中，，
垂直平分，
，
中，，
；
（3）解：如下图：，，
，
过点作，延长交于点，连接、，
，
点是边的中点，，，，
，，
在和中，
，
，
，，
又，
即垂直平分，
，
中，，
中，，
，
设，则，
有，
解得，
．

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