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人教版普高物选修1 第2章 机械振动 第4讲 单摆（讲义）--教师版（定稿）
普高物理新教材选修1第2章机械振动 第4讲 单摆
知识点1、单摆的回复力
情景导学：如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
答案　(1)小球受重力和细线的拉力作用。
(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(3)小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。
1、单摆的组成：由细线和小球组成。
2、理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略。
(2)小球的直径与线的长度相比可以忽略。
(3)细线的形变量与细线长度相比可以忽略（细线的长度不可改变）。
(4)空气阻力与小球的重力及细线的拉力相比可以忽略。
3、单摆的回复力
(1)单摆受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝ mgsin θ ，提供了使摆球振动的回复力。
(4)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
思考：判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
提示　模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。
模型⑤是单摆。
模型⑥不是单摆，球的直径与绳的长度相比不能忽略。
4、证明一个振动是简谐运动的两种方法
(1)动力学角度：回复力与位移关系满足F＝－kx。
(2)运动学角度：位移与时间的关系满足x＝Asin(ωt＋φ0)，x－t图像为正弦曲线。
5、单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此单摆的回复力可表示为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
6、理解回复力的两点提醒
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与摆球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中摆球受力平衡的位置。摆球摆动到平衡位置时，回复力为零，但有指向悬点的力的作用。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力FT的合力。　　　　
专题讲练1
1、(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　ABC　)
A．摆线质量不计 B．摆线不伸缩
C．摆球直径比摆线长度小得多 D．摆角小于5°
2、(多选)关于单摆，下列说法中正确的是(　AC　)
A．单摆摆球的回复力指向平衡位置 B．摆球经过平衡位置时加速度为零
C．摆球运动到平衡位置时，所受回复力等于零
D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
3、(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　BC　)
A．摆球受到的回复力是它所受的合力 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
4、(多选)关于单摆及其振动，以下认识正确的是(　BC　)
A．将某个物体用绳子悬挂起来就构成一个单摆
B．将小球用长度不变的细长轻绳悬挂起来，就构成一个单摆
C．单摆以很小的摆角在竖直面内的自由摆动是简谐运动
D．单摆在人的不断敲击下做摆幅越来越大的运动是简谐运动
5、有一正在摆动的秒摆(T＝2 s)，若取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，那么当t＝1.6 s时，以下对摆球的运动情况及回复力变化情况的说法中正确的是(　D　)
A．正在向左做减速运动，回复力正在增大 B．正在向右做减速运动，回复力正在增大
C．正在向右做加速运动，回复力正在减小 D．正在向左做加速运动，回复力正在减小
解析　秒摆的周期为T＝2 s，取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，当t＝1.6 s时，即T＜t＝1.6 s＜T，说明摆球正从最右端向平衡位置做加速运动，即向左做加速运动；由于摆角在变小，故F回＝mgsin θ也在变小，A、B、C错误，D正确。
6、振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力（ C ）
A．指向地面 B．指向悬点 C．数值为零 D．垂直摆线，指向运动方向
7、关于单摆的运动，下列说法正确的是（　B　）
A. 单摆摆动时，摆球所受的向心力大小不变 B. 摆球经过平衡位置时，所受回复力为零
C. 摆球振动的回复力是摆球受到的合力 D. 摆球经过平衡位置时，所受合力为零
8、单摆在竖直平面内做简谐运动，下列说法正确的是 （ AC ）（多选）
A．其最大摆角小于5°
B．其回复力是由摆球的重力和悬线拉力的合力提供的
C．测量周期时应该从摆球经过平衡位置开始计时
D．“秒摆”是摆长为1m、周期为1s的单摆
9、图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　C　)
A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
10、(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则(　AD　)
A．t1和t3时刻摆线的拉力等大
B．t2和t3时刻摆球速度相等
C．t3时刻摆球速度正在减小
D．t4时刻摆线的拉力正在减小
11、(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　CD　)
A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
12、同一地点的两单摆甲、乙（平衡位置在同一水平线上）的振动图像如图所示，已知两单摆摆球的质量相等，则甲摆球的机械能___________（填“大于”、“等于”或“小于”）乙摆球的机械能；两球的最大回复力之比为___________。
答案 ①. 大于 ②. 10:7
知识点2、单摆的周期
情景导学：如图所示，摆球质量相同，摆长不同的单摆，摆动周期不同；摆长相同而摆球质量不同或振幅不同的单摆振动周期却相同，这说明什么？
提示　这说明单摆的周期与摆长有关而与摆球质量及振幅无关。
1、探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球质量无关(选填“有关”或“无关”)。
②在振幅较小时周期与振幅无关(选填“有关”或“无关”)。
③与摆长有关(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大。摆长越短，周期越小。(选填“越大”“越小”或“不变”)
2、单摆周期公式
(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
思考：惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
答案　(1)摆针走时偏快应调节螺母使圆盘沿摆杆下移。 (2)调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
3、对单摆周期公式的理解
3.1、成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。
3.2、影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
3.3、对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(2)普通单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
3.4、周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
专题讲练2
2.1、单摆的周期公式
1、做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的，则单摆振动的（　C　）
A．频率、振幅都不变 B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变 D．频率改变、振幅不变
2、有一摆长为l的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片如图所示（悬点和小钉未被摄入）。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为 （ A ）
l B．l C．l D．无法确定
3、某单摆由1m长的摆线连接一个直径2cm的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是 （ C ）
A．用大球替代小球，单摆的周期不变 B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
4、已知在单摆完成次全振动的时间内，单摆完成次全振动，两摆长之差为，两单摆摆长和分别为( B )
A． B．
C． D．
5、某单摆由 1m 长的摆线连接一个直径 2cm 的铁球组成。关于单摆周期，下列说法中正确的是（ C ）
A．用大球替代小球，单摆的周期不变 B．摆角从 5 改为 3 ，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变 D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
6、将周期为 3 秒的单摆摆长剪去 5/9 后，其周期将变为（ C ）
A．4.5 秒 B．2.2 秒 C．2.0 秒 D．1.33 秒
7、（多项）甲乙两人同时观察同一单摆的振动，甲每经过 2.0s 观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处；乙每经过 3.0s 观察一次摆球的位置，发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，由此可知该单摆的周期可能是（ AB）
A. 0.5s B. 1.0s C. 2.0s D. 3.0s
8、一单摆的摆长 l=98cm，在 t=0 时，正从平衡位置向右运动，则当 t=1.2s 时，下列关于摆球的运动描述正确的是（ A ）（g 取 9.8m/s2）
A. 正向左做减速运动，加速度正在增大 B. 正向左做加速运动，加速度正在减小
C. 正向右做减速运动，加速度正在增大 D. 正向右做加速运动，加速度正在减小
9、如图所示是一个单摆（θ<5°），其周期为 T，则下列说法正确的是（ C ）
A．仅把摆球的质量增加一倍，其周期变小
B．摆球的振幅变小时，周期也变小
C．此摆由 O→B 运动的时间为T /4
D．摆球在 B→O 过程中，动能向势能转化
10、空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ C ）
A．不变 B．变大 C．先变大后变小回到原值 D．变小后变大回到原值
11、一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是（ C ）
A. g甲>g乙，将摆长适当增长 B. g甲>g乙，将摆长适当缩短
C. g甲12、在上海走时准确的摆钟，随考察队带到北极，则这个摆钟(　D　)
A．变慢了，重新校准应减小摆长 B．变慢了，重新校准应增大摆长
C．变快了，重新校准应减小摆长 D．变快了，重新校准应增大摆长
13、(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是( AC)
A．当摆钟不准时需要调整圆盘的上、下位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移 D．把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移
14、如图，两个摆长相同的单摆一前一后悬挂在同一高度，虚线表示竖直方向，分别拉开一定的角度（都小于5°）同时由静止释放，不计空气阻力。沿两单摆平衡位置的连线方向观察，释放后可能看到的是（　C　）
A. B. C. D.
15、有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次所用的时间t＝60.8 s，试求：
(1)当地的重力加速度是多大？ (2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
答案　(1)9.79 m/s2　(2)缩短　0.027 m
解析　(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2π，由此可知g＝，只要求出T值代入即可。 因为T＝＝ s≈2.027 s，所以 g＝＝ m/s2≈9.79 m/s2。
(2)秒摆的周期T0＝2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的周期公式有＝
故有l0＝＝ m≈0.993 m 所以其摆长要缩短 Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m。
2.2、单摆周期的应用
1、空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ C ）
A．不变 B．变大
C．先变大后变小回到原值 D．变小后变大回到原值
2、同一单摆放在甲地的振动频率为f1,放在乙地的振动频率为f2,那么甲、乙两地的重力加速度之比为( C )
A. B. C. D.
3、图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触．现将摆球在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以分别表示摆球的质量，则（CD）（多选）
A．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
4、一只单摆，在第一个星球表面上的振动周期为 T1 ，在第二个星球表面上的振动周期为 T2。若这两个星球的质量之比 M1：M 2 = 4 :1=，半径之比 R1：R 2 =2:1，则 T1 :T2 等于（ A ）
A．1:1 B．2 :1 C．4 :1 D．8:1
5、如图所示的单摆，摆球向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的黏性小球发生碰撞，并黏接在一起，且摆动平面不变．已知碰撞前球摆动的最高点与最低点的高度差为，摆动的周期为，球质量是球质量的5倍，碰撞前球在最低点的速度是球速度的一半．则碰撞后（D）
A．摆动的周期为 B．摆动的周期为
C．摆球的最高点与最低点的高度差为
D．摆球的最高点与最低点的高度差为
6、两个质量相等的弹性小球分别挂在l1＝1.00 m，l2＝0.25 m的细绳上，两球重心等高，如图所示。现将B球在竖直面内拉开一个较小的角度放开后，从B球开始运动计算，经过4 s两球相碰的次数为(取π2≈10)(　C　)
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
解析　先计算两球运动的周期，T1＝2π＝2 s，T2＝2π＝1 s，从B开始运动经，即0.25 s第一次相碰，并经，即1 s第二次相碰；再经，即0.5 s第三次相碰，可推证到第5次相碰共用时3.25 s，到第六次相碰共用时4.25 s，故经过4 s两球相碰的次数为5次，故C正确。
7、一只单摆，在第一个星球表面上的振动周期为 T1 ，在第二个星球表面上的振动周期为 T2 。若这两个星球的质量之比 M1 :M 2 = 4 :1，半径之比 R1 : R 2 = 2:1 ，则T1 :T2 等于（ A ）
A．1:1 B．2 :1 C．4 :1 D．8:1
8、一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的．在地球上走时准确的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的实际时间（ C ）
A． B． C． D．
9、地球表面的重力加速度约为 9.8m/s2，月球表面的重力加速度是地球上的 1/6 ，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过 24 小时，该钟在月球上显示经过了（ B ）
A．4 小时 B．9.8 小时 C．12 小时 D．58.8 小时
10、质量为m的单摆，拉开一个较小的角度后由静止释放，摆线的拉力大小F随时间t变化的图像如图所示，重力加速度为g，则该单摆的周期为____________；摆球在平衡位置的加速度为____________。（结果用题或图中所给的符号表示）
答案：. ①. ②.
11、如图，在：半径为2.5m的光滑圆环上切下一小段圆弧，放置于竖直平面内，两端点距最低点高度差H为1cm．将小环置于圆弧端点并从静止释放，小环运动到最低点所需的最短时间为____s，在最低点处的加速度为____m/s2．(取g＝10m/s2)
答案： ①. ②. 0.08
12、如图所示，两个完全相同的弹性小球1,2，分别挂在长L和L/4的细线上，重心在同一水平面上且小球恰好互相接触，把第一个小球向右拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第10次碰撞？
解析:因将第1个小球拉开一个不大的距离，故摆动过程应符合单摆的周期公式有，,系统振动周期为，在同一个T内共发生两次碰撞，球1从最大位移处由静止释放后．经发生10次碰撞，且第10次碰后球1又摆至最大位移处.
13、如图甲所示， t = 0 时刻摆球从 A 点由静止释放，小球在 A 点时，摆线与竖直方向的角度θ小于 50。摆球在 A、C 之间做简谐运动，B 点为小球运动中的最低位置细线对摆球拉力 F 与时间 t 变化的曲线如图乙所示，图乙中 Fm、Fn 、t0 均已知，重力加速度为 g ，求单摆的摆长 L 和摆球的质量 m 。
【答案】
14、将一个力电传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力．图甲中 O 点为单摆的固定悬点，将质量为 m＝0.05 kg 的小摆球(可视为质点)拉至 A 点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的 A、C 之间来回摆动，其中 B 点为运动中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ 小于 5°且是未知量．由计算机得到的细线对摆球的拉力大小 F 随时间 t 变化的曲线如图乙所示，图中 t＝0 时刻为摆球从 A 点开始运动的时刻．试根据力学规律和题中所给的信息求：(g 取 10 m/s2，π≈3.14)
(1)单摆的振动周期和摆长； (2)摆球运动过程中的最大速度．
15、一个秒摆竖直平面内 A 、B 、C 之间做简谐振动，当摆球振动最低点 B 向右运动时，在 B 点正下方，一个小球 M 沿着光滑的水平面正向右运动，小球 M 与 B 点正右方相距为 S 的竖直墙壁碰撞后以原速率的一半反弹，返回到 B 点正下方时，摆球也恰好又摆到 B点向左运动。小球 M 与墙壁碰撞时间极短，可不计，则小球 M 的速度可能的数值是多少？
答案： m/s（n=0,1,2,3 ）
16、有一个单摆，其摆长L=1.02m，摆球的质量m＝0.1kg，从和竖直方向成摆角θ= 40的位置无初速度开始运动（如图所示），问：
（1）已知振动的次数n＝30次，用了时间t＝60.8 s，重力加速度g多大？
（2）摆球的最大回复力多大？ （3）摆球经过最低点时速度多大？
（4）此时悬线拉力为多大？
（5）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？为什么？（取sin40＝0.0698，cos40 ＝0.9976，π＝3.14）
【解析】（1）θ＜50，单摆做简谐运动，其周期T=t/n=60.8/30 s＝2.027 s，
根据T=2得，g=4×π×1.02/2.0272=9.791 m/s2。
（2）最大回复力为 F1＝mgsin4o=0．1×9.791×0.0698 N＝0.068 N
（3）单摆振动过程中，重力势能与动能互相转化，不考虑阻力，机械能守恒，其总机械能E等于摆球在最高处的重力势能E，或在最低处的速度 v＝=0．219 m/s。
（4）由T－mg=mv2/L得悬线拉力为T=mg十mv2/L=0.l×10十0.l×0．2l92/1.02＝0.52 N
（5）秒摆的周期T=2 s，设其摆长为L0，根据T=2得，g不变，
则T∝ 即T∶T0=∶ 故L0= T02L/T2=22 ×l．02/ 2.0272=0．993m，
其摆长要缩短ΔL＝L—L0＝1.02 m—0.993 m=0.027m
17、如图所示，光滑的半球壳半径为 R，O 点在球心 O′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O点很近的 A 点由静止释放，R AO.
(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心 O′处自由落下，求两球第一次到达 O点的时间之比；
(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在 O 点正上方某处自由落下，为使两球在 O 点相碰，小球应由多高处自由落下？
2.2、单摆的图像
1、图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置．当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙会在板上显示出沙摆的振动位移随时间变化的关系曲线．已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s，图乙所示的一段木板的长度为0.60 m，则这次实验沙摆的摆长大约为(取g＝π2) (　A　)
A．0.56 m B．0.65 m C．1.00 m D．2.25 m 甲　　　　　　乙
2、如图甲所示是演示简谐运动的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板被匀速拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在木板上形成的曲线表示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线代表时间轴，如图乙中是两个摆中的沙在各自的木板上形成的曲线，若板和拉动的速度和的关系为，则板和上的曲线所代表的振动周期和之间的关系为（ D ）
A． B． C． D．
3、如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为( B )
A. B.
C. D.
解析　由题图乙可知，该单摆恰好摆动2.5个周期，故满足T＝，单摆周期公式为T＝2π，解得该单摆的等效摆长为l＝，B正确。
4、(多选)甲、乙两位同学分别使用图甲中所示的同一套装置，观察单摆做运动时的振动图像。已知两人实验时所用的摆长相同，落在同一木板上的细砂分别形成的曲线如图乙中N1、N2所示。下列关于两图线相关的分析正确的是(　BC　)
A．N1表示砂摆振动的幅度较大，N2表示砂摆振动的幅度较小
B．N1与N2振动的周期相同
C．N1对应的木板运动速度比N2对应的木板运动速度大
D．N1对应的砂摆摆到最低点时，摆线的拉力比N2对应的拉力大
由题图乙可知，N1表示砂摆振动的幅度与N2表示砂摆振动的幅度相同，故A错误；由公式T＝2π可知，两摆由于摆长相同，则两摆的周期相同，故B正确；由题图可知，N1对应的木板运动时间为T，N2对应的木板运动的时间为2T，则N1对应的木板运动速度比N2对应的木板运动速度大，故C正确；由动能定理有mgl(1－cos θ)＝mv2，在最低点有FT－mg＝m，解得FT＝3mg－2mgcos θ，由于两摆的振动幅度相同，即θ相同，则拉力相同，故D错
5、图为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是（ABD）（多选）
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆大
C．甲摆的机械能比乙摆大
D．在t＝0.5 s时有最大正向加速度的是乙摆
6、摆长为l的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(取t＝0)，当振动至t＝ 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是下列图中的 (　D　)
7、（多选）两个单摆的悬挂位置的高度相同，其摆球质量相等，它们做简谐运动的振动图像如图所示．关于两单摆的摆动情况，下列说法中错误的是（BC）
A．摆动周期有
B．摆长有
C．摆动过程中的 t1 时刻，摆角相等
D．摆动过程中的 t2 时刻，两摆球有最大势能差
8、(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，且甲、乙两摆球质量相等，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是(　AC　)
A．甲的摆长与乙的摆长相等
B．甲的摆长比乙的摆长长
C．甲的机械能比乙的大
D．在t＝0.5 s时有负向最大加速度的是乙摆
解析　从图中可得两者的周期相同，都为2.0 s，又知道两者在同一个地点测量的，g相同，根据单摆周期公式T＝2π，可知两单摆的摆长相等，故A正确，B错误；甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7 cm，则甲摆的振幅比乙摆的大，由于甲、乙两摆球质量相等，甲球的机械能比乙球的机械能大，故C正确；在t＝0.5 s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度，故D错误。
9、一单摆做小角度摆动，其振动图象如图。以下说法正确的是（ D ）
A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B．t2 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
10、如图所示，乙图图像记录了甲图单摆摆球的动能、势能和机械能随摆球位置变化的关系，下列关于图像的说法正确的是（ CD ）（多选）
A．a 图线表示势能随位置的变化关系
B．b 图线表示动能随位置的变化关系
C．c 图线表示机械能随位置的变化关系
D．图像表明摆球在势能和动能的相互转化过程中机械能不变
11、甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的振动图像如图 4 所示，可知( D )
A．甲、乙两单摆的频率之比为 2∶1
B．甲、乙两单摆的摆长之比为 2∶1
C．0.5～1.0 s 时间内，甲摆球的速度减小
D．t＝0.5 s 时甲摆球势能最大，乙摆球动能最大
12、同一地点两个做简谐运动的单摆的摆长分别为l1和l2，它们的位移—时间图像如图中1和2所示，由此可知，l1∶l2 等于( D )
A．1∶3 B．4∶1 C．1∶4 D．9∶1
13、 (多选)如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知(　ABD　)
A．单摆振动的频率是1.25 Hz
B．t＝0时摆球位于B点
C．t＝0.2 s时摆球位于平衡位置O，加速度为零
D．若当地的重力加速度g＝π2，则这个单摆的摆长是0.16 m
解析　由振动图像可判断，该单摆的周期为0.8 s，频率为f＝＝＝1.25 Hz，故A正确；由于规定摆球向右运动为正方向，且B点为摆球所能到达的左边最远位置，由振动图像可判断，t＝0时摆球位于B点，故B正确；由振动图像可判断，t＝0.2 s时摆球位于平衡位置O，但摆球受到的合力不为零，所以加速度不为零，故C错误；根据单摆的周期公式T＝2π，可得l＝，把T＝0.8 s，g＝π2，代入计算得l＝0.16 m，故D正确。
14、夏天的河上，有几名熟悉水性的青年将绳子挂在桥下荡秋千，绳子来回荡几次后跳入河中，现把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是(　D　)
A．小王荡秋千时，其周期大于6.28 s
B．图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零
C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小
D．该秋千的绳子长度约为10 m
15、(多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　BCD　)
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
16、将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示．某同学由此图象提供的信息做出的下列判断中，正确的是（ AC ）（多选）．
A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点 B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点
C．摆球摆动过程中机械能减小 D．摆球摆动的周期是T＝1.4 s
17、有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2-L图象，如图甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图象(如图乙所示)，由图可知，两单摆摆长之比=________.在t＝1 s时，b球振动的方向是________．【答案】　B　2　沿y轴负方向
【解析】　由单摆的周期公式T＝2π得：T2＝l，即图象的斜率k＝，重力加速度越大，斜率越小，我们知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同学所测实验结果对应的图线是B；从题图可以得出Tb＝1.5Ta，由单摆的周期公式得：Ta＝2π，Tb＝2π，而由图甲可知＝·＝，所以联立解得＝2；从题图可以看出，t＝1 s时b球正在向负最大位移运动，所以b球的振动方向沿y轴负方向．
18、如图为一单摆及其振动图象，回答：
（1）单摆的振幅为 3cm ，频率为 0.5Hz ，摆长为 1m ，一周期内位移x（F回、a、Ep）最大的时刻为 0．5 s末和1．5s末 ．
（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的 E、G、E、F 点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是 1.5—2.00s 。势能增加且速度为正的时间范围是 0—0.5 s ．
（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（ BD ）
A．位移；B．速度；C．加速度； D．动量；E．动能；F．摆线张力
（4）当在悬点正下方处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且．则单摆周期为 s．比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力 ．解析：T＝ T左十T右=1．5s．挡后绳张力变大．
（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动？解析：在最大位移处线断，此时球速度为零，只受重力作用，所以球做自由落体运动．
在平衡位置线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以做平抛运动．
19、如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝ m/s，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求：
(1)单摆的摆长l；
(2)摆球的质量m；
(3)摆线拉力的最小值。
答案　(1)1 m　(2)0.1 kg　(3)0.99 N
解析　(1)由乙图可知单摆周期为T＝2 s
根据单摆周期公式T＝2π ，解得l＝1 m。
(2)当拉力最大时，即F＝1.02 N ，摆球处在最低点，由牛顿第二定律F－mg＝m 解得m＝0.1 kg。
(3)从最低点到最高点，由动能定理得 －mgL(1－cos θ)＝0－mv2 解得cos θ＝0.99
在最高点摆线的拉力最小，最小值为 F′＝mgcos θ＝0.99 N。
20、如图所示，一个半径为R的凹槽，该槽是圆柱体侧表面的一部分。MN、PQ为圆表面的母线，在其一端的最低处有一小孔B。现让一小球（球的半径略小于B孔的半径而远小于R）从槽的另一端的边缘点A处（A靠近槽的最低点），以初速度v0开始沿平行于MN的方向运动，若。MN=PQ=L，不计摩擦，要使小球运动到槽的另一端时，恰能落入B孔中，则小球的初速度为___________。
答案：. ，（n=0，1，2，3，…）
21*、有一摆钟的摆长为ll时，在某一标准时间内快amin。若摆长为l2时，在同一标准时间内慢bmin。，求为使其准确，摆长应为多长？（可把钟摆视为摆角很小的单摆）。
【解析】设该标准时间为ts，准确摆钟摆长为lm，走时快的钟周期为T1s，走慢时的周期为T2s，准确的钟周期为T3。不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示时间都是Ts。
（法一）由各摆钟在ts内钟面上显示的时间求解，
对快钟： t＋60a=T； 对慢钟： t— 60a=T
联立解，可得== 最后可得L=。
（法二）由各摆钟在ts内的振动次数关系求解：
设快钟的 t s内全振动次数为 nl，慢钟为 n2，准确的钟为n。显然，快钟比准确的钟多振动了60a/T次，慢钟比准确的钟少振动60b/T次，故：
对快钟：nl＝t/T1＝n＋60a/T＝t/T+60a/T 对慢钟：n2＝t/T2＝n－60b/T＝t/T－60b/T
联解①②式，并利用单摆周期公式T＝2同样可得L=
点窍：对走时不准的摆钟问题，解题时应抓住：由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T。
知识点3、　“单摆”模型的拓展---等效法处理单摆问题---等效单摆
1、圆弧摆
如图所示，有一光滑圆弧曲面AO′B，在A处放一小球，圆弧摆做简谐运动的条件：
(1)圆弧曲面光滑。
(2)小球直径和圆弧弧长远小于圆弧的半径R。
(3)小球在曲面AO′B上做往复运动，圆弧摆周期T＝2π。
2、等效摆长：
1、等效摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离，不一定是摆线长。
(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。
(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
3、等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
4、等效重力加速度
在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度g等效，其大小等于单摆相对系统静止在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
实际问题中，g等效的取值由单摆所处的位置、状态和摆球的受力情况而决定。
不管处于哪种情况，重力加速度的等效值g等效等于摆球相对系统静止在平衡位置时（也就是摆球相对于悬点不摆动时的位置）摆线所受的拉力与摆球质量的比值，即g等效=
提醒：由于单摆的回复力是在切线方向上力提供的，如果力的方向始终在悬绳的方向上，并不引起单摆回复力变化的情况下，上述方法并不适用，如摆球带电，再在悬点出固定一个带电小球，两球之间的静电力不引起回复力的变化，单摆的等效重力加速度仍然是当地的重力加速度。
5、不同系统中的等效重力加速度
情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度
g等效＝g－a g等效＝
g等效＝g＋a g等效＝g
g等效＝ g等效＝g
水平方向上加速 g等效 光滑斜面加速下滑 g等效gcos
专题讲练3
3.1、圆弧摆
1、一个打磨得很精细的小凹镜，其凹面可视为面，将镜面水平放置如图所示。一个小球从镜面边缘开始释放，小球在镜面上将会往复运动，以下说法中正确的是（AD ）（多选）
A. 小球的运动是简谐运动
B. 不能判断小球做简谐运动
C. 小球简谐运动的回复力是重力跟支持力的合力
D. 小球简谐运动的回复力是重力沿曲面切向的分力
2、如图，竖直平面内有一半径为1.6m、长为10cm的圆弧轨道，小球置于圆弧端点并从静止释放，取g＝10m/s2，小球运动到最低点所需的最短时间为 （ A ）
A．0.2πs B．0.4πs
C．0.8πs D．πs
3、如图所示，甲、乙两个体重相等的小孩玩滑梯游戏，AB 为半径很大的光滑圆槽，A、B 两点在同一水平高度上，且 AB 弧长远小于半径，圆槽的最低点为 O，开始时甲静止在A 点，乙静止在弧 OB 的中点 C，听到哨声两人同时无初速滑下，则（A ）
A．两人在 O 点相遇 B．两人在 O 点左侧相遇
C．相遇时的动能相同 D．相遇时两人的向心加速度相同
4、如图所示，一个光滑弧形凹槽半径为 R，弧长为 L(已知 R L)．现将一质量为m 的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动．已知重力加速度大小为 g，下列说法正确的是( B )
A．小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力
B．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力
C．小球做简谐运动的周期为 D．小球运动到凹槽最低点时所受合力为零
5、如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2，圆心分别为O1和O2，所对应的圆心角均小于5°，在最低点O平滑连接。M点和N点分别位于O点左右两侧，距离MO小于NO。现分别将位于M点和N点的两个小球A和B（均可视为质点）同时由静止释放。关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是 （ C ）
A．恰好在O点 B．一定在O点的左侧
C．一定在O点的右侧 D．条件不足，无法确定
6、如图所示，AO′段为半径为R的光滑圆弧面，BO′段为光滑斜面，相交处平滑过渡，已知圆弧弧长 R，且A、B等高，现有三个小球，a球从A点由静止释放沿圆弧下滑，b球从B点由静止释放沿斜面下滑，c球从圆心O点由静止释放，若三个小球同时释放，则下列说法正确的是(　C　)
A．a球最先运动到圆弧最低点 B．b球最先运动到圆弧最低点
C．c球最先运动到圆弧最低点 D．三个小球同时到达圆弧最低点
解析　设斜面的倾角为θ，c球做自由落体运动，有R＝gt，得tc＝；a球做单摆运动，a球从静止运动到最低点的时间ta＝＝×2π＝；对于b球，有2Rcos(90°－θ)＝gsin θ·t，得tb＝2，则tb＞ta＞tc，c球最先运动到最低点，b球最后到达O′点，故A、B、D错误，C正确。
7、如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则(　A　)
A．球A先到达C点 B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点 D．无法确定哪个球先到达C点
解析　球A做自由落体运动，到达C点的时间为tA＝＝,当弧BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T＝2π＝2π， 因此球B运动到C点所需的时间是 tB＝＝ ,故tA8、如图所示，位于竖直平面内的固定半径为R的光滑圆环轨道，圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则a、b、c、d四个小球最先到达M点的球是_______球。重力加速度取为g，D球到达M点的时间为_________。 【答案】c球；
9、如图所示，光滑圆弧轨道的半径为R，圆弧底部中点为O，两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点，现同时释放两球，使两球正好在O点相碰。问h应为多高？
【解答】 对A球的分析= ,
对B球振动周期,到达O点的时间为 (n=0, 1, 2, …)
要求两球相碰，则 即
解得：(n=0, 1, 2…) 正确答案为　 (n=0, 1, 2, 3…)
3.2、等效摆长
1、如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点正下方L处有一铁钉。将小球拉至A处无初速度释放(摆角很小)，这个摆的周期是(　D　)
A．2π B．π C．(＋1)π D．(＋1)π
2、如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点正下方处有一铁钉，将小球拉至A处由静止释放（偏角很小）。忽略小球半径和空气阻力，已知重力加速度g，则这个单摆的周期为_________，小球可以摆到的左边最大高度相比于可以摆到的右边最大高度要_________（填“高”、“低”或“一样高”）。
【答案】 ①. ②. 一样高
3、如右图所示，在地面上有一摆，垂直于纸平面做小角度摆动，其周期T＝_________（图中所标出的字母均为已知量，当地的重力加速度为）；若将该装置移到月球上，仍按原来的方式摆动，则周期将________。（填“变大”、“不变”、“变小”）
【难度】★★【答案】；变大
4、如图所示，三根长度均为 l0的绳 l1、l2、l3 共同系住一密度均匀的小球 m，球的直径为 d（d l0），绳 l2、l3 与天花板的夹角 α=30°。则：
（1）若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期 T1为多少？
（2）若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期 T2又为多少？
【答案】
5、(多选)如图所示，三根细线在O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，△AOB为直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC长为L，下端C点处系着一个小球(忽略小球的半径，小球摆动时偏角θ<5°，重力加速度为g)，下列说法正确的是(　AD　)
A．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面方向摆动，周期T＝2π
C．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π D．让小球在垂直纸面方向摆动，周期T＝π
6*、由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂着小球G，如图所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°。当该小球向纸外做微小摆动时，其摆动周期为多少？
解析：
7*、如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的线，下端悬挂一个摆球B，质量为m，设B摆小球作小幅度振动，求振动周期。
【分析】将2m的A球和m的B球组成系统为研究对象，系统的重心O点可视为单摆的悬点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。
【解析】A和B两物体组成的系统由于内力的作用，在水平方向上动量守恒，因此A和B速度之比跟质量成反比，即vA/vB=mB/mA=1/2．因此A和B 运动过程中平均速度/=1/2，亦即位移 SA/SB＝1/2。，
因为ΔOAA/∽ΔOBB/，则OB/OA＝2/1。 对B球来说，其摆长应为2/3 L，因此B球的周期T＝2。
3.3、等效重力加速度
1、如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(　C　)
A．T1＞T2＞T3＞T4
B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4
D．T1＜T2＜T3＜T4
解析　题图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g1＝gsin θ；题图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；题图(3)为标准单摆；题图(4)摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g4＝g＋a。由单摆做简谐运动的周期公式T＝2π，知T1＞T2＝T3＞T4，选项C正确。
2、如图所示，处于竖直向下的匀强电场中的摆球，质量为m，半径为r，带正电荷，用长为l的细线把摆球吊在悬点O处做成单摆，则这个单摆的周期为 (　D　)
A．T＝2π B．T＝2π
C．大于T＝2π D．小于T＝2π
解析　设电场强度为E，摆球所带电荷量为q，当单摆所处系统中无竖直向下的匀强电场时，单摆的周期为T＝2π；当单摆处于竖直向下的匀强电场时，其等效重力加速度为g等效＝＝g＋＞g，周期T′＝2π，所以单摆的周期减小，即T′＜T＝2π，故选项D正确。
3、如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面 O 处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于 5°。已知斜面倾角为 θ，悬点到小球球心的距离为 L，重力加速度为 g。则小球回到最低点所需的最短时间为（C ）
4、在升降机的天花板上固定一摆长为 L 的单摆。当升降机静止时，让摆球从 θ0（小于5°）角度处摆下，试分析：
（1）当摆球摆到最高点时，升降机以加速度 g 下落，摆球相对于升降机如何运动
（2）当摆球摆到最低点时，升降机以加速度 g 下落，摆球相对于升降机如何运动
（3）若升降机以大小为g的加速度上升，则摆球相对于升降机又如何运动
答案：(1)摆球静止不动
(2)摆球将作匀速圆周运动,碰到天花板后反弹再做匀速圆周运动,以后重复
(3)作周期的简谐运动
5、如图（a）所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，当小车以加速度a向右加速运动时，将小球拉离平衡位置（＜5°）由静止释放，求其周期。
解析：当小球相对小车静止时，摆球的平衡位置偏离竖直θ角，如图（b）中A点为摆球的平衡位置，摆球相对车静止在平衡位置时，绳子拉力为F，则由牛顿第二定律：
Fcosθ＝mg ①
(
图（b）
)Fsinθ＝ma ②解得F＝m
悬线拉力产生的加速度，即等效重力加速度
g′＝，所以：
6*、如图是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L、质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角α，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？
解析：当m做微小摆动时，实际上围绕BC中点O运动，
所以等效摆长应是L′＝Lsin60°＝L。
当摆球处于平衡位置且不摆动时，沿OA方向的等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，
即 g′＝gsinθ。故摆球的振动周期
1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功人教版普高物选修1 第2章 机械振动 第4讲 单摆（讲义）--学生版（定稿）
普高物理新教材选修1第2章机械振动 第4讲 单摆
知识点1、单摆的回复力
情景导学：如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
1、单摆的组成：由细线和 组成。
2、理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略。
(2)小球的 与线的长度相比可以忽略。
(3)细线的 与细线长度相比可以忽略（细线的长度不可改变）。
(4)空气阻力与小球的 及细线的 相比可以忽略。
3、单摆的回复力
(1)单摆受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力的来源：摆球的重力沿 方向的分力，即F＝ ，提供了使摆球振动的回复力。
(4)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总指向 ，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
思考：判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
模型① 。
模型② 。
模型③ 。
模型④ 。
模型⑤ 。
模型⑥ 。
4、证明一个振动是简谐运动的两种方法
(1)动力学角度：回复力与位移关系满足F＝－kx。
(2)运动学角度：位移与时间的关系满足x＝Asin(ωt＋φ0)，x－t图像为正弦曲线。
5、单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此单摆的回复力可表示为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
6、理解回复力的两点提醒
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与摆球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中摆球受力平衡的位置。摆球摆动到平衡位置时，回复力为零，但有指向悬点的力的作用。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力FT的合力。　　　　
专题讲练1
1、(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　 　)
A．摆线质量不计 B．摆线不伸缩
C．摆球直径比摆线长度小得多 D．摆角小于5°
2、(多选)关于单摆，下列说法中正确的是(　 　)
A．单摆摆球的回复力指向平衡位置 B．摆球经过平衡位置时加速度为零
C．摆球运动到平衡位置时，所受回复力等于零
D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
3、(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　 　)
A．摆球受到的回复力是它所受的合力
B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
4、(多选)关于单摆及其振动，以下认识正确的是(　 　)
A．将某个物体用绳子悬挂起来就构成一个单摆
B．将小球用长度不变的细长轻绳悬挂起来，就构成一个单摆
C．单摆以很小的摆角在竖直面内的自由摆动是简谐运动
D．单摆在人的不断敲击下做摆幅越来越大的运动是简谐运动
5、有一正在摆动的秒摆(T＝2 s)，若取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，那么当t＝1.6 s时，以下对摆球的运动情况及回复力变化情况的说法中正确的是(　 　)
A．正在向左做减速运动，回复力正在增大 B．正在向右做减速运动，回复力正在增大
C．正在向右做加速运动，回复力正在减小 D．正在向左做加速运动，回复力正在减小
6、振动着的单摆摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力（ ）
A．指向地面 B．指向悬点 C．数值为零 D．垂直摆线，指向运动方向
7、关于单摆的运动，下列说法正确的是（　 　）
A. 单摆摆动时，摆球所受的向心力大小不变 B. 摆球经过平衡位置时，所受回复力为零
C. 摆球振动的回复力是摆球受到的合力
D. 摆球经过平衡位置时，所受合力为零
8、单摆在竖直平面内做简谐运动，下列说法正确的是 （ ）（多选）
A．其最大摆角小于5°
B．其回复力是由摆球的重力和悬线拉力的合力提供的
C．测量周期时应该从摆球经过平衡位置开始计时
D．“秒摆”是摆长为1m、周期为1s的单摆
9、图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　 　)
A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
10、(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则(　 　)
A．t1和t3时刻摆线的拉力等大
B．t2和t3时刻摆球速度相等
C．t3时刻摆球速度正在减小
D．t4时刻摆线的拉力正在减小
11、(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　 　)
A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
12、同一地点的两单摆甲、乙（平衡位置在同一水平线上）的振动图像如图所示，已知两单摆摆球的质量相等，则甲摆球的机械能___________（填“大于”、“等于”或“小于”）乙摆球的机械能；两球的最大回复力之比为___________。
知识点2、单摆的周期
情景导学：如图所示，摆球质量相同，摆长不同的单摆，摆动周期不同；摆长相同而摆球质量不同或振幅不同的单摆振动周期却相同，这说明什么？
提示　这说明单摆的周期与摆长有关而与摆球质量及振幅无关。
1、探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法： 法。
(2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球质量 (选填“有关”或“无关”)。
②在振幅较小时周期与振幅 (选填“有关”或“无关”)。
③与摆长 (选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期 。摆长越短，周期 。(选填“越大”“越小”或“不变”)
2、单摆周期公式
(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家 首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成 ，与重力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量 。
思考：惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
3、对单摆周期公式的理解
3.1、成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。
3.2、影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
3.3、对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(2)普通单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
3.4、周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
专题讲练2
2.1、单摆的周期公式
1、做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的，则单摆振动的（　 　）
A．频率、振幅都不变 B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变 D．频率改变、振幅不变
2、有一摆长为l的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片如图所示（悬点和小钉未被摄入）。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为 （ ）
l B．l C．l D．无法确定
3、某单摆由1m长的摆线连接一个直径2cm的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是 （ ）
A．用大球替代小球，单摆的周期不变 B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
4、已知在单摆完成次全振动的时间内，单摆完成次全振动，两摆长之差为，两单摆摆长和分别为( )
A． B．
C． D．
5、某单摆由 1m 长的摆线连接一个直径 2cm 的铁球组成。关于单摆周期，下列说法中正确的是（ ）
A．用大球替代小球，单摆的周期不变
B．摆角从 5 改为 3 ，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
6、将周期为 3 秒的单摆摆长剪去 5/9 后，其周期将变为（ ）
A．4.5 秒 B．2.2 秒 C．2.0 秒 D．1.33 秒
7、（多项）甲乙两人同时观察同一单摆的振动，甲每经过 2.0s 观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处；乙每经过 3.0s 观察一次摆球的位置，发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，由此可知该单摆的周期可能是（ ）
A. 0.5s B. 1.0s C. 2.0s D. 3.0s
8、一单摆的摆长 l=98cm，在 t=0 时，正从平衡位置向右运动，则当 t=1.2s 时，下列关于摆球的运动描述正确的是（ ）（g 取 9.8m/s2）
A. 正向左做减速运动，加速度正在增大 B. 正向左做加速运动，加速度正在减小
C. 正向右做减速运动，加速度正在增大 D. 正向右做加速运动，加速度正在减小
9、如图所示是一个单摆（θ<5°），其周期为 T，则下列说法正确的是（ ）
A．仅把摆球的质量增加一倍，其周期变小
B．摆球的振幅变小时，周期也变小
C．此摆由 O→B 运动的时间为T /4
D．摆球在 B→O 过程中，动能向势能转化
10、空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ ）
A．不变 B．变大 C．先变大后变小回到原值 D．变小后变大回到原值
11、一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是（ ）
A. g甲>g乙，将摆长适当增长 B. g甲>g乙，将摆长适当缩短
C. g甲12、在上海走时准确的摆钟，随考察队带到北极，则这个摆钟(　 )
A．变慢了，重新校准应减小摆长 B．变慢了，重新校准应增大摆长
C．变快了，重新校准应减小摆长 D．变快了，重新校准应增大摆长
13、(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是( )
A．当摆钟不准时需要调整圆盘的上、下位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移 D．把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移
14、如图，两个摆长相同的单摆一前一后悬挂在同一高度，虚线表示竖直方向，分别拉开一定的角度（都小于5°）同时由静止释放，不计空气阻力。沿两单摆平衡位置的连线方向观察，释放后可能看到的是（　 ）
A. B. C. D.
15、有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次所用的时间t＝60.8 s，试求：
(1)当地的重力加速度是多大？ (2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
2.2、单摆周期的应用
1、空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ ）
A．不变 B．变大
C．先变大后变小回到原值 D．变小后变大回到原值
2、同一单摆放在甲地的振动频率为f1,放在乙地的振动频率为f2,那么甲、乙两地的重力加速度之比为( )
A. B. C. D.
3、图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触．现将摆球在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以分别表示摆球的质量，则（ ）（多选）
A．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
4、一只单摆，在第一个星球表面上的振动周期为 T1 ，在第二个星球表面上的振动周期为 T2。若这两个星球的质量之比 M1：M 2 = 4 :1=，半径之比 R1：R 2 =2:1，则 T1 :T2 等于（ ）
A．1:1 B．2 :1 C．4 :1 D．8:1
5、如图所示的单摆，摆球向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的黏性小球发生碰撞，并黏接在一起，且摆动平面不变．已知碰撞前球摆动的最高点与最低点的高度差为，摆动的周期为，球质量是球质量的5倍，碰撞前球在最低点的速度是球速度的一半．则碰撞后（ ）
A．摆动的周期为 B．摆动的周期为
C．摆球的最高点与最低点的高度差为
D．摆球的最高点与最低点的高度差为
6、两个质量相等的弹性小球分别挂在l1＝1.00 m，l2＝0.25 m的细绳上，两球重心等高，如图所示。现将B球在竖直面内拉开一个较小的角度放开后，从B球开始运动计算，经过4 s两球相碰的次数为(取π2≈10)(　 　)
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
7、一只单摆，在第一个星球表面上的振动周期为 T1 ，在第二个星球表面上的振动周期为 T2 。若这两个星球的质量之比 M1 :M 2 = 4 :1，半径之比 R1 : R 2 = 2:1 ，则T1 :T2 等于（ ）
A．1:1 B．2 :1 C．4 :1 D．8:1
8、一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的．在地球上走时准确的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的实际时间（ ）
A． B． C． D．
9、地球表面的重力加速度约为 9.8m/s2，月球表面的重力加速度是地球上的 1/6 ，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过 24 小时，该钟在月球上显示经过了（ ）
A．4 小时 B．9.8 小时 C．12 小时 D．58.8 小时
10、质量为m的单摆，拉开一个较小的角度后由静止释放，摆线的拉力大小F随时间t变化的图像如图所示，重力加速度为g，则该单摆的周期为____________；摆球在平衡位置的加速度为____________。（结果用题或图中所给的符号表示）
11、如图，在：半径为2.5m的光滑圆环上切下一小段圆弧，放置于竖直平面内，两端点距最低点高度差H为1cm．将小环置于圆弧端点并从静止释放，小环运动到最低点所需的最短时间为____s，在最低点处的加速度为____m/s2．(取g＝10m/s2)
12、如图所示，两个完全相同的弹性小球1,2，分别挂在长L和L/4的细线上，重心在同一水平面上且小球恰好互相接触，把第一个小球向右拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第10次碰撞？
13、如图甲所示， t = 0 时刻摆球从 A 点由静止释放，小球在 A 点时，摆线与竖直方向的角度θ小于 50。摆球在 A、C 之间做简谐运动，B 点为小球运动中的最低位置细线对摆球拉力 F 与时间 t 变化的曲线如图乙所示，图乙中 Fm、Fn 、t0 均已知，重力加速度为 g ，求单摆的摆长 L 和摆球的质量 m 。
14、将一个力电传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力．图甲中 O 点为单摆的固定悬点，将质量为 m＝0.05 kg 的小摆球(可视为质点)拉至 A 点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的 A、C 之间来回摆动，其中 B 点为运动中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ 小于 5°且是未知量．由计算机得到的细线对摆球的拉力大小 F 随时间 t 变化的曲线如图乙所示，图中 t＝0 时刻为摆球从 A 点开始运动的时刻．试根据力学规律和题中所给的信息求：(g 取 10 m/s2，π≈3.14)
(1)单摆的振动周期和摆长；
(2)摆球运动过程中的最大速度．
15、一个秒摆竖直平面内 A 、B 、C 之间做简谐振动，当摆球振动最低点 B 向右运动时，在 B 点正下方，一个小球 M 沿着光滑的水平面正向右运动，小球 M 与 B 点正右方相距为 S 的竖直墙壁碰撞后以原速率的一半反弹，返回到 B 点正下方时，摆球也恰好又摆到 B点向左运动。小球 M 与墙壁碰撞时间极短，可不计，则小球 M 的速度可能的数值是多少？
16、有一个单摆，其摆长L=1.02m，摆球的质量m＝0.1kg，从和竖直方向成摆角θ= 40的位置无初速度开始运动（如图所示），问：
（1）已知振动的次数n＝30次，用了时间t＝60.8 s，重力加速度g多大？
（2）摆球的最大回复力多大？
（3）摆球经过最低点时速度多大？
（4）此时悬线拉力为多大？
（5）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？为什么？（取sin40＝0.0698，cos40 ＝0.9976，π＝3.14）
17、如图所示，光滑的半球壳半径为 R，O 点在球心 O′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O点很近的 A 点由静止释放，R AO.
(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心 O′处自由落下，求两球第一次到达 O点的时间之比；
(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在 O 点正上方某处自由落下，为使两球在 O 点相碰，小球应由多高处自由落下？
2.2、单摆的图像
1、图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置．当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙会在板上显示出沙摆的振动位移随时间变化的关系曲线．已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s，图乙所示的一段木板的长度为0.60 m，则这次实验沙摆的摆长大约为(取g＝π2) (　 　)
A．0.56 m B．0.65 m C．1.00 m D．2.25 m 甲　　　　　　乙
2、如图甲所示是演示简谐运动的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板被匀速拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在木板上形成的曲线表示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线代表时间轴，如图乙中是两个摆中的沙在各自的木板上形成的曲线，若板和拉动的速度和的关系为，则板和上的曲线所代表的振动周期和之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
3、如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为( )
A. B.
C. D.
4、(多选)甲、乙两位同学分别使用图甲中所示的同一套装置，观察单摆做运动时的振动图像。已知两人实验时所用的摆长相同，落在同一木板上的细砂分别形成的曲线如图乙中N1、N2所示。下列关于两图线相关的分析正确的是(　 　)
A．N1表示砂摆振动的幅度较大，N2表示砂摆振动的幅度较小
B．N1与N2振动的周期相同
C．N1对应的木板运动速度比N2对应的木板运动速度大
D．N1对应的砂摆摆到最低点时，摆线的拉力比N2对应的拉力大
5、图为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是（ ）（多选）
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆大
C．甲摆的机械能比乙摆大
D．在t＝0.5 s时有最大正向加速度的是乙摆
6、摆长为l的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(取t＝0)，当振动至t＝ 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是下列图中的 (　 　)
7、（多选）两个单摆的悬挂位置的高度相同，其摆球质量相等，它们做简谐运动的振动图像如图所示．关于两单摆的摆动情况，下列说法中错误的是（ ）
A．摆动周期有 B．摆长有
C．摆动过程中的 t1 时刻，摆角相等
D．摆动过程中的 t2 时刻，两摆球有最大势能差
8、(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，且甲、乙两摆球质量相等，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是(　 )
A．甲的摆长与乙的摆长相等 B．甲的摆长比乙的摆长长
C．甲的机械能比乙的大
D．在t＝0.5 s时有负向最大加速度的是乙摆
9、一单摆做小角度摆动，其振动图象如图。以下说法正确的是（ ）
A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B．t2 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
10、如图所示，乙图图像记录了甲图单摆摆球的动能、势能和机械能随摆球位置变化的关系，下列关于图像的说法正确的是（ ）（多选）
A．a 图线表示势能随位置的变化关系
B．b 图线表示动能随位置的变化关系
C．c 图线表示机械能随位置的变化关系
D．图像表明摆球在势能和动能的相互转化过程中机械能不变
11、甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的振动图像如图 4 所示，可知( )
A．甲、乙两单摆的频率之比为 2∶1
B．甲、乙两单摆的摆长之比为 2∶1
C．0.5～1.0 s 时间内，甲摆球的速度减小
D．t＝0.5 s 时甲摆球势能最大，乙摆球动能最大
12、同一地点两个做简谐运动的单摆的摆长分别为l1和l2，它们的位移—时间图像如图中1和2所示，由此可知，l1∶l2 等于( )
A．1∶3 B．4∶1 C．1∶4 D．9∶1
13、 (多选)如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知(　 　)
A．单摆振动的频率是1.25 Hz
B．t＝0时摆球位于B点
C．t＝0.2 s时摆球位于平衡位置O，加速度为零
D．若当地的重力加速度g＝π2，则这个单摆的摆长是0.16 m
14、夏天的河上，有几名熟悉水性的青年将绳子挂在桥下荡秋千，绳子来回荡几次后跳入河中，现把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是(　 　)
A．小王荡秋千时，其周期大于6.28 s
B．图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零
C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小
D．该秋千的绳子长度约为10 m
15、(多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　 　)
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
16、将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示．某同学由此图象提供的信息做出的下列判断中，正确的是（ ）（多选）．
A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点 B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点
C．摆球摆动过程中机械能减小 D．摆球摆动的周期是T＝1.4 s
17、有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2-L图象，如图甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图象(如图乙所示)，由图可知，两单摆摆长之比=________.在t＝1 s时，b球振动的方向是________．
18、如图为一单摆及其振动图象，回答：
（1）单摆的振幅为 ，频率为 ，摆长为 ，一周期内位移x（F回、a、Ep）最大的时刻为 ．
（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的 点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是 。势能增加且速度为正的时间范围是 ．
（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（ ）
A．位移；B．速度；C．加速度； D．动量；E．动能；F．摆线张力
（4）当在悬点正下方处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且．则单摆周期为 s．比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力 ．
（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动？
19、如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝ m/s，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求：
(1)单摆的摆长l；
(2)摆球的质量m；
(3)摆线拉力的最小值。
20、如图所示，一个半径为R的凹槽，该槽是圆柱体侧表面的一部分。MN、PQ为圆表面的母线，在其一端的最低处有一小孔B。现让一小球（球的半径略小于B孔的半径而远小于R）从槽的另一端的边缘点A处（A靠近槽的最低点），以初速度v0开始沿平行于MN的方向运动，若。MN=PQ=L，不计摩擦，要使小球运动到槽的另一端时，恰能落入B孔中，则小球的初速度为___________。
21*、有一摆钟的摆长为ll时，在某一标准时间内快amin。若摆长为l2时，在同一标准时间内慢bmin。，求为使其准确，摆长应为多长？（可把钟摆视为摆角很小的单摆）。
知识点3、　“单摆”模型的拓展---等效法处理单摆问题---等效单摆
1、圆弧摆
如图所示，有一光滑圆弧曲面AO′B，在A处放一小球，圆弧摆做简谐运动的条件：
(1)圆弧曲面光滑。
(2)小球直径和圆弧弧长远小于圆弧的半径R。
(3)小球在曲面AO′B上做往复运动，圆弧摆周期T＝2π。
2、等效摆长：
1、等效摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离，不一定是摆线长。
(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。
(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
3、等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
4、等效重力加速度
在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度g等效，其大小等于单摆相对系统静止在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
实际问题中，g等效的取值由单摆所处的位置、状态和摆球的受力情况而决定。
不管处于哪种情况，重力加速度的等效值g等效等于摆球相对系统静止在平衡位置时（也就是摆球相对于悬点不摆动时的位置）摆线所受的拉力与摆球质量的比值，即g等效=
提醒：由于单摆的回复力是在切线方向上力提供的，如果力的方向始终在悬绳的方向上，并不引起单摆回复力变化的情况下，上述方法并不适用，如摆球带电，再在悬点出固定一个带电小球，两球之间的静电力不引起回复力的变化，单摆的等效重力加速度仍然是当地的重力加速度。
5、不同系统中的等效重力加速度
情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度
g等效＝g－a g等效＝
g等效＝g＋a g等效＝g
g等效＝ g等效＝g
水平方向上加速 g等效 光滑斜面加速下滑 g等效gcos
专题讲练3
3.1、圆弧摆
1、一个打磨得很精细的小凹镜，其凹面可视为面，将镜面水平放置如图所示。一个小球从镜面边缘开始释放，小球在镜面上将会往复运动，以下说法中正确的是（ ）（多选）
A. 小球的运动是简谐运动
B. 不能判断小球做简谐运动
C. 小球简谐运动的回复力是重力跟支持力的合力
D. 小球简谐运动的回复力是重力沿曲面切向的分力
2、如图，竖直平面内有一半径为1.6m、长为10cm的圆弧轨道，小球置于圆弧端点并从静止释放，取g＝10m/s2，小球运动到最低点所需的最短时间为 （ ）
A．0.2πs B．0.4πs
C．0.8πs D．πs
3、如图所示，甲、乙两个体重相等的小孩玩滑梯游戏，AB 为半径很大的光滑圆槽，A、B 两点在同一水平高度上，且 AB 弧长远小于半径，圆槽的最低点为 O，开始时甲静止在A 点，乙静止在弧 OB 的中点 C，听到哨声两人同时无初速滑下，则（ ）
A．两人在 O 点相遇 B．两人在 O 点左侧相遇
C．相遇时的动能相同 D．相遇时两人的向心加速度相同
4、如图所示，一个光滑弧形凹槽半径为 R，弧长为 L(已知 R L)．现将一质量为m 的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动．已知重力加速度大小为 g，下列说法正确的是( )
A．小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力
B．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力
C．小球做简谐运动的周期为 D．小球运动到凹槽最低点时所受合力为零
5、如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2，圆心分别为O1和O2，所对应的圆心角均小于5°，在最低点O平滑连接。M点和N点分别位于O点左右两侧，距离MO小于NO。现分别将位于M点和N点的两个小球A和B（均可视为质点）同时由静止释放。关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是 （ ）
A．恰好在O点 B．一定在O点的左侧
C．一定在O点的右侧 D．条件不足，无法确定
6、如图所示，AO′段为半径为R的光滑圆弧面，BO′段为光滑斜面，相交处平滑过渡，已知圆弧弧长 R，且A、B等高，现有三个小球，a球从A点由静止释放沿圆弧下滑，b球从B点由静止释放沿斜面下滑，c球从圆心O点由静止释放，若三个小球同时释放，则下列说法正确的是(　 　)
A．a球最先运动到圆弧最低点 B．b球最先运动到圆弧最低点
C．c球最先运动到圆弧最低点 D．三个小球同时到达圆弧最低点
7、如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则(　 　)
A．球A先到达C点 B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点 D．无法确定哪个球先到达C点
8、如图所示，位于竖直平面内的固定半径为R的光滑圆环轨道，圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则a、b、c、d四个小球最先到达M点的球是_______球。重力加速度取为g，D球到达M点的时间为_________。
9、如图所示，光滑圆弧轨道的半径为R，圆弧底部中点为O，两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点，现同时释放两球，使两球正好在O点相碰。问h应为多高？
3.2、等效摆长
1、如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点正下方L处有一铁钉。将小球拉至A处无初速度释放(摆角很小)，这个摆的周期是(　 　)
A．2π B．π
C．(＋1)π D．(＋1)π
2、如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为L，O点正下方处有一铁钉，将小球拉至A处由静止释放（偏角很小）。忽略小球半径和空气阻力，已知重力加速度g，则这个单摆的周期为_________，小球可以摆到的左边最大高度相比于可以摆到的右边最大高度要_________（填“高”、“低”或“一样高”）。
3、如右图所示，在地面上有一摆，垂直于纸平面做小角度摆动，其周期T＝_________（图中所标出的字母均为已知量，当地的重力加速度为）；若将该装置移到月球上，仍按原来的方式摆动，则周期将________。（填“变大”、“不变”、“变小”）
4、如图所示，三根长度均为 l0的绳 l1、l2、l3 共同系住一密度均匀的小球 m，球的直径为 d（d l0），绳 l2、l3 与天花板的夹角 α=30°。则：
（1）若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期 T1为多少？
（2）若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期 T2又为多少？
5、(多选)如图所示，三根细线在O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，△AOB为直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC长为L，下端C点处系着一个小球(忽略小球的半径，小球摆动时偏角θ<5°，重力加速度为g)，下列说法正确的是(　 　)
A．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面方向摆动，周期T＝2π
C．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π D．让小球在垂直纸面方向摆动，周期T＝π
6*、由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂着小球G，如图所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°。当该小球向纸外做微小摆动时，其摆动周期为多少？
7*、如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的线，下端悬挂一个摆球B，质量为m，设B摆小球作小幅度振动，求振动周期。
3.3、等效重力加速度
1、如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(　 　)
A．T1＞T2＞T3＞T4
B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4
D．T1＜T2＜T3＜T4
2、如图所示，处于竖直向下的匀强电场中的摆球，质量为m，半径为r，带正电荷，用长为l的细线把摆球吊在悬点O处做成单摆，则这个单摆的周期为 (　 　)
A．T＝2π
B．T＝2π
C．大于T＝2π
D．小于T＝2π
3、如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面 O 处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于 5°。已知斜面倾角为 θ，悬点到小球球心的距离为 L，重力加速度为 g。则小球回到最低点所需的最短时间为（ ）
4、在升降机的天花板上固定一摆长为 L 的单摆。当升降机静止时，让摆球从 θ0（小于5°）角度处摆下，试分析：
（1）当摆球摆到最高点时，升降机以加速度 g 下落，摆球相对于升降机如何运动
（2）当摆球摆到最低点时，升降机以加速度 g 下落，摆球相对于升降机如何运动
（3）若升降机以大小为g的加速度上升，则摆球相对于升降机又如何运动
5、如图（a）所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，当小车以加速度a向右加速运动时，将小球拉离平衡位置（＜5°）由静止释放，求其周期。
6*、如图是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L、质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角α，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？
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