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3.3二次根式的加法和减法（第一课时）
二次根式
第3章
（湘教版）八年级
上
学习目标
1．知道二次根式加减运算首要步骤是把各个二次根式化简然后再加减．
2．掌握二次根式加减的法则，熟练进行加减运算．
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点？
化简后被开方数相同
新知导入
计算：
（1）（+）- ； （2） 2（+ 1）- 3.
做一做
（1）（+）-
=+（ - ） ……加法结合律
=+ 0
=.
计算：
（1）（+）- ； （2） 2（+ 1）- 3.
做一做
（2）2（+1）- 3
= 2 × + 2 × 1 - 3 ……乘法对加法的分配律
= 2+ 2 - 3
=（2 - 3）×+ 2 ……加法交换律和结合律，乘法对加法的分配律
=- + 2 .
二次根式可合并的条件：
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次
根式可以合并.
新知探究
合并的方法：
先将二次根式化成最简二次根式，再将根号外的因数(或因式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，
新知探究
注意：
几个二次根式能否合并， 不能直接从形式上判断， 需
要从化简后的结果上判断.
几个最简二次根式能否合并只与被开方数有关， 与根号
外的因数(或因式)无关.
（1）3+5等于多少？ （2）3 -8 +5等于多少？
思考
由于被开方数不相同，因而无法像上面那样运算. 一般地，先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算.
（1）3+5 = 3 × 2+ 5 × 3 = 6 + 15
=（6+ 15）×
= 21 .
（1）3+5等于多少？ （2）3 -8 +5等于多少？
思考
由于被开方数不相同，因而无法像上面那样运算. 一般地，先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算.
（2）3 -8 +5= 3 × 2 - 8 × 3+ 5 × 3
= 6 - 24 + 15
= 21- 24.
二次根式相加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行运算.
二次根式加减运算法则:
新知探究
二次根式进行加减运算的步骤:
(1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式；
(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
新知探究
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
新知探究
例1
计算：2 - + .
解： 2 - + = 2 × 3- 5+× 3
= 6 - 5 +
=+.
先计算 - ，再将你的结果与同学比较.
做一做
- = - ==
二次根式加减运算的技巧 ：
(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.
(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并.
新知探究
新知探究
例2
如图是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成 . 已知大圆
和小圆的面积分别为763. 02 m2和150. 72 m2，求圆环的宽度d（π取3. 14）.
新知探究
例2
解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由S1 =πR2，S2= πr2可知，R=，r=，则
d=R-r = -= -=-
=9-4 =5 （m）.
答：圆环的宽度d为5 m.
课堂练习
计算：（1） 3+ 2 -； （2） 3（+ 2）- 5；
（3） 5+； （4） 4 - 9；
（5） 10+ 3 - 7； （6） 5 - 3- 2.
练习1
解：（1） 3+ 2 -4 （2） 3（+ 2）- 5=-2+6
（3） 5+=8 （4） 4 - 9=3
（5） 10+ 3 - 7=9 （6） 5 - 3- 24-6
课堂练习
计算：
（1） -（3 + 2）；
（2）（2 - 5）-（ - ）；
（3） - .
练习2
解：（1） -（3 + 2）=-5 -2
（2）（2 - 5）-（ - ）=-3-7
（3） - =
课堂总结
1.二次根式合并的方法：
先将二次根式化成最简二次根式，再将根号外的因数(或因式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，
2.二次根式加减法法则：
二次根式相加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
3.二次根式加减运算的步骤:
(1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式；
(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
课堂总结
作业布置
必做题：教材P79习题3.3--学而时习之 1题、2题
选做题：教材P80习题3.3--温故而知新 5题（2）
板书设计
1.二次根式合并的方法：
2.二次根式加减法法则：
3.二次根式加减运算的步骤:
课题：3.3二次根式的加法和减法（1）
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Thank you

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