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2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z=（1+2i）i,则在复平面内z对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知平面向量=（-1，1），=（1，t），若⊥（2+），则t=（　　）
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4
3.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A'B'=1，A′D′=3，则原四边形ABCD的对角线AC=（　　）
A.
B.
C.
D.
4.三棱锥P-ABC中，，，，且，，则等于（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E为BC中点，则直线AE与PC所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（　　）
A. DE∥BM
B. 平面ACN∥平面BEM
C. EF和CD为异面直线
D. BF⊥平面DEM
7.已知半径为1的球与正三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面和两个底面均相切，则点C1到平面A1BC的距离为（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，点D为AC边上的点，且 λ∈R，使得.若，，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知三条不同的直线m,n,l,两个不同的平面α，β，则下列命题为真命题的是（　　）
A. 若m⊥l,n⊥l,则m∥n B. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β
C. 若m∥α，α∥β，则m∥β或m β D. 若m∥α，n∥β，m⊥n,则α⊥β
10.在平面四边形ABCD中，AB∥DC，，，，其中λ∈[0，1].若，则（　　）
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点P满足，其中λ∈[0，1].经过点A，B1，P三点的平面α与正方体表面的交线构成多边形γ，则（　　）
A. 当λ=0时，直线BD1与平面α垂直
B. λ∈（0，1），使得多边形γ为五边形
C. λ∈（0，1），使得
D. 平面α截正方体内切球所得截面的面积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则该圆锥的母线长为 .
13.在△ABC中D为边AC上一点，且，若点P在线段BD上，设，则m= .
14.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2BC=2AB=4，四条侧棱长均为3，则该四棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，AB=2A1B1=4，该棱台的表面积为44.
（1）求证：AC1∥平面BDE；
（2）求四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积.
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，.
（1）求cos（B-C）的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b2+c2的值.
17.(本小题15分)
如图，在矩形ABCD中，，Q为CD的中点，将△DAQ沿AQ翻折至△PAQ，使得二面角P-AQ-D的大小为θ.
（1）若，求证：平面PAQ⊥平面PBQ；
（2）若，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A，B，C；
（2）已知c=8，P，Q，R分别在边AB，BC，CA上（不含端点），且.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若△RPQ为等边三角形，求△RPQ面积的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PCD是等边三角形，平面PCD⊥平面ABCD.M在棱PC上满足.过A，M作平面α与棱PB，PD分别交于E，F两点（不含端点）.
（1）若.
（ⅰ）求证：直线BD∥平面α；
（ⅱ）求平面α与平面ABCD所成锐二面角的正切值；
（2）记四棱锥P-ABCD被平面α所截得的上、下两部分几何体的体积分别为V1，V2，求的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：如图，
连接AC交BD于点F，连接EF，
因为E、F分别为C，BD中点，
所以EF∥AC1，
因为AC1 平面BDE，EF 平面BDE，
所以AC1∥平面BDE

16.【答案】
17
17.【答案】在矩形ABCD中，，Q是CD的中点，
所以AQ=BQ==4，
因为AB=4，所以AQ2+BQ2=AB2，即AQ⊥BQ，
若，则平面PAQ⊥平面ABCD，
又平面PAQ⊥平面ABCD=AQ，BQ 平面ABCD，
所以BQ⊥平面PAQ，
而BQ 平面PBQ，
所以平面PAQ⊥平面PBQ

18.【答案】，，
（i）证明：由点P在AB上，设∠APR=θ，则，
在△APR中，，可得，
由正弦定理得，可得，
因为，所以，
在△BPQ中，，可得，
由正弦定理，可得，
两式相除，可得，即．
（ii）
19.【答案】（i）证明：取CD的中点O，连接OP，
因为侧面PCD是等边三角形，
因此OP⊥CD，PC=CD=2，，
又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
因此OP⊥平面ABCD，
如图所示建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（2，-1，0），D（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），，
由，故，由，故，
从而，
设平面α的法向量为，
则，令，则，z=11，
取，
又，，
所以，又BD 平面α，所以直线BD∥平面α；
（ii）

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