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2025-2026学年山西省晋中市榆次区现代双语学校联校高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足z=（1+i）2（2+3i），其共轭复数为，则z 等于（　　）
A. 52 B. 20 C. -6+4i D. 1-i
2.已知数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（　　）
A. B. C. D.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（　　）
A. 1：1 B. 1； C. 1： D. 1；2
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面ABC所成角的大小是（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5.若非零向量与满足，△ABC为（　　）
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形CDD1C1内（包括边界）的一动点，且满足B1P∥平面BA1E，则点P的轨迹长为（　　）
A. B. 2 C. D. 1
7.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（　　）
A. B. C. D. 2π
8.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、M为空间任意两点，如果有=+7+6-4，那么点M必（　　）
A. 在平面BAD1内 B. 在平面BA1D内 C. 在平面BA1D1内 D. 在平面AB1C1内
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
B. 若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
C. 如果事件A与事件B互斥，那么一定有P（A）+P（B）=1
D. 已知事件A发生的概率为P（A）=0.3，则它的对立事件发生的概率=0.7
10.下列说法正确的是（　　）
A. 若一条直线平行于两平行平面中的一个，则它也平行于另一个平面
B. 若两个平面α∥β，a α，则a∥β
C. 若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b一定不相交
D. 若两个平面α∩β=b,a α，则a与β可能相交也可能平行
11.如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得到三棱锥A-BCD，设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点，则下列正确命题（　　）
A. 在翻折过程中，存在某个位置使得AC⊥CD
B. 若AB⊥CD，则AD与平面BCD所成角的正切值为
C. 三棱锥A-BCD体积的最大值为2
D. 当AB=AD时，CM+FM的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A（2，3），B（4，-3），点P在线段AB的延长线上，且||=，则点P的坐标为 .
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,b=4，且acosC+ccosA=2bcosB，△ABC的面积的最大值是 .
14.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（4）棱始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
16.(本小题15分)
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．
（1）求角B的大小；
（2）若cosA=，求的值．
17.(本小题15分)
如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE=3，BF=4，将BCE沿BE折起至 PBE位置（如图2所示），连接AP、PF，其中PF=2．
（1）求证：PF⊥平面ABED；
（2）求点A到平面PBE的距离．
18.(本小题17分)
为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛.为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，作出频率分布直方图如图所示.
（1）求m的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数；
（2）估计样本中成绩的上四分位数；
（3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在[80，90）内的平均数为88，方差为7，成绩在[90，100]内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差.
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，对角线AC与BD交于点O，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，，直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为.
（i）求四棱锥P-ABCD外接球的表面积；
（ii）求平面AEC与平面PAD夹角的余弦值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】AC
12.【答案】（8，-15）
13.【答案】
14.【答案】（1）（2）（4）（5）
15.【答案】

16.【答案】解：（1）∵2bcosC+c=2a，cosC=，
∴+c=2a，∴a2+c2-b2=ac，
∴cosB==．
,
∴B=;
（2）∵cosA=，∴sinA=，
∴sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
==．
∴．
17.【答案】解：（1）连接EF，

由翻折不变性可知:
PB=BC=6，PE=CE=9，
在PBF中：
PF2+BF2=20+16=36=PB2，
∴PF⊥BF，
在图1中利用勾股定理得：EF==，
在PEF中：
EF2+PF2=61+20=81=PE2，
∴PF⊥EF，
又∵BF∩EF=F，BF 平面ABED，EF 平面ABED，
∴PF⊥平面ABED；
（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，
∴PF为三棱锥P-ABE的高，
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得VA-PBE=VP-ABE，
即，
∴h=，
即点A到平面PBE的距离为．
18.【答案】m=0.025，90 86 平均数为91，方差为22
19.【答案】证明见解析
（i）；（ii）
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