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2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图
C. 谢尔宾斯基三角形 D. 科克曲线
2.下列式子运算正确的是（　　）
A. a6+a2=a8 B. a5 a3=a15 C. （4a3）2=4a5 D. -a7÷a=-a6
3.成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华.下列成语所描述的事件是随机事件的是（　　）
A. 旭日东升 B. 水中捞月 C. 秋去冬来 D. 不期而遇
4.若关于x的多项式x2+6x+k是一个完全平方式，则常数k的值是（　　）
A. -9 B. 9 C. 3 D. -3
5.2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空.飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变量是（　　）
A. 飞船的总质量 B. 飞船的飞行高度 C. 剩余燃料的质量 D. 飞船的飞行时间
6.下列说法正确的是（　　）
A. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线
B. 三角形三边的垂直平分线交于一点且到三边距离相等
C. 三角形的三条高线交于一点
D. 三角形任意两边之和大于第三边
7.某快递网点货仓一开始包裹数量为零，运输车持续匀速送来包裹一段时间后，快递员开始派送，但每小时派送数量小于运输车送来的数量，运输车停止送来后，快递员继续派送直至清空货仓.能大致表示货仓包裹数量与时间关系的图象是（　　）
A. B.
C. D.
8.小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为OA，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.2m和1.7m,且∠BOC=90°，则点C到地面的距离是（　　）
A. 1.7m B. 1.4m C. 1.2m D. 0.5m
9.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有个5十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（　　）
A. 65 B. 82 C. 95 D. 101
10.如图，在△ABC中，点D在线段BC上且BD：DC=3：4，E为AC的中点，AD与BE相交于点O，若四边形ODCE的面积是，则△ABC的面积是（　　）
A. B. 5 C. D. 6
11.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，F为射线AC上一点，连接FB并延长至点E，连接DE且DE=DC.若AC=AB+BE，∠ADB=α，则∠AFB 等于（　　）
A.
B. α-60°
C. 2α-180°
D.
12.已知整式，其中n,an为正整数，an-1，…，a1，a0为自然数，an＞an-1＞…＞a0，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，A=B2，下列说法：
①当n=1时，满足条件的所有整式M为单项式；
②当n=2时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个；
③当n=3，x=-1，M=-18时，a3+a1=27；
④当n=4时，存在a0，a1，a2，a3，a4，使得M可以写出（px2+qx+1）2的形式，其中p,q为正整数.
其中正确的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共10小题，共32分。
13.寄生蜂是目前已知的体重最轻的昆虫之一，仅0.00000527克.数据0.00000527用科学记数法表示为
14.一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同.从袋子中随机摸出一个球，则摸出的球为红球的概率是 .
15.若am-n=3，an=4，则am= .
16.若a,b,c是△ABC的三条边长，则|c+a-b|-|c-a-b|-|b+2c|的化简结果为
17.自2025年6月27日重庆东站正式投入使用，便重塑了重庆铁路枢组格局.其中渝厦高铁的某一车次行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表：
时间（h） 1.5 2 2.5 3 3.5 …
路程（km） 525 700 875 1050 1225 …
根据表格中两者的对应关系，若行驶时间为4.5h,则行驶路程为 km.
18.若多项式A=x2+2xy+2y2-4y+2030，则A的最小值是 .
19.如图，将长方形ABCD沿着BE折叠，点C恰好落在AD边上点F处，若AB=8，，则BF= .
20.如图，在等边△ABC中，D为AC上一点，连接BD，在BD左侧作∠BDE=∠C，且BD=DE，连接AE，过点D作DF⊥EA交EA延长线于点F.若AB=10，AE=4，则AF的长度为 .
21.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠CAB的角平分线交BC于点D，过点C作CF⊥AD交AD于点E，交AB于点F，过点F作FG∥BC交AD于点G.则∠FGD的度数是 ；若BD=3，则CF2+GD2的值是 .
22.若一个各位数字均不为零的四位正整数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字与百位数字不等，则称这个四位数为“环心数”.将“环心数”t的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，我们将得到一个新的四位数t'，记.例如t=5335，t′=3553，则.若m是最小的“环心数”，则F（m）= ；已知两个“环心数”p和q,其中，（其中1≤a＜b≤9，1≤c,d≤9）.记，若F（p）+5a能被12整除，且M为完全平方数，则满足条件的所有M的和是 .
三、计算题：本大题共1小题，共16分。
23.计算：
（1）（-1）2027+（π-3.14）0+（-3）-2；
（2）3m5 m3-（2m4）2-m10÷m2；
（3）（a-b）2（a+b）2；
（4）（a-3b+2）（a+3b-2）.
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中a,b使关于x的多项式（x+a）（x-b）不含一次项.
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，E为BC上一点，连接AE.
（1）请用尺规作图：作∠ABC的角平分线BF交AE于点F，并在BC上取一点D，使BD=AB，连接DF.（不写作法和结论，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若DF∥AC，求证：∠BAC=∠AEB.请完成下面的证明过程：
证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF.
在△ABF和△DBF中，
，
∴△ABF≌△DBF（SAS）.
∴______②.
又∵DF∥AC，
∴______③.
∴∠BAE=∠C.
又∵∠AEB=∠C+______④，∠BAC=∠BAE+∠CAE，
∴∠BAC=∠AEB.
26.(本小题10分)
某校初一年级30个班共有1200名学生，为落实“双减”政策，了解学生睡眠时长是否达到国家建议的9小时及以上，调查小组开展了一次调查研究.
【收集数据】
调查小组计划选取男女生各20名共计40名学生的每日睡眠时长（单位：小时）作为样本.
下面的取样方法中，合理的是______（填字母）；
A.抽取全年级数学成绩最好的男女生各20名同学的睡眠时长组成样本
B.抽取初一年级1班，2班男女生各10名学生的睡眠时长组成样本
C.从学校足球队的男女队员中各选20名学生的睡眠时长组成样本
D.从全年级按学号随机选取男女各20名学生的睡眠时长组成样本
【描述数据】
抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的睡眠时长（四舍五入取整）如下：
男生：6，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10
女生：6，6，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10
【整理数据】
根据上面学生的睡眠时长，对数据进行整理并绘制成如图所示的不完整的统计图（表）：
40名学生的睡眠时长统计表
时长
性别 6 7 8 9 10
男 2 a 6 3 1
女 2 7 b 3 3
【分析数据】
请根据以上数据，回答下列问题：
（1）在【收集数据】阶段，取样方法合理的是______（填字母）；
（2）a=______，b=______，m=______，n=______；
（3）根据国家要求，中小学生睡眠时长必须在9小时及以上才能达标.请估计该校初一年级有多少人达标？
27.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点D在AC延长线上，点F在线段AB上，连接BD，CF，使∠DBC+∠DCF=180°.过点A作AE∥BC交CF延长线于点E.
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）若∠BCE=90°，B C=13，AE=5，求△ACE的面积.
28.(本小题10分)
如图1，已知六边形ABCDEF相邻的两边互相垂直，其中AF=6cm,动点G从点A出发，沿着六边形的边以每秒1cm的速度逆时针运动，当G运动到点D时调头，以每秒ncm的速度原路返回，到A点处停止运动.设△GAF的面积为S（cm2），运动时间为t（s），S与t的图象如图2所示，请回答下面问题：
（1）a=______，n=______，b=______，c=______；
（2）请直接写出动点G从B→C→D时，S与t的关系式；
（3）当时间t为何值时，动点G在AB上运动且△ADG是以AD为腰的等腰三角形？请直接写出t的值.
29.(本小题10分)
定义：如果一个三角形的三边长为x,y,z,满足x2+y2=kz2（k为正整数），则称这个三角形为“k股三角形”.
例如：△ABC三边长为x,y,z,且x=6，y=8，z=5，因为x2+y2=4z2，所以△ABC为4股三角形.
（1）下列三角形中一定是k股三角形的是______（填序号）；
①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形.
（2）已知等腰△ABC是3股三角形，AB=BC，AC＞AB，求∠C的度数；
（3）如图，CM是△ABC的中线，且，求证：△ABC是5股三角形.
30.(本小题10分)
如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，AD与BE交于点F，H为射线BA上一点，G为直线AC上一动点，连接HG.
（1）如图1，若AB=AC，G与E重合且HG∥AD，当∠H=22.5°，AH=4时，求BE的长；
（2）如图2，若BF=AC，AB=AH，∠H+∠C=75°，猜想线段AE，AG，GH之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若△ABC为等边三角形，AB=AH且DF2=3，将HG绕点G顺时针旋转60°至GK，连接AK，CK，EK和HK，当CK+EK有最小值时，请直接写出AK+AG的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】D
13.【答案】5.27×10-6
14.【答案】
15.【答案】12
16.【答案】-3b
17.【答案】1575
18.【答案】2026
19.【答案】10
20.【答案】3
21.【答案】67.5°
18

22.【答案】-9
14

23.【答案】
-2m8
a4-2a2b2+b4
a2-9b2+12b-4
24.【答案】-4a+4b，0．
25.【答案】如图，BF，点D即为所求；
∠BAE=∠BDF;∠BDF=∠C;∠CAE
26.【答案】D
8;5;37.5;99
300人
27.【答案】∵∠DBC+∠DCF=180°，∠ACE+∠DCF=180°，
∴∠ACE=∠DBC，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵AC=BC，
∴△ACE≌△CBD（ASA）
30
28.【答案】21;;15;45
当t为5，6，33或35时，动点G在AB上运动且△ADG是以AD为腰的等腰三角形
29.【答案】②
45°
作CH⊥BA交BA延长线于H，
∵CM是△ABC的中线，且，
∴，AM=BM=2，
设AH=a，CH=b
∵CM2=HM2+CH2，
即62=（2+a）2+b2
∴b2=36-（2+a）2，
CB2+AC2
=BH2+CH2+AH2+CH2
=（4+a）2+36-（2+a）2+a2+36-（2+a）2
=16+8a+a2+36-4-4a-a2+a2+36-4-4a-a2
=80，
∵5AB2=5×42=80，
∴CB2+AC2=5AB2，
∴△ABC是5股三角形
30.【答案】4
2AE+2AG=GH；证明：如图2，延长GA至点J，使得GJ=GH，作HI⊥GJ于点I，设∠C=α，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEA=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DBF=180°-∠BEC-∠C=90°-α，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-α，
∴∠DBF=∠DAC，
在△ACD和△BFD中，
，
∴△ACD≌△BFD（AAS），
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=135°-α，
∵∠AHG+∠C=75°，
∴∠AHG=75°-α，
∵∠BAC=∠AHG+∠AGH，
∴∠AGH=∠BAC-∠AHG=60°，
∵GJ=GH，
∴△GHJ是等边三角形，
∵HI⊥GJ，
∴，∠HIA=90°=∠BEA，
在△ABE和△AHI中，
，
∴△ABE≌△AHI（AAS），
∴AI=AE，
∵GI=AI+AG=AE+AG，
∴，即2AE+2AG=GH
6
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