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《第四章 指数函数和对数函数》单元测试卷（基础训练）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． （ ）
A． B． C． D．
2．若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知，函数，为奇函数，则（ ）
A．13 B．24 C．80 D．240
6．已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．定义一种运算，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数最小值为4的是（ ）
A． B．《第四章 指数函数和对数函数》单元测试卷（基础训练）（解析版）
1．C
【解析】
.
2．D
【解析】依题意，，解得或，
所以实数的取值范围为.
3．A
【解析】因为，
，
，
且，所以.
4．D
【解析】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件：
当时，指数函数单调递增，因此；
当时，一次函数单调递增，
因此斜率，解得；
在分段点处，左端函数值不大于右端函数值，
即，整理得，解得；
取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为.
5．D
【解析】由，
则，
又函数为上的奇函数，则，
即对任意成立，
整理得
所以，即，结合，解得，
所以，即．
6．B
【解析】∵ 要使函数有意义，则，
即，解得，
故函数定义域为.
若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值：
，
，
∴ ，
即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为.
7．C
【解析】当时，，，
因为在上是单调递增函数，
所以，即；
当时，，，
因为在上是单调递减函数，
所以，即；
综上可知，的值域为.
8．B
【解析】由，可画出函数的图象，如图所示，
易知处的函数值为，即如图中的点，所以，
令，则，由图可知，
当时，与无交点；
当时，与有2个交点；
当时，与有1个交点.
令，则，
化简得，解得，，
要使函数恰有3个不同的零点，
则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点，
满足题意，此时的取值范围为；
或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点，
满足题意，此时的取值范围为，
当时，，此时只有1个零点，不合题意，
综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为.
9．BD
【解析】A选项，由换底公式，可得，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，当且时，，故C错误；
D选项，，故D正确．
10．BD
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当即，不成立，C错误；
对于D，当时，，
则，
当且仅当，即时取等号，D正确.
11．CD
【解析】由，
则，
解得，，
因为对恒成立，
则对恒成立，
所以对恒成立，
故对恒成立，
可得对恒成立，
又，
当且仅当时取等号，所以．
12．
【解析】因为，
所以，
故.
13．
【解析】由题意，
则，解得，
所以f的取值范围为.
14．
【解析】已知函数的图象关于点对称，
则对任意有，则
，
化简得，
，解得，
若，则，与题设矛盾，舍去；
若，则，
解得，
．
15．（1）原式.
（2）原式.
16.（1）（i）将代入得.
令，则，
，
因为，，当且仅当，即时取等号，
所以.
（ii）在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
由得，
所以由复合函数“同增异减”可知：的单调递减区间为.
（2）令，，，
即，，
题意等价于在上恒成立，
函数图像开口向上，对称轴为.
①当时，在上单调递增，
，，，与矛盾，舍去；
②当时，，，
若，，.
若，，；
③当时，在上单调递减，，，，与矛盾，舍去，
综上，的取值范围是.
17.（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，
即，
因为，即，
所以对任意恒成立，
解得；
（2）由（1）得：，所以，
因为函数存在零点，所以，
即方程有解，
令，
因为，所以的取值范围为，
则的值域为，
故实数a的取值范围是；
（3）函数与的图象有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个解，
化简得：，
即；
令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，
①当，即时，方程可化为，解得，不合题意，舍去；
②当时，则方程为关于的一元二次方程.
（i）若方程有两个相等的正根，则由，解得，
此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，
（ii）若方程有一个正根和一个负根，
则由且，解得，
综上所述，实数b的取值范围是．
18．（1）把，代入函数，
得，定义域为
由，得，
那么,
即，
所以，函数的值域为.
（2）①证明：把，代入函数，
得
，
所以，
故，
所以曲线关于中心对称.
②把，代入函数，得
由于，
故,
所以，
即可化为
又，在上单调递减，
所以，，
设，
那么在上单调递增，
又，
所以原不等式可化为，得，
所以原不等式解集为.
19．（1）由，得，所以，
所以函数的定义域为，
又，
所以函数为奇函数.
（2）由（1）可知，，
则，
因为，函数在上单调递减，
所以，
解得，即.
（3），
，
又因为函数在区间上单调递减，
所以当时，
，，所以，
所以恒成立.

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