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第3章 代数式（人教版2024）拔尖卷
一、选择题(共10题；共28分)
1．（3分）已知，，且，则的值为（　　）
A．4或8 B．或 C． D．
2．（3分）当时，代数式的值是7.则当时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．3 C．1 D．-7
3．（3分）若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则的值是（　　）
A． B．65 C．或65 D．63或
4．（3分）按下面的程序计算：
若输n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
5．（3分）已知|x|＝3，|y|＝5，且|x+y|＝x+y，则x﹣y的值为（　　）
A．±2 B．±2或±8 C．﹣2或﹣8 D．﹣2或8
6．（3分）下列代数式书写规范的是（　　）
A．8x2y B．1b C．ax3 D．2m÷n
7．（3分）下列判断：①若，则.②若，且，则.③若，则一定是方程的解.④若，且，则.其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
8．（3分）若m－n=－2，mn=1，则m3n+mn3=（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（3分）对下列代数式作出解释，其中不正确的是（　　）
A．a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，小明比他爸爸小（a﹣b）岁
B．a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，则小明出生时，他爸爸为（a﹣b）岁
C．ab：长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积为abcm2
D．ab：三角形的一边长为acm，这边上的高为bcm，此三角形的面积为abcm2
10．（1分）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．
则第5个方框中最下面一行的数可能是（　　）
A．1296 B．2809 C．3136 D．4225
二、填空题(共5题；共14分)
11．（3分）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第6个图案需要棋子的个数为　 　．
12．（2分）定义一个运算，已知，，那么　 　．
13．（3分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m到原点距离为3，则的值为　 　．
14．（3分）如图所示，在长方形中，，在它内部有三个小正方形，正方形的边长为m，正方形的边长为n，则阴影部分的周长为　 　（用含m，n的代数式表示）．
15．（3分）一个三位数，个位上的数为x，十位上的数比个位上的数大2，百位上的数是个位上数的5倍，则这个三位数是 　 　，当x=1时，它是 　 　．
三、解答题(共9题；共78分)
16．（6分）已知 互为相反数， 的相反数是最大的负整数， 是最小的正整数， 的绝对值等于 ，且 ，求 的值.
17．（6分）某种包装盒的形状是长方体，长比高的三倍多2，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示．（不考虑包装盒的黏合处）
（1）（2分）设该包装盒的高为，则该长方体的长为　 　分米，边的长度为　 　分米；（用含的式子表示）
（2）（4分）若的长为12分米，现对包装盒外表面涂色，每平方分米涂料的价格是6元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色）
18．（7分）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．
（1）（2分）直接写出木棒的长；
（2）（2分）木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长；
（3）（3分）另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值．
19．（8分）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为2，求阴影部分的面积．
20．（10分）某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.从甲、乙两个仓库到A，B两个果园的运价如下表所示：
　 甲仓库 乙仓库
到A果园 每吨15元 每吨25元
到B果园 每吨20元 每吨20元
设从甲仓库运往A果园x吨有机化肥.
（1）（6分）从甲仓库运往B果园　 　吨有机化肥；从乙仓库运往A果园　 　吨有机化肥，运往B果园　 　吨有机化肥（用含x的式子表示，填最简结果）；
（2）（2分）求从这两个仓库往两个果园运送有机化肥的总运费（用含x的式子表示）；
（3）（2分）当时，求从这两个仓库往两个果园运送有机化肥的总运费.
21．（8分）若单项式ny2n-1的次数是3，求当y=3时此单项式的值．
22．（10分）已知求的值．
23．（11分）已知（2x﹣1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0对于任意的x都成立.求：
（1）（3分）a0的值；
（2）（4分）a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5的值；
（3）（4分）a2+a4的值.
24．（12分）将7张相同的长方形纸片(如图1)按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好可以分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.
（1）（4分）当a=9，b=2，AD=30时，S1－S2=　 　.
（2）（4分）当AD=30时，用含a，b的式子表示S1－S2.
（3）（4分）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而且S1－S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值的非负性；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，∴，∴，
当时，；
当时，.
故选；B．
【分析】根据绝对值的定义求出，利用得到，再代入计算即可，其中正确掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．
2．【答案】C
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：当时，，
解得，
当时，.
故答案为：C.
【分析】把x＝1代入代数式求出a 3b的值，把x＝ 1代入代数式，将a 3b的值代入计算即可求出值．
3．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，
∴m+n=0，pq=1，t=4或t=-4，
当t=4时，原式=02022-（-1）2023+43
=0+1+64
=65；
当t=-4时，原式=02022-（-1）2023+（-4）3
=1-64
=-63；
综上，的值是65或-63；
故答案为：C.
【分析】先根据互为相反数的两数之和等于0、互为倒数的两数之积等于1，、正数的绝对值是其本身，附属的绝对值是其相反数得出m+n=0，pq=1，t=4或t=-4，分别代入计算即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意得，
①当5n+1=656时，解得n=131；
②当5n+1=131时，解得n=26；
③当5n+1=26时，解得n=5；
④当5n+1=5时，解得n=；
∵ n为正整数
∴④不符合要求
∴ 开始输入的n值可能有 三种可能.
故答案为：C.
【分析】分析运算程序可得，可先由5n+1=656，求出此种情况下n的值，继而在依次往前推，即可得到可能输入的值，直到当5n+1=5时，解得n=，依据输入的n值为正整数，即可判断此种情况及以后的情况，均不符合要求，继而可知符合要求的输入可能有3种.
5．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：已知，，
∴，，
∵，得，
∴当时，或当时，，
∴或，
综上所述：的值为或．
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的意义，得出，，由题意，得，进而得出当时，或当时，，然后代入，计算求解即可．
6．【答案】A
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：选项A正确，
B正确的书写格式是b，
C正确的书写格式是3ax，
D正确的书写格式是．
故选A．
【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可得出正确答案．
7．【答案】A
【知识点】代数式求值；一元一次方程的解；有理数的加法；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：①若，则，∴，故①正确；
②若，则，且，则，故②正确；
③若，则一定是方程的解，故③正确；
④若，且，当有2个负数时，；当有1个负数时，故④不正确，
故答案为：A.
【分析】由a+b+c=0可得a+c=-b，根据互为相反数的两个数的平方相等可判断①；用-b换掉分式中的分子，再约分即可判断②；根据方程解的定义可判断③；根据有理数的加法法则及乘法法则可得a、b、c都不为0，且至少有一个为负数，最多有两个为负数，从而即可判断④.
8．【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】∵m n= 2，mn=1，
则
故答案为：A.
【分析】由题意将已知条件m-n=-2两边分别平方整理可得m2+n2=6，再将所求代数式提公因式可得原式=mn(m2+n2)，将所求的m2+n2的值和mn的值代入计算即可求解。
9．【答案】D
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：A、爸爸比小明大（a﹣b）岁，A项正确；
B、此项实际意义与A项相同，B项正确；C、长方形的面积公式为：面积=长*宽，故C项正确；
D、根据实际意义分析可得D不正确，三角形面积公式为：面积=边长*高，此三角形面积应为ab，故D错；
故选D
【分析】本题主要考查根据题意列代数式的能力，由实际问题的意义进行分析．
10．【答案】B
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，
第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方．
第5方框第2行数是30，所以原数的十位数字和个位数字的乘积是30×＝15，那么这两个数就应该是3和5，
所以这两位数是35或53，352=1225，532=2809.
故选：B．
【分析】观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可．
11．【答案】
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由图知，第1个图案中棋子的个数为，
第2个图案中棋子的个数为，
第3个图案中棋子的个数为，
第4个图案中棋子的个数为，
……
第个图案需要棋子个数为，
第6个这样的图案需要棋子个数为，
故填：．
【分析】根据图形的变化归纳出第个图案需要棋子个数为：，再把代入，即可求解．
12．【答案】1或3
【知识点】绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得或3，
∴当时，，
则；
当时，，
则．
故答案为：3或1．
【分析】先利用绝对值的性质求出a的值，再参照题干中的计算方法列出算式求解即可.
13．【答案】或1
【知识点】有理数的倒数；有理数的加减乘除混合运算的法则；绝对值的概念与意义；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：、互为相反数，、互为倒数，到原点距离为3，
，，或，
当时，原式；
当时，原式，
则原式的值为或1．
故答案为：或1．
【分析】利用相反数、倒数的性质，以及绝对值的代数意义可得，，或，再代入代数式即可求出答案.
14．【答案】8m+6n
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：图中阴影部分的周长与长为CI、宽为AB的矩形周长相同，
在长方形ABCD中，AD=BC，AD=3AB，
∵正方形AEFG的边长为m，正方形GBIH的边长为n，
∴AB=m+n，BC=3（m+n），
∵CI=BC-BI，
∴CI=3（m+n）-n=3m+2n，
∴阴影部分的周长为：2（AB+CI）=2（m+n+3m+2n）=8m+6n；
故答案为：8m+6n.
【分析】根据图形可得阴影部分的周长与长为CI、宽为AB的矩形周长相同，根据题意可求得AB=m+n，CI=3m+2n，即可求解.
15．【答案】511x+20；531
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；用字母表示数
【解析】【解答】由题意可知： 100×5x+10（x+2）+x=500x+10x+20+x=511x+20； 所以当x=1时原式=511×1+20=531．
【分析】一个三位数的表示方法是百位上的数字乘以100加十位上的数字乘以10加个位上的数字乘以1，如一个三位数个位、十位、百位上的数字分别为a、b、c则这个三位数为a+10b+100c．
16．【答案】解：∵ 互为相反数，
∴ ，
∵ 的相反数是最大的负整数， 是最小的正整数，
∴c=1，d=1，
∵ 的绝对值等于 ，且 ，
∴m=-2，
∴
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；代数式求值；有理数及其分类
【解析】【分析】a，b互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0得出a＋b＝0；c的相反数是最大的负整数，所以c＝1，d是最小的正整数，所以d＝1，m的绝对值等于2，又m＜d，故m＝ 2，把这些数据整体代入代数式，按有理数的混合运算法则即可算出答案.
17．【答案】（1）；
（2）解：由（1）得，
，
解得，
，
表面积为：（平方分米）
费用为：（元）
答：为每个包装盒涂色的费用是276元
【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：（1） ∵，长比高的三倍多2，
∴，
又∵是以为宽边，为长边的长方形，
∴，
故答案为：（3m+2）；（8m+4）
【分析】（1），根据长比高的三倍多2，可得出的长；是以为宽边，为长边的长方形，据此得出的长；
（2）根据的长为12分米，可以求出m的值，据此再求出的长，再利用长方体的表面积计算公式计算出其表面积，最后计算费用即可.
18．【答案】（1）解： 由题意得：
∴
∴ .
（2）解：设，
①当点在点左侧时，，
∵，
∴，
解得，
∴；
②当点在点右侧时，，
∵，
∴，
解得，
∴；
∴的长为或
（3）解： 当时，式子的值为定值，定值为
【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（3）由题意得：AB、CD静止时，
∵木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，
∴A、B两点运动的距离为3t，C、D两点的距离为2t，
∵若式子的值为定值，
∴此时间段为点A、D相遇后至点B，C相遇时，
∵点A、D相遇时间为2秒，点B、C相遇时间为，
∴t的取值范围为：
∴当时，
∴
∴的值为定值，定值为.
【分析】（1）根据题意得：则进而即可求解；
（2）设，由题意可知需分两种情况讨论，①当点在点左侧时，，②当点在点右侧时，，分别根据线段间的数量关系列方程即可求解；
（3）利用含t的代数式表示出AD、BC的长度，然后求和即可求解.
19．【答案】解：S阴影＝S梯形FECD+S△BCD-S△BEF，
＝（a+2）×2+×a×a-（a+2）×2
＝a2．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】通过观察可以知道S阴影=S梯形FECD+S△BCD-S△BEF，再根据梯形的面积公式为（上底+下底）×高÷2，三角形的面积公式为：底×高÷2，代入字母和数据即可．
20．【答案】（1）；；
（2）解：往两个果园运送有机化肥的总运费(单位：元)
.
（3）解：当时，往两个果园运送有机化肥的总运费为：
（元）.
答：当时，往两个果园运送有机化肥的总运费为3350元.
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）如下表：
甲仓库（吨） 乙仓库（吨） 合计
A果园（吨） x 110
B果园（吨） 70
合计 80 100 180
故答案为：， ，
【分析】（1）根据甲仓库共80吨结合运往A果园的吨数可得运往B果园的吨数，由根据B果园以及A果园需要的吨数可得乙仓库运往两个果园的吨数，据此解答；
（2）根据甲仓库到A果园的单价×吨数+甲仓库到B果园的单价×吨数+乙仓库到A果园的单价×吨数+乙仓库到B果园的单价×吨数=总运费进行解答；
（3）令（2）关系式中的x=80，求出代数式的值即可.
21．【答案】-9π2
【知识点】代数式求值；单项式的概念
【解析】【解答】因为单项式 ny2n-1的次数是3，所以2n-1=3，所以n=2，所以单项式为2y3，所以y=3当时原式=π2 33=-9π2．
【分析】根据单项式次数的概念求的n的值，进而得到单项式的具体表达式，将y的值代入即求出此时单项式的值．注意：π是一个常数；单项式的次数与常数的次数无关，而是所有字母的指数和．
22．【答案】-24
【知识点】代数式求值；绝对值的非负性
【解析】【解答】因为：，又因为，所以：，所以
所以原式=。
【分析】任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：；若，则a=0，b=0，c=0，m=0.
23．【答案】（1）解：令x=0，则a0=（2×0﹣1）5=﹣1
（2）解：令x=﹣1，
则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=[2×（﹣1）﹣1]5=（﹣3）5=﹣243
（3）解：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=（2×1﹣1）5=1 ①，
由（2），可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣243 ②，
由①+②可得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】（1）由原式对于任意的 都成立，令 ，代入原式可解得 的值；（2）观察可知，令 ，代入原式即可得式子 的值；（3）观察可知，令 ，代入原式可得式子 的值，结合（1）和（2）中所得结果可求得 的值.
24．【答案】（1）48
（2）解：S1－S2
=a(30－3b)－4b(30－a)
=30a－120b+ab
（3）a=4b
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；整式的加减运算
【解析】【解答】(1)解：当a=9，b=2，AD=30时，S1=a(30－3b)=9×（30-3×2）=216
S2=4b(30－a)=4×2×（30-9）=168
S1－S2=216-168=48
3)解：设AD=m，
S1－S2
=(am－3ab)－(4bm－4ab)
=am－4bm+ab
若S1－S2的值总保持不变，则S1－S2的值与m的取值无关，所以有am－4bm=0
则a=4b.
【分析】（1）观察图形，分别求出S1和S2的面积，再求差即可；（2）用含a、b的代数式分别表示S1和S2的面积，再求差即可；（3）设AD=m， 用含a、b、m的代数式分别表示S1和S2的面积差，再去括号合并同类项，根据题意S1－S2的值总保持不变，即可解答.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 28.0(23.3%)
主观题（占比） 92.0(76.7%)
题量分布 客观题（占比） 10(41.7%)
主观题（占比） 14(58.3%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(41.7%) 28.0(23.3%)
填空题 5(20.8%) 14.0(11.7%)
解答题 9(37.5%) 78.0(65.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (70.8%)
2 困难 (29.2%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 求代数式的值-直接代入求值 11.0(9.2%) 1,5,11,12
2 有理数及其分类 6.0(5.0%) 16
3 有理数的加法 3.0(2.5%) 7
4 相反数的意义与性质 3.0(2.5%) 3
5 因式分解﹣提公因式法 3.0(2.5%) 8
6 用代数式表示和差倍分的数量关系 6.0(5.0%) 17
7 列式表示数量关系 25.0(20.8%) 15,20,24
8 代数式求值 69.0(57.5%) 2,7,8,15,16,20,21,22,23,24
9 相反数及有理数的相反数 6.0(5.0%) 16
10 绝对值的概念与意义 8.0(6.7%) 3,12,13
11 一元一次方程的其他应用 7.0(5.8%) 18
12 用代数式表示实际问题中的数量关系 7.0(5.8%) 18
13 用代数式表示数值变化规律 1.0(0.8%) 10
14 用字母表示数 9.0(7.5%) 6,9,15
15 求代数式的值-程序框图 3.0(2.5%) 4
16 一元一次方程的解 3.0(2.5%) 7
17 有理数的加减乘除混合运算的法则 3.0(2.5%) 13
18 求有理数的绝对值的方法 6.0(5.0%) 1,5
19 绝对值的非负性 13.0(10.8%) 1,22
20 整式的加减运算 22.0(18.3%) 20,24
21 求代数式的值-整体代入求值 6.0(5.0%) 3,13
22 单项式的概念 8.0(6.7%) 21
23 绝对值及有理数的绝对值 6.0(5.0%) 16
24 用代数式表示几何图形的数量关系 11.0(9.2%) 14,19
25 有理数的倒数 6.0(5.0%) 3,13
26 几何体的表面积 6.0(5.0%) 17
27 因式分解﹣公式法 3.0(2.5%) 8
28 有理数的乘方法则 3.0(2.5%) 7
29 线段的和、差、倍、分的简单计算 7.0(5.8%) 18
30 有理数的乘法法则 3.0(2.5%) 7
31 几何体的展开图 6.0(5.0%) 17

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