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第2章 有理数
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．已知﹣69m是一个负数，则（　　）
A．m大于或等于0 B．m小于或等于0
C．m大于0 D．m小于0
2．从﹣6℃上升了11℃后的温度，在温度计上显示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．我国一元硬币厚度是1.85毫米，重6.1克．照这样计算，1亿枚硬币共重（　　）吨．
A．6.1 B．61 C．610 D．6100
4．下列选项中，与相等的是（　　）
A． B． C． D．
5．观察下列等式，71＝7，72＝49，73＝343，．74＝2401，…，由此可以判断7100的个位数字是（　　）
A．1 B．7 C．9 D．3
6．小浩同学计算“|﹣3+△|”时，其中“△”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案解析得知计算结果是5，则“△”表示的数是（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8或2 D．8或﹣2
7．已知有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，则下列判断正确的是（　　）
A．若ab＞0，则cd＞0 B．若ac＞0，则bd＜0
C．若bc＜0，则ad＜0 D．若cd＜0，则ab＜0
8．下列运算正确的是（　　）
A．﹣（﹣4）﹣5＝﹣9 B．（﹣8）﹣|﹣2|＝﹣10
C． D．|﹣5|﹣（﹣5）＝0
9．已知a，b所表示的数如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．b＞a B．﹣a＜b C．|b|＜|a| D．﹣b＞a
10．日常生活中我们使用的数是十进制数．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿照上面的转换方法，将二进制数111012转换为十进制数是（　　）
A．4 B．25 C．29 D．33
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．﹣3的倒数是　 　 ；　 　 的平方等于4．
2．根据央视新闻发布的数据显示，截至2月18日8时，总台2026年春晚在新媒体端直播收视次数达21.3亿次，比去年同期提升26.04%．数据21.3亿用科学记数法可表示为　 　 ．
3．（1）若a与﹣6互为倒数，则3　 　 ；
（2）若被除数是，除数比被除数小，则商是　 　 ．
4．（1）任意写出三个比0小的数：　 　 ；
（2）观察下列各数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是 　 　 ．
5．如果a是负数，那么a+|a|＝　 　 ．
6．如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A处，需要步行到位于乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间及小宇的步行时间如表所示：
人行横道交通信号灯的切换时间 小宇的步行时间
甲路口 每1min 沿人行横道穿过任一条马路 0.5min
乙路口 每2min 在甲、乙两路口之间（CD段） 5min
假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计，若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B处所用的最短时间为 　 　 min．
7．观察下列算式21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出8672的末位数字为　 　 ．
8．如果a b＝c，则ac＝b，根据此规定，3 27＝　 　 ．
三．解答题（共7小题，其中第1题15分，第2题5分，第3题6分，第4题6分，第5题6分，第6题8分，第7题10分，满分56分）
1．计算：
（1）12﹣（﹣18）+（﹣12）﹣15；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
2．a与b互为相反数，c与d互为倒数，求的值．
3．同学们；我们都知道：|5﹣2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|﹣4+6|＝　 　 ，|﹣2﹣4|＝　 　 ；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值．
4．一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了9km到达小英家，最后回到超市．
（1）请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置；
（2）小英家距小刚家有多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？
5．小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌（元） +2 ﹣0.5 +1.5 ﹣1.8 +0.8
根据上表回答问题：
（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？
（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
6．阅读下列解题过程：
计算1+3+32+33+34+…+39+310的值．
解：设S＝1+3+32+33+34+…+39+310①，
则3S＝3×（1+3+32+33+…+39+310）
3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310
3S＝3+32+33+34+…+310+311②，
②﹣①得：
3S﹣S＝（3+32+33+34+…+39+310+311）﹣（1+3+32+33+34+…+39+310）
2S＝311﹣1，S，即1+3+32+33+34+…+39+310
通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．
请用你学到的方法计算：1+5+52+53+54+…+524+525．
7．【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．例如，在数轴上，表示﹣4和﹣2的点的距离为AB＝|﹣4﹣（﹣2）|＝2．
【问题解决】
（1）数轴上表示3和﹣5的两点之间的距离是　 　 ；
（2）数轴上有理数x与﹣3对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为　 　 ；
（3）若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离|AB|＝6，则x等于　 　 ；
【联系拓广】
（4）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|＝　 　 ；若|PM|+|PN|＝10，则点P表示的数x为　 　 ；
（5）对于任何有理数x，|x+4|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵﹣69m是一个负数，﹣69是负数，
则m大于0，
故选：C．
2．【解答】解：由题可知，
﹣6+11＝5（℃），
则只有C正确．
故选：C．
3．【解答】解：根据题意可知，1亿枚硬币的个数为：1亿＝100000000，
∵一元硬币重6.1克，
∴6.1×100000000＝610000000克，
610000000克＝610吨．
故选：C．
4．【解答】解：∵，
A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：由观察可得，
这组数的尾数依7，9，3，1，7，…的规律循环出现，
又由100÷4＝25…0可得结果为1．
故选：A．
6．【解答】解：|﹣3+△|＝5，
∴﹣3+Δ＝±5，
∴Δ＝8或Δ＝﹣2．
故选：D．
7．【解答】解：A．有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，若ab＞0，即a、b同号，但c、d可能同号，也可能异号，因此cd可能为正数，也可能是负数或0，因此选项A不符合题意；
B．有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，若ac＞0，即a、c同号，但b、d可能同号，也可能异号，因此cd可能为正数，也可能是负数或0，因此选项B不符合题意；
C．有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，若bc＜0，即b、c异号，原点在数b、数c之间，所以a＜0，d＞0，因此ad＜0，因此选项C符合题意；
D．有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，若cd＜0，即b、d异号，原点在数c、数d之间，所以a＜0，b＜d0，因此ab＞0，因此选项D不符合题意；
故选：C．
8．【解答】解：A、﹣（﹣4）﹣5＝4﹣5＝﹣1，计算错误，不符合题意；
B、（﹣8）﹣|﹣2|＝﹣10，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、|﹣5|﹣（﹣5）＝5+5＝10，计算错误，不符合题意．
故选：B．
9．【解答】解：首先判断a，b的正负性及取值范围，由数轴可知，a在1和2之间，所以1＜a＜2，b在﹣3和﹣2之间，所以﹣3＜b＜﹣2．
A、因为1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，正数大于负数，所以a＞b，说法错误．
B、因为1＜a＜2，可得﹣2＜﹣a＜﹣1，又因为﹣3＜b＜﹣2，所以﹣a＞b，说法错误．
C、因为1＜a＜2，所以|a|的范围是1＜|a|＜2，因为﹣3＜b＜﹣2，所以|b|的范围是2＜|b|＜3，所以|b|＞|a|，说法错误．
D、因为﹣3＜b＜﹣2，可得2＜﹣b＜3，又因为1＜a＜2，所以﹣b＞a，说法正确．
故选：D．
10．【解答】解：∵11012通过式子1×23+1×22+0×2+1转换为十进制数13，
∴111012＝1×24+1×23+1×22+0×2+1＝29．
故选：C．
二．填空题
1．【解答】解：∵﹣3×（）＝1，
∴﹣3的倒数是，
（±2）2＝4，
故答案为：，±2．
2．【解答】解：∵21.3亿＝2130000000，
∴21.3亿＝2.13×109．
故答案为：2.13×109．
3．【解答】解：（1）若a与﹣6互为倒数，则a，
所以33a＝3，
故答案为：；
（2）除数为5，
根据题意得，
故答案为：．
4．【解答】解：（1）答案不唯一，比如：﹣1，﹣2，﹣3；
（2）可以发现这些数的绝对值分别是0，1，2，3，...，的平方，且第奇数项为负数，
∴第11个数是：﹣100．
故答案为：﹣100．
5．【解答】解：∵a＜0，
∴|a|＝﹣a，
∴a+|a|＝a+（﹣a）＝0．
故应填：0．
6．【解答】解：由已知得：0.5+0.5+0.5+5+0.5＝7（min），
故答案为：7．
7．【解答】解：观察下列算式21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，
…，
发现规律：
末位数字分别为：2，4，8，6，2，4…
每4个数为一组循环，
因为8672＝22016，
所以3×672÷4＝504，
所以8672的末位数字为6．
故答案为：6．
8．【解答】解：∵a b＝c，则ac＝b，
∴如果设3 27＝x，则3x＝27，
解得x＝3，
故答案为：3．
三．解答题
1．【解答】解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣12）﹣15
＝12+18﹣12﹣15
＝3；
（2）
＝（717）+（﹣56）
＝25﹣12
＝13；
（3）
（﹣36）（﹣36）（﹣36）
＝﹣18+20﹣21
＝﹣19；
（4）
＝81
＝1；
（5）
＝﹣213616
＝（﹣2+13﹣6+16）
＝21
＝30．
2．【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0；
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1．
∴2．
3．【解答】解：（1）由题意可知，|﹣4+6|表示：﹣4与﹣6两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
因为﹣4与﹣6两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2，
∴|﹣4+6|＝2，
同理|﹣2﹣4|＝6，
故答案为：2，6；
（2）结合题意，|a+4|+|a﹣6|表示：
数轴上表示a的数到﹣4与6两点的距离之和，因为a的点位于﹣4与6之间，
所以表示a的数到﹣4与6两点的距离之和为﹣4与6之间的距离为10，
即|a+4|+|a﹣6|＝10．
4．【解答】解：（1）；
（2）小英家距小刚家有4+2＝6km；
（3）货车一共行驶了2+3+9+4＝18千米．
5．【解答】解：（1）星期二收盘价为25+2﹣0.5＝26.5（元/股）．
（2）收盘最高价为25+2﹣0.5+1.5＝28（元/股），收盘最低价为25+2﹣0.5+1.5﹣1.8＝26.2（元/股）．
（3）小王的收益为：27×1000（1﹣5‰）﹣25×1000（1+5‰）＝27000﹣135﹣25000﹣125＝1740（元）．
∴小王的本次收益为1740元．
6．【解答】解：设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，①
则5S＝5×1+5×5+5×52+5×53+5×54+…+5×524+5×525，
5S＝5+52+53+54+…+524+525+526，②
②﹣①得，5S﹣S＝（5+52+53+54+…+524+525+526）﹣（1+5+52+53+54+…+524+525），
4S＝526﹣1，
S，
即1+5+52+53+54+…+524+525．
7．【解答】解：（1）数轴上表示3和﹣5的两点之间的距离等于|﹣5﹣3|＝8；
（2）|x﹣（﹣3）|＝|x+3|；
数轴上有理数x与﹣3对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x﹣（﹣3）|＝|x+3|；
（3）若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离|AB|＝6，则|x﹣1|＝6，
∴x＝﹣5或x＝7；
（4）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，
∴﹣2＜x＜4，
∴|PM|+|PN|＝4﹣x+x﹣（﹣2）＝6，
∵|PM|+|PN|＝10＞6，
∴点P在线段MN外，
当P在M点右边时，即x＞4，|PM|+|PN|＝x+2+x﹣4＝10，
解得，x＝6；
当P在N左边，即x＜﹣2，|PM|+|PN|＝﹣2﹣x+4﹣x＝10，
解得，x＝﹣4；
∴点P表示的数为﹣4或6；
（5）|x+4|+|x﹣6|表示的是一个数到﹣4和6的距离的和，而﹣4和6的距离为10，所以当x位于﹣4和6时，取得最小距离就是10．第2章 有理数
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．四个数6、、﹣2、0.7，其中负数是（　　）
A．6 B． C．﹣2 D．0.7
2．下列说法中不正确的有（　　）
①﹣3.14既是负数，分数，也是有理数；
②0既不是正数，也不是负数，但是整数；
③0是正数和负数的分界；
④﹣200既是负数，也是整数，但不是有理数；
⑤倒数是本身的数是1和﹣1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．2026的倒数是（　　）
A．2026 B． C． D．﹣2026
4．烟台蓬莱国际机场春节期间单日客流量最高达到3.80万人次，3.80万用科学记数法表示为（　　）
A．3.80×103 B．3.80×104
C．0.380×105 D．0.0380×106
5．如果x与5互为相反数，则x的绝对值是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．
6．若x的相反数的值是的倒数，则x的值是（　　）
A．3 B．3 C．0 D．﹣3
7．下列说法中，正确的是（　　）
A．两数相加，和一定比加数大 B．倒数等于本身的数是1
C．绝对值等于3的数是﹣3 D．减去一个数，等于加上这个数的相反数
8．在有余数的除法算式☆÷5＝6…□中，□最大是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
9．数轴上到表示﹣2的点的距离为3的点表示的数为（　　）
A．1 B．﹣5 C．5或﹣1 D．1或﹣5
10．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A与数轴上表示1的点重合．如果将圆在数轴上沿正方向连续滚动，那么与数轴上表示2025的点重合的点是点（　　）
A．B B．C C．D D．E
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．若x﹣6与2﹣3 x互为相反数，则x＝　 　 ．
2．在﹣2，0，2，5这四个数中，最小的数是　 　 ．
3．在数﹣4，1，﹣2，8，﹣3中任取两个数相加，最小的和是　 　 ．
4．已知a，b是有理数，a＞0，b＜0，则　 　 ．
4．在数轴上，点C到﹣1的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 　 　 ．
6．观察如图所示的程序，若输入3，则输出的结果为 　 　 ．
7．李明的练习册上有这样一道题：计算|（﹣4）+■|，其中“■”是被墨水污染而看不到的一个数，李强告诉他该题的计算结果为10，那么“■”表示的数应该是　 　 ．
8．若数轴经过折叠，表示﹣6的点与表示2的点重合，则表示﹣2026的点与表示 　 　 的点重合．
三．解答题（共7小题，其中第1题6分，第2题5分，第3题18分，第4题6分，第5题7分，第6题7分，第7题7分，满分56分）
1．把下列各数的序号填入相应的横线内．
①0.3，②，③，④6，⑤，⑥5.27227227…（两个“7”之间依次多一个“2”）．
整数：　 　 ；正分数：　 　 ；无理数：　 　 ．
2．在下面的数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来．
﹣3；3.5；；﹣|﹣1|．
3．计算：
（1）﹣3+8﹣7﹣15；
（2）（+4.3）﹣（）﹣|﹣2.3|；
（3）；
（4）（﹣81）（﹣16）；
（5）；
（6）﹣1.53×0.75+5.03．
4．周日，出租车司机小张作为志愿者在东西向的公路上免费接送乘客，规定向东为正，向西为负，出租车的行程依次如下（单位：千米）：+10，﹣3，+4，﹣2，+13，﹣8，﹣7，﹣5，﹣2．
（1）最后一名游客到达目的地时，小张与出车地点的距离是多少？
（2）小张行驶的总路程是多少千米？
（3）若汽车耗油量为0.1升/千米，这天汽车共耗油多少升？
5．数学课上，李老师让大家比较“9×9+19”与“10×10”的大小，部分同学根据计算的结果判断出它们相等．爱较真的轩轩陷入沉思，忽然激动地说：我能通过推理说明两个式子相等．她边说边写（如图左边方框内）．
听了轩轩的想法，大家眼前一亮，不禁跃跃欲试．李老师接着出示了“99×99+199”，让大家推算会等于哪个乘法算式．请你填一填，写一写．
（1）99×99+199＝　 　 ×　 　 ．
（2）请在图中右边方框中写出推算的过程．
（3）你能照样子再写一个这样的等式吗？
6．12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①42×　 　 ＝　 　 ×24；
②　 　 ×495＝594×　 　 ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为m，个位数字为n，且2≤m+n≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含m、n），并证明．
7．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣7，点B表示的数为5，点C到点A，点B的距离相等．作答下列问题：
（1）点C表示的数是 　 　 ．
（2）若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速移动，两点同时移动，当点A运动到﹣3所在的点处时，求A，B两点间的距离．
（3）若点B静止不动，点A以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速移动，求经过多长时间A，B两点距离为4个单位长度．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A．6＞0，是正数，不符合题意；
B．0，是正数，不符合题意；
C．﹣2＜0，是负数，符合题意；
D．0.7＞0，是正数，不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：由题知，
因为﹣3.14既是负数，分数，也是有理数，
所以①正确；
因为0既不是正数，也不是负数，但是整数，
所以②正确；
因为0是正数和负数的分界，
所以③正确；
因为﹣200既是负数，也是整数，也是有理数，
所以④错误；
因为倒数是本身的数是1和﹣1，
所以⑤正确．
故选：A．
3．【解答】解：2026的倒数是．
故选：C．
4．【解答】解：3.80万＝38000＝3.8×104．
故选：B．
5．【解答】解：由条件可知x+5＝0，
∴x＝﹣5．
∴|x|＝|﹣5|＝5，
故选：B．
6．【解答】解：由题意得：﹣（x）＝2，
∴x＝3．
故选：A．
7．【解答】解：A、两数相加，和不一定比加数大，如：（﹣1）+（﹣2）＝﹣3，而﹣3＜﹣1，﹣3＜﹣2，所以原说法是错误的，故此选项不符合题意；
B、倒数等于本身的数是±1，故此选项不符合题意；
C、绝对值等于3的数是±3，故此选项不符合题意；
D、减去一个数，等于加上这个数的相反数，说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
8．【解答】解：∵有余数的除法算式☆÷5＝6…□，
∴□＜5，且为整数，
∴□最大是4．
故选：A．
9．【解答】解：﹣2+3＝1，
﹣2﹣3＝﹣5，
故选：D．
10．【解答】解：∵圆在数轴上沿负方向每滚动一周，前进6个单位长度，在第一次滚动过程中，点F对应的数为2，点E对应的数据为3，点D对应的数为4，点C对应的数为5，点B对应的数是6，点A对应的数为7，…，
以此类推，从数字1开始向左数，A、B、C、D、E、F与数轴上的整点依次对应，且A、B、C、D、E、F循环出现，
∵在数轴上1到2025的距离为2024，2024÷6＝337…2，
∴数轴上2025的点与3对应的点相同，即点E．
故选：D．
二．填空题
1．【解答】解：∵x﹣6与2﹣3x互为相反数，
∴（x﹣6）+（2﹣3x）＝0，
解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
2．【解答】解：∵﹣2＜0＜2＜，
∴四个数中最小的数是﹣2．
故答案为：﹣2．
3．【解答】解：这组数字是：﹣4，1，﹣2，8，﹣3．
从小到大排序：﹣4＜﹣3＜﹣2＜1＜8．
最小的两个数是﹣4和﹣3，
它们的和为：﹣4+（﹣3）＝﹣7．
故答案为：﹣7．
4．【解答】解：∵a，b是有理数，a＞0，b＜0，
∴0，
故答案为：0．
4．【解答】解：设点C表示的数为x，点C到﹣1的距离为2个单位长度，则：
|x+1|＝2，
∴x+1＝±2，
∴x＝1或x＝﹣3，
故答案为：1或﹣3．
6．【解答】解：当x＝3时，代入输出结果为：2×3﹣1＝5．
故答案为：5．
7．【解答】解：设“■”表示的数是x，
根据题意得|（﹣4）+x|＝10，
即|x﹣4|＝10，
所以x﹣4＝10或x﹣4＝﹣10，
解得x＝14或x＝﹣6，
即“■”表示的数是14或﹣6，
故答案为：14或﹣6．
8．【解答】解：∵表示﹣6的点与表示2的点重合，
∴折叠时对称点为：﹣6+|2﹣（﹣6）|＝﹣6+4＝﹣2，
∴|﹣2026﹣（﹣2）|﹣2＝2022．
故答案为：2022．
三．解答题
1．【解答】解：整数：②④；正分数：①③；无理数：⑤⑥．
故答案为：②④：①③；⑤⑥．
2．【解答】解：﹣|﹣1|＝﹣1，，
用“＜”连接为：．
3．【解答】解：（1）原式＝5﹣7﹣15
＝﹣2﹣15
＝﹣17；
（2）原式＝4.32.3
＝（4.3﹣2.3）+（）
＝2+1
＝3；
（3）原式＝﹣28+（）×（﹣4）
＝﹣28+3
＝﹣25；
（4）原式＝﹣81﹣1×（）
＝﹣81
＝﹣80；
（5）原式＝（）×（﹣12）
（﹣12）（﹣12）（﹣12）
＝4﹣9+2
＝﹣3；
（6）原式＝（﹣1.53+5.03）
＝3.5
．
4．【解答】解：（1）10﹣3+4﹣2+13﹣8﹣7﹣5﹣2＝0（千米），
答：最后一名游客到达目的地时小张与出车地点的距离是0千米．
（2）|+10|+|﹣3|+|+4|+|﹣2|+|+13|+|﹣8|+|﹣7|+|﹣5|+|﹣2|＝54（千米），
答：小张行驶的总路程是54千米．
（3）54×0.1＝5.4（升），
答：这天汽车共耗油5.4升．
5．【解答】解：（1）99×99+199
＝99×99+99+100
＝99×（99+1）+100
＝99×100+100
＝100×（99+1）
＝100×100，
故答案为：100，100；
（2）见（1）；
（3）999×999+1999＝1000×1000．
6．【解答】解：（1）①42×264＝462×24；
②54×495＝594×45；
故答案为：①264，462；
②54，45；
（2）由（1）可得等式：
（10m+n）×[100n+10（m+n）+m]＝[100m+10（m+n）+n]×（10n+m），
证明：左边＝（10m+n）（110n+11m）
＝1100mn+110m2+110n2+11mn
＝1111mn+110m2+110n2，
右边＝[100m+10（m+n）+n]（10n+m）
＝（110m+11n）（10n+m）
＝1100mn+110m2+110n2+11mn
＝1111mn+110m2+110n2，
∴左边＝右边，
∴（10m+n）×[100n+10（m+n）+m]＝[100m+10（m+n）+n]×（10n+m）．
7．【解答】解：（1）设点C表示的数是x，
根据题意得x﹣（﹣7）＝5﹣x，
解得x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）设运动的时间为t秒，则点A、点B表示的数分别为﹣7+2t、5﹣t，
根据题意得﹣7+2t＝﹣3，
解得t＝2，
当t＝2时，5﹣t＝5﹣2＝3，
∴点B表示的数是3，
∴3﹣（﹣3）＝6，
∴A，B两点间的距离是6．
（3）设经过n秒A，B两点距离为4个单位长度，
根据题意得5﹣（﹣7+2n）＝4或﹣7+2n﹣5＝4，
解得n＝4或n＝8，
∴经过4秒或8秒A，B两点距离为4个单位长度第2章 有理数
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图，点A、B、C、D四个点在数轴上表示的数分别为a、b、c、d，则下列结论中，错误的是（　　）
A．a+b＜0 B．c﹣b＞0 C．|a﹣d|＝a﹣d D．|c﹣a|＝c﹣a
2．（2分）如果﹣3x2y＞0，那么下列判断正确的是（　　）
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x，y异号 D．x≠0，y＜0
3．（2分）下列说法中不正确的是（　　）
A．0既不是正数，也不是负数 B．0是整数，也是有理数
C．﹣6.18不是分数，但是负数 D．13%是分数，也是正数
4．（2分）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．与3 B．3与 C．与 D．与
5．（2分）下列各式，计算结果为1的是（　　）
A．﹣|﹣1| B．﹣14 C．﹣（﹣1） D．（﹣1）3
6．（2分）在数轴上，与原点距离为3个单位的点表示的数是（　　）
A．3 B．﹣3或3 C．﹣3 D．0.3
7．（2分）点M在数轴上距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，点N表示的数是（　　）
A．8 B．﹣2 C．8或﹣2 D．﹣8或2
8．（2分）我们常用的十进制数，如2639＝2×103+6×102+3×101+9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）
A．1435天 B．510天 C．365天 D．13天
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）连云港制药厂生产的某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±3）℃，该药品在 　 　 ℃范围内保存才合适．
10．（3分）2026年春节，无锡地铁客运量达932.8万人次．用科学记数法表示数据932.8万为　 　 ．
11．（3分）﹣8的倒数是 　 　 ，相反数是 　 　 ，绝对值是 　 　 ．
12．（3分）　 　 ．
13．（3分）化简：
①　 　 ；
②的相反数是 　 　 ；
③比较大小﹣0.5 　 　 ．
14．（3分）在二进制与十进制的转换中，等于十进制的数5；
等于十进制的数23．仿照二进制算法，将八进制数（2025）8转换成十进制的数是　 　 （参考数据：20＝1，80＝1）．
15．（3分）若|a﹣3|+（b+1）2016＝0，则ab﹣4a的值为 　 　 ．
16．（3分）如图，A，B，C为数轴上的三点，所对应的数分别为m，n，p，已知O为数轴上的原点，OB＝6，AB＝30，BC＝15，则m+n﹣p＝　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
17．（24分）一块边长为12.8m的长方形空地，在四角均留出一个边长为1.4m的正方形地块用来修建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小．
18．（8分）将下列各数填入适当的括号内（填序号）：
①π，②5，③﹣3，④，⑤8.9，⑥19，⑦，⑧0．
正数集合：{ 　 　 …}；
负数集合：{ 　 　 …}；
整数集合：{ 　 　 …}；
分数集合：{ 　 　 …}；
正整数集合：{ 　 　 …}；
负整数集合：{ 　 　 …}；
非负数集合：{ 　 　 …}．
19．（6分）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号把它们连接起来．
，0，|﹣4|，0.5，﹣|﹣5|，﹣（﹣3）．
20．（6分）三个数的和等于15，第一个数减去第二个数的差等于第二个数减去第三个数的差，第二个数和第三个数的和比第一个数大1，求这三个数．
21．（6分）列式并计算：
（1）+1.2与﹣3.1的绝对值的和；
（2）4与的和的相反数．
22．（10分）阅读下面材料，回答问题：
已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．
（2）当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点的距离AB＝|a﹣b|．
利用上述结论及数轴，解决以下问题：
（1）数轴上表示数1和﹣3的两点之间的距离是 　 　 ；若数轴上表示数x和﹣1的两点之间的距离是2，则数x为 　 　 ；若数轴上表示数x的点位于﹣1与7之间，则|x+1|+|x﹣7|的值为 　 　 ；
（2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，求相应的整数的值；
（3）求|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的最小值，并写出此时x的取值情况；
（4）请直接写出|x+1|﹣|x﹣7|的最大值是 　 　 ，最小值是 　 　 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．【解答】解：由数轴表示数可得，a＜b＜0＜c＜d，且|c|＜|b|＜|d|＜|a|，
A．a+b＜0，因此选项A不符合题意；
B．c﹣b＞0，因此选项B不符合题意；
C．由于a﹣d＜0，所以|a﹣d|＝﹣（a﹣d）＝d﹣a，因此选项C符合题意；
D．由于c﹣a＞0，所以|c﹣a|＝c﹣a，因此选项D不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：∵x2≥0，﹣3x2y＞0，
∴﹣3y＞0，x≠0，
∴y＜0，x≠0，
故选：D．
3．【解答】解：A．0既不是正数，也不是负数，说法正确，故本选项不符合题意；
B．0是整数，也是有理数，说法正确，故本选项不符合题意；
C．﹣6.18是负分数，原说法错误，故本选项符合题意；
D．13%是分数，也是正数，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：A、与3不互为相反数，不符合题意；
B、3与不互为相反数，不符合题意；
C、与互为相反数，符合题意；
D、与不互为相反数，不符合题意．
故选：C．
5．【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，本选项错误．
B、﹣14＝﹣1，本选项错误．
C、﹣（﹣1）＝1，本选项正确．
D、（﹣1）3＝﹣1，本选项错误．
故选：C．
6．【解答】解：设所求点表示的数为x，
∵该点与原点的距离为3个单位，
∴|x|＝3，
∵绝对值为3的数是3和﹣3，
∴在数轴上，与原点距离为3个单位的点表示的数是﹣3或3．
故选：B．
7．【解答】解：∵点M在数轴上距原点5个单位长度，
∴点M的坐标为5或﹣5，
当点M坐标为5时，点M向右移动3个单位长度至点N，则点N的坐标为5+3＝8；
当点M坐标为﹣5时，点M向右移动3个单位长度至点N，则点N的坐标为﹣5+3＝﹣2，
综上所述，点N表示的数是8或﹣2，
故选：C．
8．【解答】解：1×73+3×72+2×71+6＝343+147+14+6＝510天，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．【解答】解：温度是20°C±3°C，表示最低温度是20°C﹣3°C＝17°C，最高温度是20°C+3°C＝23°C，即17°C～23°C之间是合适温度．
故答案为：17°C～23°C．
10．【解答】解：932.8万＝9328000＝9.328×106．
故答案为：9.328×106．
11．【解答】解：﹣8的倒数是；
﹣8的相反数是8；
﹣8的绝对值是8．
故答案为：，8，8．
12．【解答】解：原式[（1）+（）+（）+（）+（）]
（1）
（1）
，
故答案为：．
13．【解答】解：①；
②∵，
∴相反数是；
③∵|﹣0.5|，，，
∴﹣0.5．
故答案为：①；②；③＞．
14．【解答】解：原式＝2×83+0×82+2×8+5×80
＝1024+0+16+5
＝1045．
故答案为：1045．
15．【解答】解：∵|a﹣3|+（b+1）2016＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴ab﹣4a＝﹣15．
故答案为：﹣15．
16．【解答】解：分类讨论：①当原点O位于A，B两点之间，如图，
∴OA＝AB﹣OB＝24，OC＝OB+BC＝21，
∴m＝﹣24，n＝6，p＝21，
∴m+n﹣p＝﹣24+6﹣21＝﹣39；
②当原点O位于B，C两点之间，如图，
∴OA＝AB+OB＝36，OC＝BC﹣OB＝9，
∴m＝﹣36，n＝﹣6，p＝9，
∴m+n﹣p＝﹣36+（﹣6）﹣9＝﹣51．
综上可知m+n﹣p＝﹣39或m+n﹣p＝﹣51．
故答案为：﹣39或﹣51．
三．解答题（共6小题，满分60分）
17．【解答】解：根据题意得：
12.82﹣4×1.42
＝163.84﹣4×1.96
＝163.84﹣7.84
＝156（m2），
答：草坪的面积有156m2．
18．【解答】解：正数集合：{①②④⑤⑥，}
负数集合：{③⑦，}
整数集合：{②③⑥⑧，}
分数集合：{④⑤⑦，}
正整数集合：{②⑥，}
负整数集合：{③，}
非负数集合：{①②④⑤⑥⑧}
19．【解答】解：﹣（﹣3）＝3，|﹣4|＝4，﹣|﹣5|＝﹣5，
各数用“＞”号把它们连接起来：|﹣4|＞﹣（﹣3）＞0.5＞0|﹣5|．
20．【解答】解：由题意得：第一个数为（15﹣1）÷2＝14÷2＝7，
第二个数与第三个数的和为15﹣7＝8，
设第二个数为x，则第三个数为8﹣x，
∴7﹣x＝x﹣（8﹣x）
7﹣x＝x﹣8+x，
3x＝15，
x＝5，
∴这三个数分别为7，5，3．
21．【解答】解：（1）∵1.2的绝对值是1.2，﹣3.1 的绝对值是3.1，
∴1.2的绝对值与﹣3.1的绝对值的和是：1.2+3.1＝4.3；
（2）∵ 的和是，
∴与的和的相反数是．
22．【解答】解：（1）1和﹣3的两点之间的距离：|1﹣（﹣3）|＝4，
由数轴上表示数x和﹣1的两点之间的距离是2，则|x﹣（﹣1）|＝2，
∴|x+1|＝2，解得：x＝1或x＝﹣3，
∵数x的点位于﹣1与7之间，
∴|x+1|+|x﹣7|＝x+1﹣x+7＝8，
故答案为：4，1或﹣3，8；
（2）①当x位于点﹣1左侧时，即x＜﹣1时，
|x+1|+|x﹣2|＝﹣x﹣1﹣x+2＝﹣2x+1＞3，
②当x位于点﹣1与点2之间时，即﹣1≤x≤2时，
|x+1|+|x﹣2|＝x+1﹣x+2＝3，
③当x位于点2右侧时，即，x＞2时，
|x+1|+|x﹣2|＝x+1+x﹣1＞3，
综上可知：当x位于点﹣1与点2之间时，|x+1|+|x﹣2|的值最小，最小值为3，相对的整式为﹣1或0或1或2；
（3）①当x位于点﹣6左侧时，即x≤﹣6时，
|x+2|+|x+6|+|x﹣1|＝﹣x﹣2﹣x﹣6﹣x+1＝﹣3x﹣7≥11，
②当x位于点﹣6与点﹣2之间时，即﹣6≤x≤﹣2时，
|x+2|+|x+6|+|x﹣1|＝﹣x﹣2+x+6﹣x+1＝﹣x+5，
∴7≤|x+2|+|x+6|+|x﹣1|≤11，
③当x位于点﹣2与点1之间时，即﹣2≤x≤1时，
|x+2|+|x+6|+|x﹣1|＝x+2+x+6﹣x+1＝x+9，
∴7≤|x+2|+|x+6|+|x﹣1|≤10，
④当x位于点1右侧时，即，x≥1时，
|x+2|+|x+6|+|x﹣1|＝x+2+x+6+x﹣1＝3x+7，
∴|x+2|+|x+6|+|x﹣1|≥10，
综上可知：当x位于点﹣2与点1之间时，|x+2|+|x+6|+|x﹣1|有最小值，最小值为7；
（4）①当x位于点﹣1左侧时，即x≤﹣1时，
|x+1|﹣|x﹣7|＝﹣x﹣1+x﹣7＝﹣8，
②当x位于点﹣1与点7之间时，即﹣1≤x≤7时，
|x+1|﹣|x﹣7|＝x+1+x﹣7＝2x﹣6，
∴﹣8≤|x+1|﹣|x﹣7|≤8
③当x位于点7右侧时，即，x≥7时，
|x+1|﹣|x﹣7|＝x+1﹣x+7＝8，
综上可知：|x+1|﹣|x﹣7|的最大值是8，最小值是﹣8，
故答案为：8，﹣8第2章 有理数的运算
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）润扬长江公路大桥的建设创造了多项第一．综合体现了目前我国公路桥梁建设的最高水平．据统计，其混凝土浇灌量为106000m3．106000用科学记数法表示为（　　）
A．1.06×106m3 B．1.06×105m3
C．1.06×104m3 D．10.6×103m3
2．（3分）比较（﹣2）2和﹣22，下列说法正确的是（　　）
A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同
C．（﹣2）2＞﹣22 D．（﹣2）2＝﹣22
3．（3分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b＝0，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞b B．ab＞0 C．|a|＝|b| D．﹣a＜b
4．（3分）在﹣|﹣2|，|﹣3|，﹣（+2），，+（﹣2），﹣（﹣3），﹣22中，负数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（3分）计算的结果是（　　）
A．3a+6b B．3a+6b C．3a+b6 D．3a+6b
6．（3分）某地一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了13℃，半夜又下降了10℃，则半夜的气温是（　　）
A．﹣4℃ B．﹣10℃ C．3℃ D．﹣3℃
7．（3分）已知|2x+y|+（6+3y）2＝0，则x，y分别为（　　）
A．1，﹣2 B．﹣2，4 C．2，﹣1 D．2，﹣4
8．（3分）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…根据上述算式中的规律，请你猜想2100的末尾数字是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．6
9．（3分）如图，是一个计算程序，若输入m的值为2，则输出n的值为（　　）
A． B．﹣2 C． D．2
二．填空题（共7小题，满分18分）
10．（4分）某市人口约102.5万，精确到 　 　 位；把120073654用科学记数法表示（精确到0.01）是 　 　 ．
11．（2分）把7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（+2）写成省略加号和的形式为 　 　 ．
12．（4分）（1）　 　 ；
（2）　 　 ．
13．（2分）若有理数a等于它的倒数，则a2027＝　 　 ．
14．（2分）计算（﹣1）100×5+（﹣2）4÷4的结果为 　 　 ．
15．（2分）已知|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，b且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则a+b﹣c＝　 　 ．
16．（2分）观察下列有理数：，，，，，，…，按此规律，第n个有理数是　 　 ．（n为正整数）
三．解答题（共4小题，满分55分）
17．（20分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+8）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（12分）【思考】
定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？
3※5＝8， （﹣3）※（﹣5）＝8. （﹣3）※5＝﹣8， 3※（﹣5）＝﹣8. 3※0＝3， （﹣3）※0＝3.
【归纳】
（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 　 　 .任何数同0进行“※”运算，都得 　 　 ．
【运用】
（2）计算：（﹣12）※（4※0）；
（3）化简：（﹣7）※x．
（提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．）
19．（12分）出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，如表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，〇表示载有乘客，且乘客都不相同）．
次数 1 2 3 4 5 6
里程 ﹣3 ﹣15 +16 ﹣1 +5 ﹣12
载客 × 〇 〇 × 〇 〇
（1）刘师傅走完第6次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？
（2）已知出租车每千米耗油约0.08升，刘师傅开始营运前油箱里有8升油，若少于3升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油；
（3）已知载客时3千米以内收费10元，超过3千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完6次里程后的营业额为多少元？
20．（11分）根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示．
①A点表示的数是 　 　 ；AB之间的距离是 　 　 ；
②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是 　 　 ；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 　 　 cm？
②图中点A所表示的数是 　 　 ，点B所表示的数是 　 　 ；
（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为﹣37，
根据琪琪的想法，完成一下问题：
①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 　 　 ，
②求奶奶现在多少岁了．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．【解答】解：106000＝1.06×105．
故选：B．
2．【解答】解：∵（﹣2）2的底数是﹣2，指数是2，﹣22的底数是2，指数是2，
∴它们底数不相同，指数相同，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣2）2的底数是﹣2，指数是2，﹣22的底数是2，指数是2，
∴它们底数不相同，指数相同，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，
∴（﹣2）2＞﹣22，
∴选项C符合题意；
∵（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，
∴（﹣2）2＞﹣22，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
3．【解答】解：∵a+b＝0，
∴a，b互为相反数，
∴|a|＝|b|．
故选：C．
4．【解答】解：﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣3|＝3，﹣（+2）＝﹣2，﹣（），+（﹣2）＝﹣2，﹣（﹣3）＝3，﹣22＝﹣4，
则负数有4个．
故选：C．
5．【解答】解：根据题意可知，原式＝3a+6b．
故选：D．
6．【解答】解：由题意，得﹣7+13﹣10＝﹣4（℃）．
故选：A．
7．【解答】解：∵|2x+y|+（6+3y）2＝0，
∴2x+y＝0，6+3y＝0，
解得x＝1，y＝﹣2．
故选：A．
8．【解答】解：通过观察可知2的正整数次幂的个位数字是以2，4，8，6为周期循环的，
由于100÷4＝25，所以2100的末位数字是6．
故选：D．
9．【解答】解：由题意可得，
{[2+（﹣3）]2﹣4}÷6
＝[（﹣1）2﹣4]÷6
＝（1﹣4）÷6
＝（﹣3）÷6
，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分18分）
10．【解答】解：102.5万＝1025000，精确到千位；
120073654＝1.20073654×108≈1.20×108．
故答案为：千，1.20×108．
11．【解答】解：7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（+2）＝7+（+3）+（﹣5）+（﹣2）＝7+3﹣5﹣2，
故答案为：7+3﹣5﹣2．
12．【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
13．【解答】解：由题意，得
a＝1或a＝﹣1．
a＝1时，a2027＝1，
a＝﹣1，a2027＝﹣1，
故答案为：±1．
14．【解答】解：（﹣1）100×5+（﹣2）4÷4
＝1×5+16÷4
＝5+4
＝9，
故答案为：9．
15．【解答】解：根据题意得：
a＞0，b＜0，c＜0，
a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴a+b﹣c＝4﹣2﹣（﹣5）＝7．
故答案为：7．
16．【解答】解：∵一列数为：，，，，，，…，
∴第n个有理数为：（﹣1）n+1 ，
故答案为：（﹣1）n+1 ．
三．解答题（共4小题，满分55分）
17．【解答】解：（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+8）
＝（﹣20）+3+5+（﹣8）
＝[（﹣20）+（﹣8）]+（3+5）
＝﹣28+8
＝﹣20．
（2）
．
（3）
．
（4）
（﹣60）（﹣60）（﹣60）（﹣60）
＝﹣30+20+15﹣12
＝﹣7．
18．【解答】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值；
故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值；
（2）（﹣12）※（4※0）
＝（﹣12）※4
＝﹣16；
（3）当x＞0时，（﹣7）※x＝﹣（7+x）＝﹣7﹣x；
当x＝0时，（﹣7）※x＝7；
当x＜0时，（﹣7）※x＝7﹣x．
19．【解答】解：（1）﹣3﹣15+16﹣1+5﹣12＝﹣10（千米），
答：刘师傅走完第6次里程后，他在A地的西面，离A地有10千米；
（2）行驶的总路程：|﹣3|+|﹣15|+|+16|+|﹣1|+|+5|+|﹣12|
＝3+15+16+1+5+12
＝52（千米），
耗油量为：0.08×52＝4.16（升），
因为8﹣4.16＝3.84（升）＞3升，
所以不需要加油；
（3）第2次载客收费：
10+（15﹣3）×1.5
＝10+12×1.5
＝10+18
＝28（元），
第3次载客收费：
10+（16﹣3）×1.5
＝10+13×1.5
＝10+19.5
＝29.5（元），
第5次载客收费：
10+（5﹣3）×1.5
＝10+2×1.5
＝10+3
＝13（元），
第6次载客收费：
10+（12﹣3）×1.5
＝10+9×1.5
＝10+13.5
＝23.5（元），
所以总营业额为：
28+29.5+13+23.5＝94（元）．
答：刘师傅这天上午走完6次里程后的营业额为94元．
20．【解答】解：（1）①如图点A表示﹣2，点B表示2，
∴AB＝4，
故答案为：﹣2，4；
②将点B向左平移4个单位，
该点表示的数是﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）①30﹣6＝24，24÷3＝8，
∴这根木棒的长为8cm，
故答案为：8；
②6+8＝14，30﹣8＝22，
∴点A所表示的数是14，点B所表示的数是22，
故答案为：14，22；
（3）①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为119，
故答案为：119；
②妙妙和奶奶的年龄差为：[119﹣（﹣37）]÷3＝52（岁），
∴奶奶现在的年龄：119﹣52＝67（岁）第2章 有理数
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列所画数轴正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）在，15，﹣|﹣7|，0，这些数中，非负整数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）+3，，﹣（﹣5），|﹣6|，中，有（　　）个负数．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．（3分）若x与8互为相反数，则|x﹣2|等于（　　）
A．7 B．8 C．6 D．10
5．（3分）18的绝对值是（　　）
A．18 B．﹣18 C． D．
6．（3分）数轴上表示数a，b，c，d的点如图所示，其中绝对值最小的数是（　　）
A．a B．b C．c D．d
7．（3分）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”，等等．通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（　　）
A．﹣1.25D B．﹣0.75D C．﹣1.75D D．﹣2.25D
8．（3分）在数轴上，与原点距离为3个单位的点表示的数是（　　）
A．3 B．﹣3或3 C．﹣3 D．0.3
9．（3分）有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　）
A．-a＜-b B．a＜-b C．b＜-a D．-b＜|a|
10．（3分）在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．数轴需要满足以下的要求，其中错误的是（　　）
A．在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点
B．通常规定直线上从原点向右（或者向上）为正方向，从原点向左（或者向下）为负方向
C．选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次表示﹣1，﹣2，﹣3，…
D．分数或者小数不可以用数轴上的点表示
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．（3分）在有理数，﹣1，0，2中，最小的数是　 　 ．
12．（3分）a的相反数是 　 　 ．
13．（3分）如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动6个长度单位后，这时点A表示的数是　 　 ．
14．（3分）大于﹣2.5而不大于3整数有　 　 个．
15．（3分）点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且ab＜0，a+b＞0，a＞b，c＞0那么表示数b的点为 　 　 ．
16．（3分）如果体重减少3kg记作﹣3kg，那么体重增加5kg，应记作 　 　 kg．
17．（3分）如图，点A，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，点A在数轴上所表示的数为﹣5，AC＝8，点B为线段AC的中点，则点B在数轴上所表示的数为 　 　 ．
18．（3分）在+2，0，-4，-中，最小的数是
19．（3分）已知|x﹣2|+|3﹣y|＝0，则x的值是 　 　 ．
20．（3分）|﹣2026|＝　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
21．（4分）已知a，b是有理数，且满足|a﹣1|+|2﹣b|＝0，求a与b的值．
22．（8分）把下列各有理数分别填入相应的集合内．
﹣2，，0，3.14，，47%，2025，﹣1.4，．
整数集合：{　 　 …}；
正数集合：{　 　 …}；
负分数集合：{　 　 …}；
非正有理数集合：{　 　 …}．
23．（6分）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．
|﹣3|，﹣2，﹣（﹣4.5），0，，．
24．（6分）如图所示的送餐机器人在一条东西走向的走道上为客人服务，从取餐点A出发，先向东移动4m到达3号桌B处，然后向西移动7m到达2号桌C处，再返回取餐点．
（1）以取餐点为原点，向东方向为正方向，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三处的位置；
（2）C处离A处有多远？
（3）机器人一共移动了多少米？
25．（8分）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；
（2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？
26．（8分）同学们知道，|8﹣3|表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索：
（1）|8﹣5|表示数轴上数8与数　 　 两点间的距离；
（2）|x﹣（﹣5）|表示数轴上数x与数　 　 两点间的距离；
（3）|x+3|+|x﹣2|表示数轴上数x与数　 　 的距离和数x与数　 　 的距离的和；
（4）探究，|x+3|+|x﹣2|是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、缺少单位长度，不符合题意；
B、缺少正方向，不符合题意；
C、三要素具备，符合题意；
D、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，不符合题意．
故选：C．
2．【解答】解：﹣|﹣7|＝﹣7，﹣（﹣3）＝3，
所以在，15，﹣|﹣7|，0，这些数中，非负整数有15，0，﹣（﹣3），共3个．
故选：C．
3．【解答】解：+3＞0，是正数；
0，是负数；
﹣（﹣5）＝5＞0，是正数；
|﹣6|＝6＞0，是正数；
0，是负数；
∴负数有，，共2个．
故选：B．
4．【解答】解：∵x和8互为相反数，
∴x+8＝0，
∴x＝﹣8，
∴|x﹣2|＝10．
故选：D．
5．【解答】解：18的绝对值是18．
故选：A．
6．【解答】解：根据图示，可得：﹣4＜a＜﹣3，﹣1＜b＜0，1＜c＜2，3＜d＜4，
∴3＜|a|＜4，0＜|b|＜1，1＜|c|＜2，3＜|d|＜4，
∴绝对值最小的是b．
故选：B．
7．【解答】解：A．﹣1.25D对应近视度数为1.25×100＝125度，125＜200，不需要佩戴，
B．﹣0.75D对应近视度数为0.75×100＝75度，75＜200，不需要佩戴，
C．﹣1.75D对应近视度数为1.75×100＝175度，175＜200，不需要佩戴，
D．﹣2.25D对应近视度数为2.25×100＝225度，225＞200，需要佩戴．
故选：D．
8．【解答】解：设所求点表示的数为x，
∵该点与原点的距离为3个单位，
∴|x|＝3，
∵绝对值为3的数是3和﹣3，
∴在数轴上，与原点距离为3个单位的点表示的数是﹣3或3．
故选：B．
9．【解答】解：由数轴得-1＜a＜0，b＞1，
A、∵-1＜a＜0，b＞1，∴-a＞-b,故A选项错误；
B、∵-1＜a＜0，b＞1，∴a＞-b,故B选项错误；
C、∵-1＜a＜0，b＞1，∴b＞-a,故C选项错误；
D、∵-1＜a＜0，b＞1，∴-b＜|a|，故D选项正确．
故选：D．
10．【解答】解：A．在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，正确，符合题意；
B．通常规定直线上从原点向右（或者向上）为正方向，从原点向左（或者向下）为负方向，正确，符合题意；
C．选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次表示﹣1，﹣2，﹣3，…正确，符合题意；
D．错误，分数或者小数可以用数轴上的点表示，不符合题意，
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．【解答】解：∵﹣10＜2，
∴最小的数是：﹣1．
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：a的相反数是﹣a．
故答案为：﹣a．
13．【解答】解：由题意，得2﹣6＝﹣4，这时点A表示的数为﹣4．
故答案为：﹣4．
14．【解答】解：如图：
由图可知大于﹣2.5而不大于3的整数有﹣2、﹣1、0、1、2、3，共6个．
故答案为：6．
15．【解答】解：∵ab＜0，a+b＞0，a＞b，
∴a＞0＞b，
∴表示数b的点为M．
故答案为：M．
16．【解答】解：如果体重减少3kg记作﹣3kg，那么体重增加5kg，应记作+5kg，
故答案为：+5．
17．【解答】解：由题知，
因为点A在数轴上所表示的数为﹣5，AC＝8，
所以点C表示的数为﹣5+8＝3．
又因为点B为线段AC的中点，
所以，
即点B表示的数为﹣1．
故答案为：﹣1．
18．【解答】解：根据有理数大小比较规则：
∵|=，4＞，负数小于0，0小于正数，且|-4|=4，
∴-4＜-＜0＜+2
故答案为：-4．
19．【解答】解：∵|x﹣2|+|3﹣y|＝0，
∴x﹣2＝0，3﹣y＝0，
∴x＝2，y＝3．
故答案为：2．
20．【解答】解：绝对值的规则是：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，这里的数是﹣2026，是负数，所以它的绝对值是它的相反数，
即：|﹣2026|＝﹣（﹣2026）＝2026．
故答案为：2026．
三．解答题（共6小题，满分40分）
21．【解答】解：∵|a﹣1|+|2﹣b|＝0，
∴a﹣1＝0，2﹣b＝0，
∴a＝1，b＝2，
故答案为：a＝1，b＝2．
22．【解答】解：整数集合：{﹣2，0，2025，…}；
正数集合：{，3.14，47%，2025，，…}；
负分数集合：{，﹣1.4，…}；
非正有理数集合：{﹣2，0，，﹣1.4，…}．
故答案为：﹣2，0，2025；
，3.14，47%，2025，；
，﹣1.4；
﹣2，0，，﹣1.4．
23．【解答】解：如图：
∴﹣20|﹣3|＜﹣（﹣4.5）．
24．【解答】解：（1）如图所示：
（2）C处离A处有|﹣3﹣0|＝|3m．
（3）由（1）中数轴可知，机器人一共移动的路程为4+7+3＝14（m）．
25．【解答】解：（1）a，b的相反数分别为﹣a，﹣b，表示在数轴上如图：
这四个数从小到大排列为：b＜﹣a＜a＜﹣b；
（2）数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的点到原点的距离为8，
所以b表示的数是﹣8；
（3）因为﹣b表示的点到原点的距离为8，
而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，
所以a表示的点到原点的距离为4，
所以a表示的数是4．
26．【解答】解：（1）由题意可知，|8﹣5|表示8与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
故答案为：5；
（2）由题意可知，|x+5|＝|x﹣（﹣5）|，表示x与﹣5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
故答案为：﹣5；
（3）由题意可知，|x+3|＝|x﹣（﹣3）|表示x与﹣3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
|x﹣2|表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
∴|x+3|+|x﹣2|＝|x﹣（﹣3）|+|x﹣2|表示数轴上数x与数﹣3的距离和数x与数2的距离的和，
故答案为：﹣3，2；
（4）当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|取得最小值5

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