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新湘教版八年级上册数学
第4章 三角形
4.2.2 证明，举反例
学习目标
1．通过具体事例掌握举反例，证明，反证法等概念．
2．会判断一个命题的真假，并会给假命题举出反例．
3．通过具体例题，体会反证法的意义，学会用反证法解决特殊问题．
任务导入
如何判断一个命题是假命题呢？
若a是有理数，则a是整数
有理数的绝对值是正数
0.1是有理数，但不是整数
0的绝对值是0，不是正数
假命题
假命题
对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不
满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
探索展示
(1)若a2=b2，则a=b；
(2)一个角的余角大于这个角；
(3)若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |；
(4)如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
用举反例的方法说明下列命题是假命题.
(2)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°，因此“一个
角的余角大于这个角”是假命题.
解：(1)12=(-1)2，但是1 ≠-1，因此“若a2=b2，则a=b”是假命题.
(3)设a=2,b=-1，| 2+(-1) |≠| 2 |+| -1 |，因此“若a，b是有理数，
则| a+b |=| a |+| b |”是假命题.
(4)在等腰△ABC中，∠A=∠B=70°，∠C=40°，但∠A与∠B不是
对顶角，因此“如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角”是假命题.
应用提升
例1 命题“如果ab = 0，那么a = 0”是真命题还是假命题？
∴“如果 ab = 0，那么a = 0”是假命题.
解： ∵1 × 0 = 0，但是 1 ≠ 0
应用提升
课堂练习
1.命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题还是假命题？
解：假命题.（只有当两条直线互相平行，则同位角相等.）
探索展示
如何判断一个命题是真命题呢？
判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、
基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出
这个命题的结论成立. 这一过程就是通常所说的证明.
(1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条
件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
(2)证明的每一步都必须要有根据.
应用提升
例2 证明：如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0.
证：∵a ≠ 0
∴ a2为正数
又∵ b2为正数或0
∴ a2 + b2 是正数
从而 a2 + b2 ≠ 0
同理可得，若b ≠ 0，则a2 + b2 ≠ 0
应用提升
课堂练习
2.证明：在同一平面内，如果直线a ∥ b，l⊥ a，那么l⊥ b.
a
b
l
1
2
证：如图，∵a ∥ b，
∴∠1=∠2
∵l⊥ a
∴∠1=90°
从而∠2=90°
∴l⊥ b
应用提升
例3 △ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°
“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”
应分三种情况进行证明.
我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已
知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛
盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论.
比较繁琐
证：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°
则∠A < 60°，∠B < 60°，∠C < 60°
从而∠A + ∠B + ∠C < 60°+ 60°+ 60°= 180°
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾
故假设不成立
因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°
应用提升
当直接从条件出发证明一个命题比较困难
时，可以先假设命题不成立，从这样的假设
出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者
与定义、基本事实、已经证明了的真命题等
矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命
题是正确的. 这种证明方法叫作反证法.
反证法基本步骤
(1)假设命题不成立
(2)导出矛盾
(3)肯定结论
用反证法证明时，导出矛盾的几种可能：
(1)与原命题的条件矛盾；
(2)与假设矛盾;
(3)与定义、公理、定理、性质矛盾；
(4)与客观事实矛盾.
应用提升
例2 证明：如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0.
用反证法证明
证：假设如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 = 0
若a ≠ 0，则a2为正数
b2定为正数或0
从而a2 + b2 一定是正数
同理可得，若b ≠ 0，则a2 + b2 ≠ 0
这与“如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 = 0”矛盾
故假设不成立
因此，如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0.
应用提升
课堂练习
3.用反证法证明：如果ab = 0，那么a = 0或b = 0.
证：假设如果ab = 0，那么a，b均不等于0
当a≠0且b≠0时
ab ≠ 0
这与“ab = 0”矛盾，故假设不成立
因此，如果ab = 0，那么a = 0或b = 0
课堂小结
导图复盘
证明、举反例
├─举反例
│ 对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题
├─证明
│ 运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.
└─反证法
├─(1) 假设命题不成立
├─(2) 导出矛盾
└─(3) 肯定结论
当堂检测
1.能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是( )
A. B. C. D.
当堂检测
2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是( )
A. 三角形中最少有一个角是直角或钝角
B. 三角形中没有一个角是直角或钝角
C. 三个角全是直角或钝角
D. 三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角
3. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”
时，下列假设正确的是( )
D
A. 三角形中最少有一个角是直角或钝角
B. 三角形中没有一个角是直角或钝角
C. 三个角全是直角或钝角
D. 三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角
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情景导入
下列命题哪些正确？哪些错误？
（1），（2）（3）是错的，
（4）是正确的.
（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数， 那么a是整数.
（3）同位角相等； （4）同角的补角相等.
情景导入
我们把正确的命题称为真命题
把错误的命题称为假命题
探究新知
判断下列命题是真命题还是假命题
(1)相等的角是对顶角
(2)内错角相等
(3)大于90度的角是平角
(4)如果a>b，b>c，那么a>c
真命题
假命题
假命题
假命题
例题讲解
探究新知
1、同旁内角互补，两直线平行.
2、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
假
3、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
假
说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.
探究新知
像此例那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
解 如果a是整数，根据有理数的定义：
“整数和分数统称为有理数”，得出a是实数.
因此命题(1)为真．
探究新知
像此例那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.
（2）如果a是有理数，那么a是整数
解 0.5是有理数，
因此命题(2)为假．
但是0.5不是整数.
探究新知
判断下列命题为真命题是根据什么呢？
说一说
是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断．
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
（2）如果三角形ABCD是等边三角形，那么它是等腰三角形．
探究新知
从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.
对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？
探究新知
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。
有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
探究新知
古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
欧几里得
结论
探究新知
小知识
欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系．
（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.)
探究新知
举例： 本书中常用的基本事实：
过两点有且只有一条直线.
（2）
两点之间，线段最短.
（1）
（3）
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
探究新知
举例： 定理：
同角或等角的补角相等.
（2）余角的性质：
同角或等角的余角相等.
（4）垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（1）补角的性质：
（3）对顶角的性质：
对顶角相等
②垂线段最短.
内错角相等，两直线平行.
（5）平行线的判定定理：
探究新知
定理也可以作为判断其他命题真假的依据,由某
定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
在图2-15 中， 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？
根据三角形内角和定理：
∠ACD +∠ACB = 180°，∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量减等量， 差相等）.
于是∠ACD =∠A +∠B.
探究新知
平行线的性质定理Ｉ
两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线 平行，那么同位角相等．
平行线的基本事实Ｉ
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
上述这两个定理是不是互逆的命题？
1
2
1
2
探究新知
结论
如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.
例如：
平行线的基本事实Ｉ是平行线的性质定理Ⅰ的逆定理．
探究新知
下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来．
两条直线被第三条直线所截，如果这两直线平行，那么内错角相等；
答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行；
探究新知
1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ 请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0；
答：真命题
（2）相等的角是对顶角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，
那么a∥b.
答：假命题
答：假命题
答：真命题
C
A. ①②③④⑤ B. ③④⑤②①
C. ④②①⑤③ D. ⑤②③①④
返回
2.
母题 教材P98做一做 判断下列各命题是真命
题还是假命题，若是假命题，请举一个反例.
（2）锐角小于它的余角；
真命题.
返回
3. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正
确的反例是( )
C
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中考考法
4.
角平分线的定义
两直线平行，内错角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
课堂小结
证明
1. 说明一个命题是真命题的方法：
举反例
2. 说明一个命题是假命题的方法：
3. 基本事实、定理、互逆定理.
作业
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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