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(共26张PPT)
第1章 三角形
1.7角平分线的性质
（浙教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
进一步了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质定理，能准确表述并运用性质解决简单几何问题；
学会用直尺和圆规作角平分线，明晰作图原理，规范作图步骤；
在探究角平分线性质和作图方法中，运用逻辑推理、操作实践，培养分析问题、解决问题的能力，发展空间观念；
借助我国纸伞等传统文化元素，感受数学与生活、文化的联系，增强民族文化认同感，激发学习兴趣.
03
04
02
新知导入
我国纸伞的结构十分巧妙。如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且AE＝AF，DE＝DF，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动。为什么？
02
新知导入
角的平分线的概念是什么？
几何语言：
所以 OB 平分∠AOC.
如图，因为∠1= ∠2= ∠AOC
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.
03
新知讲解
思考
工人师傅用角尺来平分一个角。 如图，∠AOB 是任意角，在 OA，OB 上分别取 OM＝ON。移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线。
想一想，这种方法的依据是什么？由此你能想到怎样作一个角的平分线？
在△OCM和△OCN中，
因为OC=OC，CM=CN.OM=ON，
所以△OCM≌△OPN （SSS），
所以∠NOC=∠MOC.
03
新知讲解
已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
例1
分析：如果能找到∠BAC 的平分线上一点 D，那么射线 AD 就是∠BAC 的平分线。由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个全等三角形来作出点D。
作法：如图。
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。
2.分别以 E，F 为圆心，大于 EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。
3.作射线AD。
射线AD就是所求作的∠BAC的平分线。
03
新知讲解
已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
例1
事实上，如图，连结DE，DF。
由作法可得△ADF≌△ADE，
所以∠1＝∠2（全等三角形的对应角相等），
即AD平分∠BAC。
03
新知讲解
做一做
任意作一个角，记为∠BAC，P 是∠BAC 的平分线上的一点，PB⊥AB 于点 B，PC⊥AC 于点 C。
比较PB和PC的大小，并证明你的结论。
证明：因为PB⊥AB，PC⊥AC(已知），
所以∠ABP=∠ACP=Rt∠(垂线的定义）.
∠PAB＝∠PAC,
∠ABP＝∠ACP ，
AP＝AP(公共边)
∴△APB≌△APC(AAS).
∴PB=PC.
因为
在△APB和△APC中，
03
新知讲解
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
A
O
B
P
D
E
C
03
新知讲解
∵ OC 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
应用格式：
注意事项：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏.
A
O
B
P
D
E
C
03
新知讲解
判一判
(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，
所以 BD ＝ CD .
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
×
B
A
D
C
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，
所以 BD ＝CD.
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
×
B
A
D
C
03
新知讲解
已知：如图，AB∥CD，PB，PC 分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。求证：PA=PD。
例2
分析：由 AB∥CD，AD⊥AB，可得 AD⊥CD，则 PA，PD 的长分别是点P 到 AB，CD 的距离。根据角平分线的性质定理可知，它们与点 P 到 BC 的距离相等。因此，可先作出点P到BC的垂线段。
证明：如图，作PE⊥BC于点E。
因为AB∥CD（已知），
所以∠BAD+∠CDA=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
03
新知讲解
已知：如图，AB∥CD，PB，PC 分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。求证：PA=PD。
例2
由AD⊥AB（已知），
知∠BAD=90°（垂直的定义），
所以∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
即AD⊥CD（垂直的定义）。
因为PB平分∠ABC（已知），PA⊥AB，PE⊥BC，
所以PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，PD=PE。
所以PA=PE=PD。
04
课堂练习
基础题
C
1.观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是(　　)
04
课堂练习
基础题
2.如图，OP平分∠AOB，C为OB上一点，OC＝4，过点P作PD⊥OA.若△OCP的面积为4，则PD的长为 ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
C
04
课堂练习
基础题
PQ≥10
3.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上任意一点，则PQ的取值范围是________．
04
课堂练习
基础题
4.如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OM上的另一点，连结DF，EF.求证：∠DFO＝∠EFO.
【证明】因为OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以∠DOC＝∠EOC，∠ODC＝∠OEC＝90°，DC＝CE，
所以∠DOC＋∠ODC＝∠EOC＋∠OEC，
即∠DCF＝∠ECF.
又因为CF＝CF，所以△DFC≌△EFC(SAS)，
所以∠DFO＝∠EFO.
04
课堂练习
提升题
B
1.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于(　　)
A．5：2
B．2：5
C．1：2
D．1：5
04
课堂练习
提升题
2. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E. 若△ABC与△CDE的周长分别为17和7，则AB的长为 .
5　
04
课堂练习
拓展题
【解】作图如图所示．
如图，在Rt△ABC中．
(1)利用尺规作图，在BC边上找到一点P，使得点P到AC，AB的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)
04
课堂练习
拓展题
(2)在(1)的条件下，过点P作PD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，AB＝13，求BD的长．
【解】因为AP平分∠CAB，PC⊥AC，PD⊥AB，
所以PC＝PD，∠CAP＝∠DAP，∠C＝∠PDA＝90°，
所以△CAP≌△DAP，所以AD＝AC＝5，
所以BD＝AB－AD＝13－5＝8.
05
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
06
板书设计
1.7角平分线的性质
1.作已知角的平分线：
2.角平分线的性质定理：
Thanks!
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