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人教版（新教材）2026年九年级上册第25章《一元二次方程》单元测试卷
满分100分 时间90分钟
一、选择题（共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ）．
A．， B．， C．， D．，
3．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于的方程，则方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．无法确定
5．若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（ ）
A．5 B．0 C． D．
9．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．9 B．11 C．13 D．11或13
10．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
二、填空题（共18分）
11．将一元二次方程化为一般式为______．
12．若关于的方程是一元二次方程，则________．
13．已知一元二次方程的一个根为2，则__________．
14．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______．
15．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________．
16．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
三、解答题（共52分）
17．（8分）解方程：
(1)．
(2)．
18．（8分）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数．
19．（8分）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？
20．（8分）某水果商店销售一种进价为40元的优质水果．若售价为50元，则一个月可售出；若售价在50元的基础上每上涨1元，则月销售量就减少．已知这种水果的售价不得超过70元．
(1)当售价为55元时，每月可以销售该种水果多少千克？
(2)当月利润为8750元时，每千克该种水果的售价为多少元？
21．（10分）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，．
(1)求证：无论取何值，是方程①的一个根．
(2)当时，求的取值范围．
(3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值．
22．（10分）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．
(1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值；
(2)若，是方程的两根，记，，…，，
①当为不小于的整数时，证明：；
②计算，的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C D A A D C D
二、填空题
11． 12．2 13．2
14． 15． 16．
三、解答题
17．（1）解：，
因式分解得，
∴，
解得：．
（2）解：，
移项得，
提取公因式得，
∴或，
解得，．
18．证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根，
，
，
，
，
∴是非负数．
19．解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得，，
整理得，，
解得：，，
∵墙的长度为12米，
∴不合题意，舍去，
∴，
∴，
答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米．
20．（1）解：当售价为55元时，
根据题意，每月销售量为（千克），
答：每月可以销售该种水果450千克；
（2）解：设每千克该种水果的售价为元，由题意得，每千克销售利润为元，月销售量为千克，
根据题意列方程得，
整理得，
解得，，
，不符合售价不得超过70元的要求，舍去，
，
答：每千克该种水果的售价为65元．
21．(1)证明：∵，
∴，
，
，
，
解得：，，
（2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，
∴根据根与系数的关系，，，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根，
又∵，，
∴，
设的一个根为，
∵的一个根比方程①的根大，
∴，
把代入中，
，
整理得：，
∵，则，
∴的最大值为．
22．（1）解：．
原方程有两个不相等的实数根，
，解得，
由根与系数的关系，，，
，
，化简得，或，
或，
又，
；
（2）①略
②，是方程的两根，
，，
；
由①知：
．

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