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人教版（新教材）2026年九年级上册第26章《二次函数》单元测试卷
满分100分 时间90分钟
一、选择题（共30分）
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根
6．二次函数的，，，那么其图象必过（ ）
A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二象限 D．第一、二、三象限
7．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
9．若抛物线的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
10．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共18分）
11．二次函数的二次项系数是______，常数项是_____．
12．函数是关于的二次函数，则______．
13．二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=）
14．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______．
15．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______．
16．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________．
三、解答题（共52分）
17．（8分）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，；
(1)求y与x的函数关系式；
(2)时，函数的值为多少？
18．（8分）已知二次函数的表达式为：．
(1)将该二次函数配方成顶点式；
(2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
19．（8分）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表：
2 0 1 2 3 4
5 0 0 m
(1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________．
20．（9分）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标．
21．（9分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为．
(1)求抛物线表达式；
(2)通过计算判断此球能否过网；
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离．
22．（10分）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值；
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A C C D C B C
二、填空题
11．
12．
13．>
14．
15．1
16．
三、解答题
17．（1）解：∵与成正比例，与成正比例，
∴设，，
∵，
∴，
将和分别代入上式，
得，
解得，
∴与的函数关系式为；
（2）将代入，得．
18．(1)
(2)图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为
19．（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知．
故答案为：，5；
（2）解：二次函数的图象如图所示：
（3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是．
故答案为：．
20．（1）解：由、关于对称轴对称，
得．
将、点坐标代入函数解析式，
得，
解得，
抛物线的解析式；
（2）解：由，得到的距离是的4倍，
即点的横坐标为4或，
当时，，
当时，，即，
综上所述，点P的坐标为或．
21．（1）解：由题意可设，
把代入得，
抛物线的解析式为：
（2）解：当时，
此球能过网．
（3）解：当时，
解得：，，
羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米．
22．（1）解：把，代入中，得，
解得，，
∴这个二次函数的表达式为y；
（2）解：对于二次函数的表达式，令，则，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线的表达式为，
设，
∵轴．
，，
∴
∴
，
∴当时，有最大值；
（3）解：∵，，，，
∴，，，，
分以下三种情况：
①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时．
，，
，
解得或（舍去）
．
，
，
．
②如图，当是菱形的对角线时，
根据菱形的性质可得，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
，
解得或0（舍去），
∴．
③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时，
则有，
解得或0（舍去），
，
，
．
④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，，
则有，
解得或，
都不满足，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或．

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