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15.1.2 线段的垂直平分线
基础题训练
知识点一 线段垂直平分线的性质
1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是( )
2.如图,已知AB=AC=7,BC=5,分别以A,B 两点为圆心,大于/ AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M,N,直线MN 与AC 相交于点D,△BDC 的周长是 .
3.如图,△ABC中,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于E.
(1)若∠C=90°,∠DAC=20°,则∠B= ;
(2)若AC=4,BC=6,则△ACD的周长为 .
4.如图,在△ABC 中,BE平分∠ABC,交AC于E,DE 垂直平分AB 于D,
(1)若∠C=90°,求证:BE+DE=AC;
(2)若△ABC 的周长是20,△BCE 的周长是12,求AB 的长.
知识点二 线段垂直平分线的判定
5.点 P 是△ABC 内的一点,若 PB=PC,则( )
A.点 P 在∠ABC 的平分线上 B.点 P 在∠ACB 的平分线上
C.点P 在边AB 的垂直平分线上 D.点P 在边 BC 的垂直平分线上
6.如图,已知AC=AD,BC=BD,则( )
A. AB 垂直平分CD B. CD 垂直平分AB
C. AB 与CD 互相垂直平分 D. CD平分∠ACB
7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC 边的垂直平分线MN 经过A 点,连接AC，求证：点A 在CD 的垂直平分线上.
8.(教材P70T5改编)如图,AB=AC,DB=DC,E在直线AD上,求证:BE=CE.
中档题训练
9.用圆规与直尺作图：
(1)(教材P59T8改编)如图，A，B，C 是新建的三个居民小区，政府拟在与三个居民小区距离相等的地方修建一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M.
(2)(教材P71T12改编)如图，有两条国道相交于O点，在∠AOB 的内部有两村庄C，D，现要修建一加油站 P，使点 P 到OA，OB 的距离相等，且使PC=PD，用尺规作图，作出加油站 P 的位置(不写作法).
(3)如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,以点B 为圆心,BC 长为半径画弧,与AC 交于点D，再分别以 A，D为圆心，大于 AD 的长为半径画弧，两弧交于点E,F,作直线 EF,交AB 于点G,连接DG,则△BDG 的周长为 .
10.(教材P67T1改编)如图,在△ABE中,AD⊥BE于D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE 的垂直平分线上,若△ABC 的周长为22cm,求 DE 的长.
11.如图,四边形ABCD中,CE 垂直平分AD,CF 垂直平分AB.
(1)求证:CD=CB;
(2)若∠DAB=110°,求∠DCB 的大小.
综合题训练
12.如图，点 A 为∠MON 的角平分线上一点，过A 点任作一直线分别与∠MON 的两边交于B,C,P 为BC的中点,过点 P 作BC 的垂线交OA 于点 D.
(1)如图1,若∠MON=90°,则∠BDC= ;
(2)如图2,若∠BDC=100°,则∠BOD= ;
(3)如图3,若∠MON=α,则∠BDC= ,请给予证明.
2.线段的垂直平分线的性质
1. B 2.12 3.(1)35° (2)10
4.解:(1)证DE=CE,AE=BE,∴BE+DE=AC;(2)AB=8.
5. D 6. A
7.解:MN 垂直平分BC,∴AB=AC,
∵AB=AD,∴AC=AD,
∴点A 在CD的垂直平分线上.
8.证明:∵AB=AC,DB=DC,
∴AD 为BC 的垂直平分线,∴BE=CE.
9.(1)垂直平分线的交点.
(2)CD的垂直平分线与∠AOB 的平分线的交点.
(3)8
10.解:
11.解:连接AC.
(1)∴CD=CA,CB=CA,∴CD=CB;
(2)△ACE≌△DCE,△ACF≌△BCF,
∴∠CAD=∠D,∠CAB=∠B,
∴∠DCB=360°-220°=140°.
12.解:(1)90° (2)40°
(3)过D 作DH⊥OM 于点H,DG⊥ON 于点G,则 DH=DG,Rt△DBH≌Rt△DCG,∴∠BDH=∠CDG,∴∠BDC=∠HDG=180°-α.

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