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2026秋沪科版九上数学第22章素养测评
一、选择题(本大题共10小题，每小题4，共40)
1．下列四组线段中，成比例的是(　　)
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18
C．1，3，2，8 D．1，2，4，6
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(　　)
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
4．已知a?b＝4?5，则下列式子正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
5．如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，CD与地面AB平行，已知OF＝30 cm，GF＝50 cm，若AB＝40 cm，则CD的长是(　　)
A．30 cm B. cm C．20 cm D. cm
(第5题)　　(第6题)
6．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，CD上的点，∠BEF＝90°，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是(　　)
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④
7．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠A＋∠F的度数为(　　)
A．45° B．50° C．60° D．75°
(第7题)　　(第8题)
8．如图，点A，B都是双曲线y＝(k≠0，x>0)上的点，连接AB并延长交x轴于点C，已知AB＝2BC，△AOC的面积为12，则k的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是(　　)
A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA
C．BD2＝BC·BE D．CE·AB＝BE·CA
(第9题)　　(第10题)
10．如图，在正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是EF的中点，连接MC.设EF与BD和DC分别相交于点G和N，下列结论：①△FGD∽△BGE；②若BF＝4，则CE＝2 ；③∠CME＝∠CDE；④DG2＝GN·GE，其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5，共20)
11．在比例尺为1∶1 000 000的地图上，测得A，B两城市的距离是3.5 cm，则A，B两城市的实际距离是________km.
12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6，12，15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为________．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)．已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，则点B′的坐标是____________________．
(第13题)　　(第14题)
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一点，AE＝3，F为BE的中点．
(1)EF＝________；
(2)若CF⊥BE，CE，DF相交于点O，则＝________．
三、(本大题共2小题，每小题8，共16)
15．已知线段a，b，c满足＝＝，且a＋b＋c＝30.
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
16．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.
(1)求AC的长；
(2)若OE：OF＝1：3，求OB：AB.
四、(本大题共2小题，每小题8，共16)
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位，△ABC的顶点都在格点上．
(1)以原点O为位似中心，
在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为______．
18.已知：如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E.求证：＝.
五、(本大题共2小题，每小题10，共20)
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C.
(1)求证：△ADE∽△DBE；
(2)若BE＝16 cm，DE＝20 cm，求DC的长．
20．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位时(如图①)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图②，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5 m，车宽AF＝1.8 m，车头FACD可近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，求汽车盲区EB的长度．
六、(本题共12)
21．某校的数学拓展性课程班在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部，这两部分的面积分别为S1，S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D.求证：直线CD是△ABC的黄金分割线．
七、(本题共12)
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm.动点N从点C出发，以每秒1 cm 的速度沿CB向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止移动．连接MN，设移动时间为t(单位：s)．
(1)当△BMN的面积为 cm2时，求t的值；
(2)若以B，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
八、(本题共14)
23．(1)【问题呈现】如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD＝CE.
(2)【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连接BD，CE，则＝________．
(3)【拓展提升】如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝.连接BD，CE.
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G.若＝，AB＝6，求BF的长．
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2026秋沪科版九上数学第22章素养测评
一、选择题(本大题共10小题，每小题4，共40)
1．下列四组线段中，成比例的是(　　)
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18
C．1，3，2，8 D．1，2，4，6
一、1.B
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
2.B
3．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(　　)
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
3.A
4．已知a?b＝4?5，则下列式子正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
4.C
5．如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，CD与地面AB平行，已知OF＝30 cm，GF＝50 cm，若AB＝40 cm，则CD的长是(　　)
A．30 cm B. cm C．20 cm D. cm
(第5题)　　(第6题)
5.B
6．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，CD上的点，∠BEF＝90°，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是(　　)
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④
6.A
7．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠A＋∠F的度数为(　　)
A．45° B．50° C．60° D．75°
(第7题)　　(第8题)
7.A
8．如图，点A，B都是双曲线y＝(k≠0，x>0)上的点，连接AB并延长交x轴于点C，已知AB＝2BC，△AOC的面积为12，则k的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
8.D
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是(　　)
A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA
C．BD2＝BC·BE D．CE·AB＝BE·CA
(第9题)　　(第10题)
9．D
10．如图，在正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是EF的中点，连接MC.设EF与BD和DC分别相交于点G和N，下列结论：①△FGD∽△BGE；②若BF＝4，则CE＝2 ；③∠CME＝∠CDE；④DG2＝GN·GE，其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
10.B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5，共20)
11．在比例尺为1∶1 000 000的地图上，测得A，B两城市的距离是3.5 cm，则A，B两城市的实际距离是________km.
二、11.35
12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6，12，15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为________．
12.11
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)．已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，则点B′的坐标是____________________．
(第13题)　　(第14题)
13.(3，2)或(－3，－2)
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一点，AE＝3，F为BE的中点．
(1)EF＝________；
(2)若CF⊥BE，CE，DF相交于点O，则＝________．
14．(1)
(2)
三、(本大题共2小题，每小题8，共16)
15．已知线段a，b，c满足＝＝，且a＋b＋c＝30.
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
三、15.解：(1)设＝＝＝m，则a＝2m，b＝5m，
c＝3m，
∵a＋b＋c＝30，∴2m＋5m＋3m＝30，解得m＝3，
∴a＝2m＝2×3＝6，b＝5m＝5×3＝15，c＝3m＝3×3＝9.
(2)∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴k2＝ab＝6×15＝90，
解得k＝3或k＝－3(舍去)，
∴线段k的长为3.
16．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.
(1)求AC的长；
(2)若OE：OF＝1：3，求OB：AB.
16．解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴DE∶DF＝AB∶AC，
即3∶(3＋6)＝4∶AC，解得AC＝12.
(2)∵l2∥l3，∴OB∶OC＝OE∶OF＝1∶3，
∴OC＝3OB.∵AB＝4，AC＝12，
∴BC＝8，∴OC＋OB＝8，∴4OB＝8，∴OB＝2，
∴OB∶AB＝2∶4＝1∶2.
四、(本大题共2小题，每小题8，共16)
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位，△ABC的顶点都在格点上．
(1)以原点O为位似中心，
在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为______．
四、17.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)14
18.已知：如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E.求证：＝.
18．证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°.
∴∠DAE－∠BAD＝∠BAC－∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAC.
∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD＝DC＝BD.
∴∠C＝∠DAC.∴∠BAE＝∠C.
又∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.∴＝.
五、(本大题共2小题，每小题10，共20)
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C.
(1)求证：△ADE∽△DBE；
(2)若BE＝16 cm，DE＝20 cm，求DC的长．
五、19.(1)证明：由四边形ABCD为平行四边形，可知∠A＝∠C.
∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE.
(2)解：由(1)得△ADE∽△DBE，∴＝，
∵BE＝16 cm，DE＝20 cm，∴AE＝25 cm，
∴AB＝AE－BE＝9 cm.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝9 cm.
20．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位时(如图①)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图②，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5 m，车宽AF＝1.8 m，车头FACD可近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，求汽车盲区EB的长度．
20．解：如图，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M.
∵3DF＝2AF，AF＝1.8 m，∴DF＝1.2 m.
∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴PM⊥AF.
易知DF＝MN＝1.2 m，
∵PN＝1.5 m，
∴PM＝PN－MN＝1.5－1.2＝0.3(m)．
∵AF∥EB，∴△PAF∽△PBE，
∴＝，∴＝，∴EB＝9 m.
六、(本题共12)
21．某校的数学拓展性课程班在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部，这两部分的面积分别为S1，S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D.求证：直线CD是△ABC的黄金分割线．
六、21.证明：设△ABC中，AB边上的高为h，则S△ABC＝AB·h，S△ACD＝AD·h，S△BCD＝BD·h，
∴S△ACD?S△ABC＝AD?AB，S△BCD?S△ACD＝BD?AD.
∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠ACD，∠CDB＝180°－∠B－∠BCD＝72°，
∴AD＝CD，∠CDB＝∠B，
∴BC＝CD.∴BC＝AD.
在△BCD与△BAC中，∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，∴＝，
∴S△ACD?S△ABC＝S△BCD?S△ACD，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线．
七、(本题共12)
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm.动点N从点C出发，以每秒1 cm 的速度沿CB向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止移动．连接MN，设移动时间为t(单位：s)．
(1)当△BMN的面积为 cm2时，求t的值；
(2)若以B，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
七、22.解：(1)如图，过点M作MD⊥BC于点D.
根据题意得BM＝2t cm，NC＝t cm.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm，
∴BC＝＝＝6(cm)．
∴BN＝(6－t)cm.
∵∠C＝90°，MD⊥BC，∴∠MDB＝∠ACB＝90°，
∵∠MBD＝∠ABC，∴△BMD∽△BAC，
∴＝，即＝，解得MD＝t cm.
∵S△BMN＝BN·MD，∴(6－t)×t＝，
解得t1＝t2＝3，∴t的值为3.
(2)分两种情况讨论：
①当MN⊥BC时，Rt△MBN∽Rt△ABC，
此时＝，即＝，解得t＝；
②当MN⊥AB时，Rt△NBM∽Rt△ABC，
此时＝，即＝，解得t＝.
综上所述，t的值为或.
八、(本题共14)
23．(1)【问题呈现】如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD＝CE.
(2)【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连接BD，CE，则＝________．
(3)【拓展提升】如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝.连接BD，CE.
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G.若＝，AB＝6，求BF的长．
八、23.(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE.
(2)
(3)解：①设AB＝3a，
∵＝＝，∴BC＝4a，＝.
又∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝，
∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，
∴＝.
由勾股定理，得AC＝＝5a，
∴＝＝.
②∵AB＝6，＝，∴AC＝10.
由①得△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD.
又∵∠AGC＝∠BGF，
∴△BGF∽△CGA，
∴＝＝，
∴BF＝·AC＝.
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