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专题训练(二)三角形中内、外角平分线的常见模型
模型一 三角形两内角平分线的夹角
教材母题
(教材复习题 13T8) 如图 2-ZT-1,在△ABC中,BE,CF 是角平分线,且 BE,CF 相交于点G.求证:
变式训练
1. 如图 2-ZT-2,△ABC 的两条内角平分线BE,CD 相交于点 F,∠A=62°,则∠BFC 的度数是 ( )
A.59° B.118° C.121° D.124°
2. 如图 2-ZT-3,在△ABC 中,∠A =60°,BD,CD分别平分∠ABC 和∠ACB,BE,CE 分别平分∠DBC 和∠DCB,则∠BEC 等于 ( )
A.140° B.150° C.165° D.170°
3. 如 图 2-ZT-4,在 △ABC中, ∠A = 64°, O 是∠ABC,∠ACB 的平分线的 交 点,P 是 ∠BOC, B∠OCB 的平分线的交点.若∠P=100°,则∠ACB 的度数是 .
模型二 三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角
方法点睛
三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角等于第三个内角的一半.
4. 如图2-ZT-6,∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACE 的平分线相交于点 D,∠D=40°,则∠A 的度数为 ( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
5. 如图2-ZT-7,在四边形 ABCD 中,E 是 AB延长线上一点，∠DAB 的平分线与∠CBE的平分线相交于点 P,且∠D+∠C=210°,则∠P 等于 ( )
A.10° B.15°
C.30° D.40°
6. 如图 2-ZT-8,在△ABC中,∠A =64°,D 为 BC延 长 线 上 的 一 点，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点 A ,则∠A = °;∠A BC 与∠A CD 的平分线 相交于点A ,得∠A ,…,∠A BC 与. 的平分线相交于点 An，得∠An，要使∠An的度数为整数，则n 的最大值为
模型三 三角形两外角平分线的夹角
方法点睛
三角形两外角平分线的夹角等于90°与第三个内角一半的差.
7. 如图 2-ZT-10,在△ABC 中,BI,CI 分别是△ABC 的外角平分线,∠A+∠I=130°,则∠A 的度数为 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
8. 如图2-ZT-11,在△ABC中,∠A=80°,BF平分外角∠CBD,CF 平分外角∠BCE,BG 平分∠CBF,CG 平分∠BCF,则∠F= °,∠G= °.
9.要测量作业纸上两条相交直线a，b所夹锐角∠α的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.
(1)小明的方案：画直线c 与a，b相交，如图2-ZT-12①,测得∠1=m°,∠2=n°,则∠α= °(用含m，n的代数式表示)；
(2)小刚的方案：画直线c 与 a，b相交，再画与∠1，∠2 相邻的角的平分线交于点O，如图②，测得∠O=p°,则∠α= °(用含 p 的代数式表示).
10.在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题.在△ABC中，∠ABC与∠ACB 的平分线相交于点 P.
【问题研究】
(1)① 如图 2-ZT-13①,若∠ABC = 50°,∠ACB=70°,则∠BPC= °;
②猜测∠BPC 与∠A 之间的数量关系，并证明.
【问题延伸】
(2)如图 ②,作△ABC 的外角∠CBM,∠BCN 的平分线相交于点 Q,则∠Q 与∠BPC 之间的数量关系为 .
【拓展应用】
(3)如图③，在(2)的条件下，延长线段BP,QC 相交于点 E,在△BQE 中,当∠E与∠Q 两锐角存在 3 倍的数量关系时，求∠A 的度数.
教材母题
证明:(1)∵BE,CF 是△ABC 的角平分线,
∵∠BGC=180°-∠GBC-∠GCB,
(2)∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
变式训练
1. C 2. B 3. 76°
4. D 5. B
6. 32 6 7. D 8. 50 115
9. (1)(180-m-n) (2)(180-2p)
10. (1)①120
证明如下.
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,
∴∠ACB+∠ABC=180°-∠A.
∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP
(2)∠Q+∠BPC=180°
(3)∠A 的度数为 45°或 135°

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