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2026秋苏科新版九上数学第2章　学情评估
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列方程是一元二次方程的是(　　)
A．x2－4y＝0 B．x2＋x＋3＝0
C．2x＝5 D．x2＋－2＝0
一、1.B
2．已知关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
2.C
3．一元二次方程y2－4y＋1＝0配方后，可化为(　　)
A．(y－2)2＝0 B．(y－2)2＝1
C．(y－2)2＝3 D．(y＋2)2＝3
3.C
4．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根是x＝1，则a＋b＋c的值是(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．不能确定
4.A
5.我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔为几步？”(　　)
A．24 B．24或36
C．36 D．12或24
5.A
6．若关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a≤且a≠0 B．a≤
C．a＜且a≠0 D．a≥
6.A
7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为12，则该菱形的边长为(　　)
A．2 B．2
C．2 D.
7.D
8．关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；
②若方程的两根为－1和2，则2a＋c＝0；
③若方程x2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程x2＋c＝0必有两个不相等的实数根；
④若b＝2a＋3c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8.C
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．关于x的一元二次方程3x2－x－2＝0的二次项系数为________．
二、9.3
10．将一元二次方程x2－6x＋3＝0配方为(x－3)2＝k，则k的值是________．
10.6
11．方程(x－2)2＝16的解是__________．
11.x1＝6，x2＝－2
12．若关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．
12.
13．某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量为13.52万辆，则从4月份到6月份该品牌新能源汽车销售量的平均月增长率为________．
13.30%
14．已知代数式2x(x＋1)与代数式3x－3的值互为相反数，则x的值为________．
14．－3或0.5
15．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－3x＝x－3的一个根，则这个三角形的周长为________．
15.11
16．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则一次函数y＝mx＋m的图象不经过第________象限．
16.四
17．如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28 m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成．若AF＝8 m，AE＝4 m，矩形花圃的面积为75 m2，则花圃BC边的长度为________．
17.15 m
18．若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为________．
18.6
三、解答题(共66分)
19．(12分)解下列方程：
(1)x(x＋4)＝－3(x＋4); (2)x2＋2x＝6；
(3)(2x－3)2－x2＝0; (4)(y＋3)2＝2y＋5.
三、19.解：(1)x1＝－4，x2＝－3.
(2)x1＝3－，x2＝－3－.
(3)x1＝1，x2＝3.
(4)y1＝y2＝－2.
20．(8分)在解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠b，abc≠0)时，小马同学粗心地将二次项系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一个根等于原方程的一个根．
(1)求这两个方程相同的根；
(2)求原方程的两根之和．
20．解：(1)∵原方程为ax2＋bx＋c＝0，则小马同学解的方程为bx2＋ax＋c＝0.令ax2＋bx＋c＝bx2＋ax＋c，
化简，得(a－b)x2＝(a－b)x.
∵a≠b，abc≠0，∴a－b≠0，x≠0.
∴x＝1.故这两个方程相同的根为x＝1.
(2)由(1)知，新方程的两个根为1和3，
∴1＋3＝4＝－.
设原方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－＝，即原方程的两根之和为.
21．(8分)2025年12月30日12时12分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭，成功将天绘七号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某商家发现商机，销售火箭贴纸商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该商家采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价6元，则平均每天销售数量为________件；
(2)为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为1 200元，每件商品应降价多少元？
21．解：(1)32
(2)设每件商品应降价x元，
由题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，
整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20.
∵要尽快减少库存，∴x＝20.
答：每件商品应降价20元．
22.(8分)已知：关于x的方程x2－(m＋2)x＋2m－1＝0.
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根分别为x1，x2，且满足x12＋x22＋x1x2＝4，求m的值．
22．(1)证明：由方程x2－(m＋2)x＋2m－1＝0，
知b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2＋4m＋4－8m＋4＝m2－4m＋4＋4＝(m－2)2＋4.
∵(m－2)2≥0，∴(m－2)2＋4＞0，即b2－4ac>0.
故无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：∵方程的两根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝2m－1.
∵x12＋x22＋x1x2＝4，∴(x1＋x2)2－x1x2＝4.
∴(m＋2)2－(2m－1)＝4，
整理，得m2＋2m＋1＝0，即(m＋1)2＝0.
解得m1＝m2＝－1.
23．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10 cm，BC＝6 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2 cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1 cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到达终点，另一点也随之停止．连接PQ.设动点运动时间为x s.
(1)当x为何值时，△PBQ为等腰直角三角形．
(2)是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20 cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
23．解：(1)∵∠B＝90°，AC＝10 cm，BC＝6 cm，
∴AB＝＝8 cm.
由题知BQ＝x cm，AP＝2x cm，∴PB＝(8－2x) cm.
∵△PBQ为等腰直角三角形，∴8－2x＝x.∴x＝.
∴当x＝时，△PBQ为等腰直角三角形．
(2)存在．假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20 cm2，
则×6×8－x(8－2x)＝20，解得x1＝x2＝2.
∴假设成立．
∴当x＝2时，四边形APQC的面积等于20 cm2.
24．(9分)阅读下列材料：
配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值．
我们可以通过以下方法求代数式x2＋6x＋5的最小值．
解：x2＋6x＋5＝x2＋2×3x＋32－32＋5＝(x＋3)2－4，
∵(x＋3)2≥0，
∴当x＝－3时，x2＋6x＋5有最小值－4.
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)若x2＋4x＋5＝(x＋a)2＋b，则a＝________，b＝________；
(2)求代数式2x2＋4x－1的最值；
(3)若代数式－x2＋kx＋7的最大值为8，求k的值．
24．解：(1)2；1
(2)2x2＋4x－1＝2＝2(x2＋2x＋1－1－)＝2(x＋1)2－3.
∵(x＋1)2≥0，
∴当x＝－1时，2x2＋4x－1有最小值－3，无最大值．
(3)－x2＋kx＋7＝－(x2－kx－7)＝－[x2－2×x＋－－7]＝－(x－)2＋＋7.
∵≥0，∴－≤0.
∴该代数式有最大值＋7.
∵代数式－x2＋kx＋7的最大值为8，
∴＋7＝8，解得k＝±2.
25．(11分) 我们给出定义：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1≤x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为x2－3x＋2＝0，则该方程的衍生点M的坐标为__________；
(2)若关于x的一元二次方程x2－(5m＋1)x＋5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；
(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2＋bx＋c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx＋2(k＋3)上？若存在，请求出b，c的值，若不存在，请说明理由．
25．解：(1)(1，2)
(2)方程x2－(5m＋1)x＋5m＝0的解为x＝1或x＝5m，
由题意，得|5m|＝1，∴m＝±.
即m的值为或－.
(3)存在．∵y＝kx＋2(k＋3)＝kx＋2k＋6＝k(x＋2)＋6，
∴直线y＝kx＋2(k＋3)经过点(－2，6)．
∴方程x2＋bx＋c＝0的衍生点M的坐标为(－2，6)．
∴方程x2＋bx＋c＝0的两根为－2和6.
∴解得
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2026秋苏科新版九上数学第2章　学情评估
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列方程是一元二次方程的是(　　)
A．x2－4y＝0 B．x2＋x＋3＝0
C．2x＝5 D．x2＋－2＝0
2．已知关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
3．一元二次方程y2－4y＋1＝0配方后，可化为(　　)
A．(y－2)2＝0 B．(y－2)2＝1
C．(y－2)2＝3 D．(y＋2)2＝3
4．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根是x＝1，则a＋b＋c的值是(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．不能确定
5.我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔为几步？”(　　)
A．24 B．24或36
C．36 D．12或24
6．若关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a≤且a≠0 B．a≤
C．a＜且a≠0 D．a≥
7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为12，则该菱形的边长为(　　)
A．2 B．2
C．2 D.
8．关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；
②若方程的两根为－1和2，则2a＋c＝0；
③若方程x2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程x2＋c＝0必有两个不相等的实数根；
④若b＝2a＋3c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．关于x的一元二次方程3x2－x－2＝0的二次项系数为________．
10．将一元二次方程x2－6x＋3＝0配方为(x－3)2＝k，则k的值是________．
11．方程(x－2)2＝16的解是__________．
12．若关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．
13．某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量为13.52万辆，则从4月份到6月份该品牌新能源汽车销售量的平均月增长率为________．
14．已知代数式2x(x＋1)与代数式3x－3的值互为相反数，则x的值为________．
15．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－3x＝x－3的一个根，则这个三角形的周长为________．
16．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则一次函数y＝mx＋m的图象不经过第________象限．
17．如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28 m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成．若AF＝8 m，AE＝4 m，矩形花圃的面积为75 m2，则花圃BC边的长度为________．
18．若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为________．
三、解答题(共66分)
19．(12分)解下列方程：
(1)x(x＋4)＝－3(x＋4); (2)x2＋2x＝6；
(3)(2x－3)2－x2＝0; (4)(y＋3)2＝2y＋5.
20．(8分)在解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠b，abc≠0)时，小马同学粗心地将二次项系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一个根等于原方程的一个根．
(1)求这两个方程相同的根；
(2)求原方程的两根之和．
21．(8分)2025年12月30日12时12分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭，成功将天绘七号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某商家发现商机，销售火箭贴纸商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该商家采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价6元，则平均每天销售数量为________件；
(2)为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为1 200元，每件商品应降价多少元？
22.(8分)已知：关于x的方程x2－(m＋2)x＋2m－1＝0.
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根分别为x1，x2，且满足x12＋x22＋x1x2＝4，求m的值．
23．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10 cm，BC＝6 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2 cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1 cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到达终点，另一点也随之停止．连接PQ.设动点运动时间为x s.
(1)当x为何值时，△PBQ为等腰直角三角形．
(2)是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20 cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
24．(9分)阅读下列材料：
配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值．
我们可以通过以下方法求代数式x2＋6x＋5的最小值．
解：x2＋6x＋5＝x2＋2×3x＋32－32＋5＝(x＋3)2－4，
∵(x＋3)2≥0，
∴当x＝－3时，x2＋6x＋5有最小值－4.
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)若x2＋4x＋5＝(x＋a)2＋b，则a＝________，b＝________；
(2)求代数式2x2＋4x－1的最值；
(3)若代数式－x2＋kx＋7的最大值为8，求k的值．
25．(11分) 我们给出定义：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1≤x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为x2－3x＋2＝0，则该方程的衍生点M的坐标为__________；
(2)若关于x的一元二次方程x2－(5m＋1)x＋5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；
(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2＋bx＋c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx＋2(k＋3)上？若存在，请求出b，c的值，若不存在，请说明理由．
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