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2026秋苏科新版九上数学第3章　学情评估
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A在(　　)
A．⊙O内 B．⊙O上
C．⊙O外 D．无法确定
2．⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
3．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数为(　　)
A．50° B．25°
C．30° D．35°
(第3题)　　　(第4题)　　(第5题)
4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为(　　)
A. B.
C. D．π
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD平分∠ABC，若∠D＝20°，则∠ABD的度数为(　　)
A．20° B．25°
C．30° D．35°
6．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，若∠P＝40°，则∠ABC的度数是(　　)
A．20° B．25°
C．30° D．35°
(第6题)　　(第7题)　(第8题)
7．如图，⊙O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为(　　)
A. B．4π
C. D．16π
8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．一个扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的弧长为________．
10．三边长分别为6，8，10的三角形的内切圆的半径长为________．
11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C.若点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(6，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．
(第11题)　(第12题)
　　　(第13题)　　(第14题)
12．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为________．
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的度数为____________．
14．如图，已知⊙O的半径OA的长为2，弦AB的长为2.若在⊙O上找一点C，使AC＝2，∠BAC＝________．
15．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪下如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
(第15题)　　　(第16题)
　　　　　(第17题)　　(第18题)
16．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长(图中实线部分的长度)＝________(结果保留π)．
17．某品牌的香水瓶从正面看上去如图所示，它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形(点B，C在⊙O上)，其中BC∥EF，已知⊙O的半径为2.5 cm，BC＝1.4 cm，AB＝2.6 cm，EF＝4.8 cm，则该香水瓶的高度h＝________.
18．如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4，将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与，OB分别交于点M，N.若与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为________．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD.求证：AD∥BC.
20．(8分)某居民小区一圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定圆柱形管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径．
21．(8分)如图是由边长均为1的小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图(不写作法，保留作图痕迹)．
(1)图①中，在边AD上画点E，使AE＝DE；
(2)图②中，画∠BCD的平分线CF，交AD于点F；
(3)图③中，点O在格点上，⊙O与AB相切，切点为A，⊙O交AD于点G，BC与⊙O相切，切点为M，CD与⊙O相切，切点为N，画出点M，N.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D.
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP.当CP的长最大时，求BP的长．
23．(10分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC.
(1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数；
(2)求证：①EF∥BC；
②EF＝BD.
24．(10分)如图①，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，D是上的一个动点，连接DA并延长，点F在射线DA上，且DF＝DB，连接BF.
(1)如图②，若AD是⊙O的直径．
①求⊙O的半径长；
②求AF的长．
(2)在点D的运动过程中，当AC与△BDF的一条边平行时，求AF的长．
25．(12分)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝4，在BC的上方画∠BAC＝30°，尝试操作后思考： (1)这样的点A唯一吗？ (2)点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上(点B，C除外)，….小华同学画出了符合要求的一条圆弧BAC(如图①)．
(1)该弧所在圆的半径长为________；
(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图②所示的弓形外部，我们记为A′，请你证明∠BA′C＜30°；
(3)如图③，已知线段AB和直线l，在直线l上求作点P，使得∠APB＝45°，尺规作图，保留作图痕迹；
(4)如图④，在边长为9的等边三角形ABC中，动点P在△ABC内部，且∠BPC＝120°，连接AP，求AP的最小值．
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2026秋苏科新版九上数学第3章　学情评估
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A在(　　)
A．⊙O内 B．⊙O上
C．⊙O外 D．无法确定
1.C
2．⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
2.A
3．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数为(　　)
A．50° B．25°
C．30° D．35°
(第3题)　　　(第4题)　　(第5题)
3.B
4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为(　　)
A. B.
C. D．π
4.B
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD平分∠ABC，若∠D＝20°，则∠ABD的度数为(　　)
A．20° B．25°
C．30° D．35°
5.D
6．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，若∠P＝40°，则∠ABC的度数是(　　)
A．20° B．25°
C．30° D．35°
(第6题)　　(第7题)　(第8题)
6.B
7．如图，⊙O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为(　　)
A. B．4π
C. D．16π
7.C
8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
8.D
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．一个扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的弧长为________．
二、9.
10．三边长分别为6，8，10的三角形的内切圆的半径长为________．
10.2
11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C.若点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(6，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．
(第11题)　(第12题)
　　　(第13题)　　(第14题)
11.(2，0)
12．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为________．
12.
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的度数为____________．
13.62°或118°
14．如图，已知⊙O的半径OA的长为2，弦AB的长为2.若在⊙O上找一点C，使AC＝2，∠BAC＝________．
14．15°或75°
15．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪下如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
(第15题)　　　(第16题)
　　　　　(第17题)　　(第18题)
15.
16．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长(图中实线部分的长度)＝________(结果保留π)．
16.8π
17．某品牌的香水瓶从正面看上去如图所示，它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形(点B，C在⊙O上)，其中BC∥EF，已知⊙O的半径为2.5 cm，BC＝1.4 cm，AB＝2.6 cm，EF＝4.8 cm，则该香水瓶的高度h＝________.
17.5.7 cm
18．如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4，将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与，OB分别交于点M，N.若与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为________．
18.
点拨：如图，作点O关于直线MN的对称点O′，连接O′C，O′B，O′N，∴ON＝O′N.设BN＝x，则O′N＝ON＝OB－BN＝4－x.易得点O′为所在圆的圆心，
∵与半径OA相切于点C，∴O′C⊥OA，O′C＝OB＝4.∵∠AOB＝90°，∴O′C∥OB.∴四边形OBO′C是矩形．∴O′B＝OC，∠OBO′＝90°.∵C是OA的中点．∴O′B＝OC＝2.在Rt△BNO′中，O′N2＝BN2＋O′B2，即(4－x)2＝x2＋22，解得x＝，∴BN＝.
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD.求证：AD∥BC.
三、19.证明：∵AB＝CD，∴＝.
∴－＝－，即＝.
∴∠A＝∠B.∴AD∥BC.
20．(8分)某居民小区一圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定圆柱形管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径．
20．解：(1)如图所示．
(2)如图，由作图可知，OD为弦AB的垂直平分线，记OD与AB相交于点C，
则C为AB的中点，连接AO.
∵AB＝16 cm，∴AC＝AB＝8 cm.
设这个圆形截面的半径为x cm.
由题知CD＝4 cm，∴OC＝(x－4)cm.
在Rt△OAC中，∵OC2＋AC2＝OA2，
∴(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10.
∴这个圆形截面的半径为10 cm.
21．(8分)如图是由边长均为1的小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图(不写作法，保留作图痕迹)．
(1)图①中，在边AD上画点E，使AE＝DE；
(2)图②中，画∠BCD的平分线CF，交AD于点F；
(3)图③中，点O在格点上，⊙O与AB相切，切点为A，⊙O交AD于点G，BC与⊙O相切，切点为M，CD与⊙O相切，切点为N，画出点M，N.
21．解：(1)如图①，点E即为所求．
(2)如图②，射线CF即为所求．
(3)如图③，点M，N即为所求．
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D.
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP.当CP的长最大时，求BP的长．
22．解：(1)如图，连接AD.∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AC2＋AB2＝BC2.∴∠BAC＝90°.
∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC.
∴AD＝＝＝.∴S阴影＝×3×4－＝6－π.
(2)如图，当C，A，P三点共线时，CP的长最大．
∵∠BAC＝90°，∴∠BAP＝90°.
又∵AP＝，AB＝3，∴BP＝＝.
23．(10分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC.
(1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数；
(2)求证：①EF∥BC；
②EF＝BD.
23．(1)解：∵CD为直径，∴∠CAD＝90°.
由题知∠ADC＝∠AFE＝60°，
∴∠ACD＝90°－60°＝30°.
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝30°.
(2)证明：①如图，延长AB到点M.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CBM＝∠ADC.
又∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠CBM.∴EF∥BC.
②如图，过点D作DG∥BC交圆于点G，连接AG，CG.
∴∠BCD＝∠CDG.∴＝.∴BD＝CG.
∵四边形ACGD是圆内接四边形，∴∠GDE＝∠ACG.
易知EF∥DG，∴∠DEF＝∠GDE.∴∠DEF＝∠ACG.
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，∴∠AFE＝∠AGC.
又∵AE＝AC，∴△AEF≌△ACG(AAS)．
∴EF＝CG.∴EF＝BD.
24．(10分)如图①，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，D是上的一个动点，连接DA并延长，点F在射线DA上，且DF＝DB，连接BF.
(1)如图②，若AD是⊙O的直径．
①求⊙O的半径长；
②求AF的长．
(2)在点D的运动过程中，当AC与△BDF的一条边平行时，求AF的长．
24．解：(1)①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠ADB＝30°.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴AD＝2AB＝12.
∴⊙O的半径长为6.
②∵∠ABD＝90°，AD＝12，AB＝6，
∴BD＝＝＝6.
∵DF＝DB，∴DF＝6.∴AF＝AD－DF＝12－6.
(2)当AC∥BD时，如图①.
∵∠ACB＝30°，∴∠D＝30°.
∵AC∥BD，∴∠CBD＝∠ACB＝30°.
∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°.
∴∠BAD＝90°.
又∵∠D＝30°，∴DF＝BD＝2AB＝12.
∴AD＝＝6.
∴AF＝DF－AD＝12－6.
当AC∥BF时，如图②.
∵AC∥BF，∴∠BAC＋∠ABF＝180°.
∴∠ABF＝60°.
∵DF＝BD，∠ADB＝∠C＝30°，
∴∠DBF＝∠DFB＝＝75°.
∴∠ABD＝135°.
过点A作AH⊥BD，交DB的延长线于点H.
∵∠ABD＝135°，∴∠ABH＝45°.
∴△ABH是等腰直角三角形．
又∵AB＝6，∴AH＝BH＝3.
∵∠ADB＝30°，∴AD＝2AH＝6.∴DH＝3.
∴DF＝BD＝DH－BH＝3－3.
∴AF＝AD－DF＝6－(3－3)＝9－3.
综上，AF的长为12－6或9－3.
25．(12分)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝4，在BC的上方画∠BAC＝30°，尝试操作后思考： (1)这样的点A唯一吗？ (2)点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上(点B，C除外)，….小华同学画出了符合要求的一条圆弧BAC(如图①)．
(1)该弧所在圆的半径长为________；
(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图②所示的弓形外部，我们记为A′，请你证明∠BA′C＜30°；
(3)如图③，已知线段AB和直线l，在直线l上求作点P，使得∠APB＝45°，尺规作图，保留作图痕迹；
(4)如图④，在边长为9的等边三角形ABC中，动点P在△ABC内部，且∠BPC＝120°，连接AP，求AP的最小值．
25．(1)4
点拨：过点C作CD⊥BC，交圆弧BAC于点D，连接BD，如图①，则BD为该弧所在圆的直径，∠BDC＝∠A＝30°，
∴BD＝2BC＝8.∴该弧所在圆的半径长为＝4.
(2)证明：设A′C与圆弧BAC的交点为E，连接BE，如图②，则∠BEC＝∠A＝30°.
∵∠BEC是△A′BE的一个外角，∴∠BA′C＜∠BEC.
∴∠BA′C＜30°.
(3)解：如图③，点P1，P2即为所求．
(4)解：如图④，以BC为边，在△ABC的下方作等边三角形BDC，构造△BDC的外接圆⊙O，连接AD，OB，OD，OA，OP，则BO⊥DC，DO⊥BC，AP≥OA－OP，BD＝CD，∠BDC＝∠CBD＝60°，
∴∠CBO＝∠CBD＝30°，∠BPC＋∠BDC＝180°.
∴点P在⊙O上．∴OP＝OB.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝9，∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴AD垂直平分BC，∠ABO＝∠ABC＋∠CBO＝90°.
∵DO⊥BC，∴A，O，D三点共线．
∴∠BAO＝∠BAC＝30°.
∴OB＝AO.∴AB＝＝OB＝9.
∴OB＝3.∴AO＝6，OP＝3.
∴AP≥OA－OP＝3.∴AP的最小值为3.
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